1、均值不等式的四種變形及其應用定理：如果，那么當且僅當取等號。這個定理至少有四種變式。例如一 第一種變式為 它是怎樣用定理“如果，那么當且僅當取等號，推導出來的呢？只要在么的兩邊同時加上可推出為它可以用中文數學語言表達成“兩個非負數的平方和的2倍不小于這兩個非負數的和的平方。什么時候用這一均值不等式的變式呢？凡帶有根號形式的不等式證明題可用此第一種變式。例1設，求證：。證明： 所以證：。例2設x,y均為正數,求證:x-2y1987年列寧格勒數學奧林匹克試題.證明：用均值不等式的變形公式移項得x-2y.例3 假設a,b,c且a+b+c=1,求證:.證明:用三元均值不等式的變形公式兩邊開方得出例4

2、假設a,b,c,d且a+b+c+d=1求證:證明: 用四個變量均值不等式的變形公式.兩邊開方得出所要證的結果.二 笫二種變形。這個變形公式是如何證明的？用中文的數學語言如何表達？何時用這一變形公式？只要在定理當且僅當取等號的兩邊同除以再移項即可得形。表達“成一個數的平方除以第二個數不小于第一個數的二倍減去第二個數，證明分當式且分子是平方形式時，用此不等式來證明。例1 假設a,b為正實數,求證.證明1：；又因為兩式相加得柯西不等式 設那么有不等式成立;當且僅當時等號成立.證明從略證明2: (用柯西不等式)構造兩組數:代入柯西不等式之中(兩邊同除以推出。例2 :a,b,c為正數,求證:證明1：以上

3、三式相加得證:證明2：用柯西不等式證明是很容易的.先構造兩組數代入柯西不等式之中.不等式之兩邊同除以(a+b+c)推出:例6假設均為正數,求證:(1984年省市自治區聯合數學競賽題)證明1：以上個不等式邊邊相加得出證:。證明2:用柯西不等式法構造兩組數代入哥西不等式兩邊同除以推出:三 用笫三種變形這個變形公式適用于“積定和最小 的類型。公式如何證明？注意如何中文數學語言表達？何時用這一公式？例7假設正數滿足求的最小值？解：= 。例8且求的最小值？解：由推導， 。例 求函數的最大值。解：因為所以數=當且僅當時，上式等號成立故當。例8求證:分析: 把拆成,當且僅當時等號成立, 此時取等號.例求證:

4、 (x)分析: 把拆成便于使用均值不等式, 當且僅當時, 即時取等號,X是不可能的. 這是“誤等的一個陷井, 只有尋求其它途徑, 才能徹底激活這種類型的數學題.從以上兩例進行比擬, 發現一個矛盾: 例8用均值不等式所得答案是正確的, 而例用均值不等式所得答案是錯誤的. 所謂比擬數學就是將兩道形式一樣, 解題方法也類似的數學題進行比擬而發現異同的數學. 比擬數學在教學中應該有它的認識論, 激活論的重要作用.。例的正確解法又怎樣呢？證法1：利用函數的 遞增性來證明設那么t2,y=取可見y=在(是增函數, 故當x=2時,y有最小值5/2, 即y=的最小值是5/2.證法2: 因為y=又可設因為所以即0

5、<sin2故函數y=的最小值是5/2. 與證法1得出的是殊途同歸的結論.例x>0,求證的最大值是2解法1:(均值不等式法).,所以,即的最大值是,什么時候取最大值呢?3x=時, 的最大值是2。例9求函數y= 的最小值.解:(用均值不等式)當且僅當時,y取得最小值.關于“積定和最小 的類型, 我們出示3道習題讓學生練習:求的最小值；求的最小值；上兩題關鍵在于拆項的技巧求的最小值。提示：四 笫四種變形這個變形公式適用于“和定積最大 的類型例9求的最大值。分析：雖然這種拆項能保證“和一定的條件，但是卻出現了“誤等的錯誤，事實上 同時成立是不可能的。可見“誤拆與“誤等是一對“孿生兄弟， 用

6、“和定積最大 的方法是如下的正確解法。解：，推出。例 ，求的最值。分析：假設用以下方法作是錯的，.，為什么錯呢? 這是“誤等的錯誤. 為了既不陷于“誤等的錯誤; 又不陷于“誤正的錯誤可用平方法.解: 推出當且僅當以上兩題形式不同思想方法同例10 且，求的最大值及相應的的值。解：推出，當且僅當時等號成立，所以取最大值為。最后指出定理：如果，那么當且僅當取等號的應用例112005年重慶理科5假設是正數，那么的最小值是解：又當且僅當成立，即時，那么的最小值是為4。綜上所述，用均值不等式求最值要有三個條件：“一正；二定；三相等 即各項或各因式非負；和或積為定值；當且僅當各項或各因式都能取相等值時，等號成立。與之相反的是存在三個陷井：“誤正、“誤定、“誤等。 除此之外還有兩個陷井：“誤拆 即錯誤的拆項和“誤傳 即二次