1、2022-2-171 主講人：倪玲英2022-2-172工程流體力學工程流體力學從實用角度，對工程中涉及的問題建立相應從實用角度，對工程中涉及的問題建立相應的理論基礎，并進行計算。的理論基礎，并進行計算。靜力學靜力學運動學運動學 以理想流體為主以理想流體為主動力學動力學引言引言以理論分析為主，討論實際流體運動規律。以理論分析為主，討論實際流體運動規律。運動學運動學動力學動力學高等流體力學以實際流體為主以實際流體為主對于實際流體討論了管對于實際流體討論了管流阻力計算流阻力計算,是在理想流是在理想流體得出規律基礎上進行體得出規律基礎上進行修正修正,并結合實驗并結合實驗.2022-2-173主要內容

2、：主要內容：第一章第一章 場論與張量分析初步場論與張量分析初步第二章第二章 流體運動學流體運動學第三章第三章 流體力學基本方程組流體力學基本方程組第四章第四章 粘性流動基礎粘性流動基礎第五章第五章 NavierNavier-Stokes -Stokes 方程的解方程的解第六章第六章 邊界層理論邊界層理論第七章第七章 流體的旋渦運動流體的旋渦運動第八章第八章 湍流理論湍流理論2022-2-174第一章第一章 場論與張量分析初步場論與張量分析初步 第一節第一節 場論簡述場論簡述 第二節第二節 張量初步張量初步 第三節第三節 雅可比行列式雅可比行列式2022-2-175第一節第一節 場論簡述場論簡述

3、 基本概念基本概念 場的幾何表示場的幾何表示 標量場的梯度標量場的梯度 向量的散度向量的散度 向量的旋度向量的旋度 哈密頓算子哈密頓算子和場論的基本運算公式和場論的基本運算公式2022-2-176一一 基本概念基本概念 1.1.場（場（fieldfield）：）： 設在空間中的某一區域內定義標量函數或矢量函數，則稱定義在此空間區域內的函數為場。 標量場（scalar field）： 向量場（vector field）： g g=f(r r,t) 均勻場（homogeneous field）： 非均勻場（non-homogenous field）： 定常流場（steady field）： 非定常

4、流場(unsteady field)：),(trf),(trgcf )(rf)(rf),(trf2022-2-177 (1)標量標量:是一維的量，它只須1個數量及單位來表示，它獨立于坐標系的選擇。 流體的溫度，密度等均是標量。 (2)向量向量( (矢量矢量):):不僅有數量的大小而且有指定的方向，它必須由某一空間坐標系的3個坐標軸方向的分量來表示,因此向量是三維的量。 速度,加速度是向量. 常用黑體字母x、u 表示空間坐標位置向量和流速向量。也用 類似表示。xu、2022-2-178 對于笛卡兒坐標，X的3個分量為x1，x2，x3。而三個坐標方向的單位分別用e1，e2，e3表示。有時也常用i，

5、,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以寫為： kujuiuuzyx向量的加減向量的加減 ：cbabca2022-2-179矢量的標量積(數量積)（點積）(內積)： bababa,cos 標量zzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiababababababazzyyxx,cos功:當力F作用在質點上使之移動一無限小位移ds,此力所做功定義為力在位移方向的投影乘以位移的大小.2022-2-1710 cabacbababababa，b、ababa，b、a分配律表示正交投影用在如則平行如則正交如43201222zyxaaaa222zyxbbbbbambmabam2022-2-171

6、1矢量的矢量積矢量的矢量積(向量積向量積)（叉乘）（叉乘）(外積外積)： babacbacba,sincabacbabambmabambaba/0 abba組成平行四邊行的面積 右手法則，拇指方向即為c方向，由a指向b2022-2-1712 zyxzyxzyxzyxbbbaaakjikbjbibkajaiaba 平面面積可作為一個向量n ss2022-2-1713數量三重積： baczyxzyxzyxcccbbbaaacbacbacbabcacbaacbbaccba循環置換向量次序,結果不變.改變循環向量次序,符號改變.2022-2-1714數量三重積幾何意義：作為平行六面體的體積 。cbab

7、ac=0， 是cba,共面的充分條件 2022-2-1715向量三重積： cbaacbbcacbacbabcacba括號不能交換或移動括號不能交換或移動2022-2-1716二、場的幾何表示二、場的幾何表示1 1、scalar fieldscalar field： (1)(1)用等值線（面）表示用等值線（面）表示令：令： (2)(2)它的它的疏密反映了標量函數的變化情況疏密反映了標量函數的變化情況000),(ftrft111),(ftrft等值線（等位面）圖變化快變化慢二、場的幾何表示二、場的幾何表示2 2、 vector fieldvector field： 大小：標量. 可以用上述等位線(

