1、1空間向量與空間角的關系(1)已知異面直線l1，l2的方向向量分別為s1，s2，當0s1，s2時，直線l1與l2的夾角等于s1，s2；當<s1，s2時，直線l1與l2的夾角等于s1，s2(2)已知平面1和2的法向量分別為n1和n2，當0n1，n2時，平面1與2的夾角等于n1，n2；當<n1，n2時，平面1與2的夾角等于n1，n2(3)已知直線l的方向向量為s，平面的法向量為n，則直線l與平面的夾角滿足：sin |coss，n|.2距離公式點到直線的距離公式：d.點到平面的距離公式：d|·n0|.1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)兩直線的方向

2、向量所成的角就是兩條直線所成的角(×)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角(×)(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面的夾角(×)(4)兩異面直線夾角的范圍是(0，直線與平面所成角的范圍是0，()(5)直線l的方向向量與平面的法向量夾角為120°，則l和所成角為30°.()2已知二面角l的大小是，m，n是異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A.B.C.D.答案B解析m，n，異面直線m，n所成的角的補角與二面角l互補又異面直線所成角的范圍為(0，m，n所成的角為.3在空間直角坐標系Oxyz中，平面OAB的一個

3、法向量為n(2，2,1)，已知點P(1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于()A4 B2 C3 D1答案B解析P點到平面OAB的距離為d2，故選B.4若平面的一個法向量為n(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_答案解析n·a8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.5P是二面角AB棱上的一點，分別在平面、上引射線PM、PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么平面與的夾角為_答案90°解析不妨設PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFP

4、N45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0，平面與的夾角為90°.題型一求異面直線所成的角例1長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.B.C.D.思維啟迪本題可以通過建立空間直角坐標系，利用向量、所成的角來求答案B解析建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)

5、，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.思維升華用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，所以要注意二者的區別與聯系，應有cos |cos |.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析如圖，以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系設AA12AB2，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.

6、題型二求直線與平面所成的角例2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值思維啟迪：平面的法向量是利用向量方法解決位置關系或夾角的關鍵，本題可通過建立坐標系，利用待定系數法求出平面PEH的法向量(1)證明以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長度，建立空間直角坐標系(如圖)，則A(1,0,0)，B(0,1,0)設C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E.

7、可得，(m，1,0)因為·00，所以PEBC.(2)解由已知條件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)設n(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.思維升華利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角(2013·湖南)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，A

8、CBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值方法一(1)證明如圖，因為BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)解因為B1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為)如圖，連接A1D，因為棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A1B1平面ADD1A1，從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是

9、AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190°，在直角梯形ABCD中，因為ACBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故，即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設ABt，則相關各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1

10、(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因為ACBD，所以·t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)，因為·3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設n(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即令x1，則n(1，)設直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.題型三求兩個平面的夾角例3(2013·課標全國)如圖，直三棱柱AB

11、CA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求平面A1CD與平面A1CE夾角的正弦值思維啟迪根據題意知ACB90°，故CA、CB、CC1兩兩垂直，可以C為原點建立空間直角坐標系，利用向量求兩個平面的夾角(1)證明連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點又D是AB的中點，連接DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB得，ACBC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設CA2，則

12、D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.所以平面A1CD與平面A1CE夾角的正弦值為.思維升華求平面間的夾角最常用的方法就是分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到所求角的大小，但要注意平面間的夾角的范圍為0，如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是的中點，D為AC的中點(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求平面ABP與平面ACP夾角的余弦

13、值(1)證明如圖，以O為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D(，0)設n1(x1，y1，z1)是平面POD的一個法向量，則由n1·0，n1·0，得所以z10，x1y1，取y11，得n1(1,1,0)設n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一個法向量，則由n2·0，n2·0，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因為n1·n2(1,1,0)·(，1)0，所以n1n2.從而平面POD平面PAC.(

14、2)解因為y軸平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一個法向量為n2(，1)設向量n2和n3的夾角為，則cos .所以平面ABP與平面ACP夾角的余弦值為.題型四求空間距離例4已知正方形ABCD的邊長為4，CG平面ABCD，CG2，E，F分別是AB，AD的中點，則點C到平面GEF的距離為_思維啟迪所求距離可以看作CG在平面GEF的法向量的投影答案解析建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則(0,0,2)，由題意易得平面GEF的一個法向量為n(1,1,3)，所以點C到平面GEF的距離為d.思維升華求點面距一般有以下三種方法：作點到面的垂線，點到垂足的距