8、等位面)的概念來幾何表示。 方向：采用矢量線來幾何地表示。 矢量線：線上每一點的切線方向與該點的矢量方向重合。矢量線的描述是從歐拉法引出2022-2-1718矢量線方程：設 是矢量線的切向元素， 則據矢量線的定義有直角坐標：則有：0 rdadzkdyjdxirdzyxakajaia0zyxaaadzdydxkjird所以有：所以有： （向量線方程）（向量線方程）zyxadzadyadx 向量管：在場內取任一非向量的封閉曲線C，通過C上每一點 作矢（向）量線，則這些矢量曲線的區域為向量管。 dtudzudyudxudzudyudxzyxzyx跡線方程流線方程跡線的描述是從歐拉法引出2022-2-

9、1720三、標量場的梯度 方向導數：函數z=f(x,y)在一點P沿某一l方向的變化率22yx),(),(lim0yxfyyxxflf方向導數sincosyfxflf方向導數為x軸到l的轉角coscoscoszfyfxflf三元函數與方向導數關聯的是梯度與梯度關聯的是方向導數2022-2-1721在過 P 點所有可能的方向中存在一個方向導數變化率最大的方向。 梯度（gradient）就是這樣的一個向量，它的方向即為方向導數變化率最大的方向而其大小則為這個最大變化率的數值。 記為 grad 沿梯度方向的方向導數達到最大值2022-2-1722直角坐標系中：直角坐標系中： zkyjxikzjyixg

10、rad 是一個算子（operator），它具有向量與微分的雙重性質，稱為哈密頓算子（Hamilton operator） 物理量沿任一方向（其單位向量為n0）的變化率為： gradn 0式中“.”表示點乘 2022-2-1723 梯度意義的證明：梯度意義的證明： 如圖，設 方向單位向量 函數 沿 方向的變化為： 另： 與 同向時， 最大001100),cos()()(cos)()(limlim1sgradsnnnsnMMMMMMMMsMMMMn0ssscos,cos),cos(10MMMMsnsn而則0sss1ccMM1M流場中兩相鄰等勢線流場中兩相鄰等勢線 沿梯度方向的方向導數達到最大值20

11、22-2-1724定理證明:a） 滿足關系式：證明： =gradgradrdddzzdyydxxdrdgradkzjyixgradkdzjdyidxrd2022-2-1725b)若任給一封閉曲線L， ，且 是矢徑 的單值函數，則：證明：grada r0Lrda0drdgradrdaLL梯度的梯度的性質：性質： 標量場不均勻程度的量度； 梯度方向和等位面的法線方向重合，指向函數值增大的方向。 在任一方向的變形等于該方向的方向導數。 梯度的方向是標量變化最快的方向。2022-2-1726梯度的基本運算法則有： CC (C為常數) 2121 122121 ff 2022-2-1727 四、向量的散度

12、四、向量的散度(divergence)(divergence) 1、預備知識 a.向量通過曲面的通量（flux）： b.Gauss定理： 若 在 有一階連續偏導數， 則：sssdadsnaQzyxaaa,vs dvzayaxasdazyvxs)(2022-2-1728 2、散度的定義 于是Gauss定理可以寫作：azayaxavsdaadivzyxsvlim0vzyvxssdvadvzayaxasdadsna)()( 由封閉曲面s流出的通量可以看成是體積V的膨脹量。所以散度也就是流體的體積膨脹量。 散度是標量，而不是向量。2022-2-17292022-2-1730例1：任一不可壓流場， ，在

13、流場中一點M取微元體，則密速（密度速度）變化量 點源： Source點匯： Sink例2：令 有 dxdydzadxdydzzadxdydzyadxdydzxazyx)(0 a0 azky jxir3)()(zky jxizkyjxir),(zyxa2022-2-1731 五、向量的旋度（五、向量的旋度（rotationrotation） 1 1、預備知識、預備知識 1)向量 的環量（Circulation） a)(dzadyadxardazyLxL如向量為速度，速度環量說明： （1）速度環量表示在某一瞬時所有在 AB 線上的質點沿 AB 運動的趨勢，和力所作功的概念相類似，即可以理解為速度所

14、作的功。 （2）速度環量是個標量，具有正負號。 當速度方向和 AB 曲線方向同向時（成銳角）為正，異向時（成鈍角）為負。線積分方向相反的速度環量相差一個負號，即 ABBArdurdu 2022-2-1732 2) Stokes 2) Stokes定理：定理： (L圍成圍成S，S單連通）單連通） 向量為速度，為二元流動： 當封閉周線內有渦束時，則沿封閉周線的速度環量等于該封閉周線內所有渦束的旋渦強度之和。這就是斯托克斯（GGStokes）定理。 通式： dsznyaxaynxazaxnzayardaSxyzxyzL).cos(),cos(),cos(dA2dA2dxdyyuxudnzxy2022

15、-2-17332022-2-1734 2 2、旋度的定義、旋度的定義= 于是Stokes定理可以寫成： aacurlaaazyxkjiarotzyx)()()(yaxakxazajzayaixyzxyzLSsdarotrda2022-2-1735 例題： 0 r0)()(zky jxizkyjxi0zyxzyxkji2022-2-1736 六、六、 哈密頓算子哈密頓算子和場論的基本運算公式和場論的基本運算公式 1、 哈密頓算子的定義： 它具有矢量和對它右邊的量微分的雙重性.因此： zzyjxigradadivaarota2222222)(zyxsaas)(02022-2-17372 2、 基本

16、運算公式：基本運算公式： 1) 2) gradgradgrad)()(gradgradgrad)()(2022-2-17383）證明：令 ， gradFgradF)()()(rzky jxirgradFzkyjxiFzFkyFjxFiFzkyjxizky jxigradFF)()()()()()(2022-2-17394） 證明： 注： 5）rerrrgradrrkrzjryirxkzrjyrixrgradr1rxzyxxzyxxrx2121222222bdivadivbadiv )(2022-2-1740 6）證明：根據柯青法則 蘇聯數學家柯青的運算法則：蘇聯數學家柯青的運算法則：當除了一個

17、矢量之外，其他的矢量都是常數時，應該這樣來變換表達式，以使得所有常矢量都位于 算子之前，而變量則位于它之后。agradadivadiv)(gradaadivaaaaaadivcccc)()()()(2022-2-17417） 證明： brotaarotbbadiv )()()()(ccbababa)()(abbaccarotbbrotabrotaarotbXZ Y順變為正順變為正逆變為負逆變為負2022-2-17420)10)9)()82aadivrotdivgradbrotarotbarot在混合乘積中有兩個矢量相同，必然為02022-2-1743 brotaarotbbaabbagrad：

18、adivbbdivabaabababbabababababa：rotadivbbdivabaabbarotcccccc自證證)()()()()()()()()112022-2-1744 3 3、哈密頓算子對積分的應用：、哈密頓算子對積分的應用： 由Gauss定理有： vSdsndvdsznaynaxnadvzayaxazyxzyvx),cos(),cos(),cos()(dsnkznjynixndsdvkzjyixdvssvv),cos(),cos(),cos()(2022-2-1745dSndVSV AdSnAdVSV AdSnBAdVBSV dSndVSV 由這些公式可以看出，只要把體積分

19、中的哈密頓算子換成法向單位向量即是面積分的被積函數。 推廣的高斯公式可以寫為：高斯公式（Gausss theorem）將體積分與面積分聯系起來，在流體力學中十分有用 2022-2-1746第二節第二節 張量初步張量初步 前言 張量的定義 張量的表示法 幾種特殊的二階張量 張量的運算2022-2-1747一一. 前言前言1 1、 指標和符號指標和符號1)自由指標 如矢量 ，其分量可表示為 ， ；則 稱為自由指標。2)約定求和法則和啞指標 約定在同一項中，如有兩個指標相同，就表示對該指標從1到3求和。這個約定稱為愛因斯坦求和約定。這重復的指標稱為啞指標。如：aia3 , 2 , 1ii2022-2

20、-1748zayaxaxaaxaa：divzyxLLjj如kkiibabababababa332211jijiiixvvxvvxvvxvvvv332211)(2022-2-17492 2、符號、符號(1)克羅內克爾符號 10001000110ijijjiji寫成矩陣形式ijkjikjiijjiee:性質 各向同性張量，也就是說當坐標系轉動后，張量的分量不變 2022-2-1750ijijaa ijkjikTT 具有替換下標的作用ij321321332211iaiaiaaaaaaaiiiijjiijj當當當2022-2-1751(2)(2)置換符號置換符號 （ ） （注：偶排列 123，231，

21、312）奇排列時為當偶排列時為當中有兩個以上指標相同當3 ,2, 1,13 ,2, 1,1,0kjikjikjieijkijkeijkkjiijkkijkjieeeeeeee(3) (3) 恒等式恒等式ksjtktjsistijkeee2022-2-1752321kjiijkijaaaea112332331221132231133221312312332211333231232221131211ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa因為例題321kjiijkijaaaea2022-2-1753例題：ikjijkebaebbbaaakjiba321321ikjijkeaxe

22、aarotizayaaaazyxkjiaotyzzyxr例題：2022-2-1754證明： brotaarotbbadiv )()()()(ccbababa)()(abbaccarotbbrotabrotaarotbXZ Y順變為正順變為正逆變為負逆變為負brotaarotbxbabxaxbabxabaxbabadivikjjikkijijkikjijkkijijkkjijki)()(2022-2-1755adivbbdivabaabbarot )(adivbbdivabaabababbababababa：rotcccccc)()()(證adivbbdivabaabxabxabxbaxbaxa

23、bxbaxbaxbaba：rotjjljiljijjjijlmjmljlimjmiljmlklmijkjmlklmijk)(證1 1、張量的定義、張量的定義 張量是由一組分量所構成的集合，這組分量在坐標改變時應滿足一定的坐標變換關系，以保證該張量本身所描述的一個完整的幾何對象或物理量對象不隨坐標的變換而變化。笛卡爾坐標二、張量的定義二、張量的定義 分別是新舊坐標系的單位基矢量為新舊坐標之間不同坐標軸夾角的方向余弦jiee, ijjiijee 2022-2-1757(1)(1)對于流場中，標量在新舊坐標 中，量值不變。(2)(2)對于流場中的矢量 ，新舊關系： 基矢： 在新舊坐標系中表示為： 于

24、是： 其中 是舊新坐標中不同坐標軸夾角的余弦。 ),(),(321321xxxxxx),(),(321321)(xxxxxxpajijeeeee3132121111jijieeaijjiiieeaeea )() 1 ()(jijijjiaeeaaijijeejjiieaeaa新 舊2022-2-1758 由 式給出了矢量的另一種定義： 對每一個直角坐標 系來說，有三個量 ，它根據（1）式變換到另一個坐標系 中的三個量 中去，則此三個量定義一新的量 ，稱為矢量。 若將矢量以坐標變換的基礎定義（1）加以推廣，可得張量的定義。), 0(321xxx),(321aaa), 0(321xxx),(321

25、aaaajijijjiaeeaa)()1()(jijijjiaeeaa2022-2-1759(3) (3) 流場中點的應力狀態流場中點的應力狀態 它有9個分量來表示舊坐標中應力矢量： （2） 新坐標系中，應力矢量 （3）把（2）代入（3）有： （4）于是 （5）而 （6）jijiePPjjiiPeeP)( )(ljljiiePeeP jlklijkljljikiPeePeeeP )(kiikePP ijPj,l舊坐標系i,k新坐標系j, j l,li jjijjjiiaaeea jlklijikPaP2022-2-1760 凡符合 可變換規律的物理量稱為二階張量。 若在一直角坐標系內給定了3n

26、個數 ，當坐標變換時，所得新的數 則稱此3n個數 為一個n階張量。 說明說明: :標量是零階張量，矢量是一階張量，應力是標量是零階張量，矢量是一階張量，應力是二階張量二階張量。njjjja.321nnnnjjjjijijiiiiiaa.2.21211321.njjjja.321jlklijikPaP2022-2-1761 三、三、 張量的表示法張量的表示法 ijPiP33331221311321121111.eePeePeePeePeePP或一階張量一階張量二階張量二階張量 2022-2-1762四、幾種特殊的二階張量四、幾種特殊的二階張量1零張量：在任意直角坐標系中各分量皆為零的量， 以0表

27、示2單位張量：3共軛張量： 4對稱張量： jiijijeeI100010001jicijPPPP,PPPPcjiij,2022-2-17634對稱張量： PPPPcjiij,表示以333231232221131211ssssssssssSij只有6個不同分量2022-2-17645反對稱張量：cjiijPPPP,表示以333231232221131211aaaaaaaaaaAij只有3個不同分量000000121323233123123112aaaaaaaAijbbbabAkjijkjij2022-2-17652022-2-17666 6、并矢、并矢 證明： 為二階張量 （1） （2） 要證 是二階張量 只需證明 （3） （1），（2）代入即是。 332313322212312111bababababababababababajibam