15、離即為點到平面的距離；等體積法；向量法其中向量法在易建立空間直角坐標系的規則圖形中較簡便(2012·大綱全國改編)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB2，CC12，E為CC1的中點，則點A到平面BED的距離為()A2 B.C.D1答案D解析以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，)設n(x，y，z)是平面BED的法向量則.取y1，則n(1,1，)為平面BED的一個法向量又(2,0,0)，點A到平面BED

16、的距離是d1.利用空間向量求角典例：(12分)(2013·江西)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，DABDCB，EAEBAB1，PA，連接CE并延長交AD于F.(1)求證：AD平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP夾角的余弦值思維啟迪(1)可利用判定定理證明線面垂直；(2)利用AD、AP、AB兩兩垂直建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，利用向量夾角求兩個平面BCP、DCP夾角的余弦值規范解答(1)證明在ABD中，因為E為BD的中點，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB.因為DABDCB，所以EABECB，從而有FEDBECA

17、EB，所以FEDFEA.2分故EFAD，AFFD，又因為PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，4分所以GFAD，故AD平面CFG.6分(2)解以A為坐標原點建立如圖所示的坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.8分設平面BCP的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令y1，則x13，z12，n1(3，2)9分同理求得面DCP的法向量為n2(1，2)，10分從而平面BCP與平面DCP夾角的余弦值為cos |cosn1，n2|.12分利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標系第二步：確定點的坐標第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標第四步：

18、計算向量的夾角(或函數值)第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角第六步：反思回顧查看關鍵點、易錯點和答題規范溫馨提醒(1)利用向量求角是高考的熱點，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用(2)本題易錯點是在建立坐標系時不能明確指出坐標原點和坐標軸，導致建系不規范(3)將向量的夾角轉化成空間角時，要注意根據角的概念和圖形特征進行轉化，否則易錯方法與技巧1用向量來求空間角，各類角都可以轉化為向量的夾角來計算2求點到平面的距離，若用向量知識，則離不開以該點為端點的平面的斜線段失誤與防范1利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉化為各空間角因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同2求點到平面的距離，有時利用

19、等體積法求解可能更方便A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1已知正方體ABCDA1B1C1D1如圖所示，則直線B1D和CD1所成的角為()A60° B45°C30° D90°答案D解析以A為原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設正方體邊長為1，則射線CD1、B1D的方向向量分別是(1,0,1)，(1,1，1)，cos，0，直線B1D和CD1所成的角為90°.2 如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與

20、平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案D解析四邊形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC平面SDB，從而ACSB.故A正確；易知B正確；設AC與DB交于O點，連接SO.則SA與平面SBD所成的角為ASO，SC與平面SBD所成的角為CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正確；由排除法可知選D.3(2013·山東)已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.B.C.D.答案B解析如圖所示：SABC×&#

21、215;×sin .VABCA1B1C1SABC×OP×OP，OP.又OA××1，tanOAP，又0<OAP<，OAP.4在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為()A.B.C.D.答案B解析以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，設平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.所以平面A1ED與平面ABCD夾角的

22、余弦值為.5在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為()A.B.aC.D.a答案B解析根據題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系Pxyz，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)過點P作PH平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離PAPBPC，H為ABC的外心又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得H點的坐標為.PH a.點P到平面ABC的距離為a.二、填空題6已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面夾角的大小為_答案解析cosm，n，m，n.兩平面夾角的大

23、小為.7 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_答案60°解析以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系設ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成的角為60°.8正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為_答案解析以A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x軸

24、、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)設平面A1D1E的一個法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1.n(1,0,2)又(，1，1)，點F到平面A1D1E的距離為d.三、解答題9 如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PA與平面ABD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，ADCDAB90°，AB4，CD1，AD2.(1)建立適當的坐標系，并寫出點B，P的坐標；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值解(1)建立如圖空間直角坐標系，ADCDAB90°，

25、AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由PD平面ABCD，得PAD為PA與平面ABCD所成的角，PAD60°.在RtPAD中，由AD2，得PD2，P(0,0,2)(2)(2,0，2)，(2，3,0)，cos，異面直線PA與BC所成的角的余弦值為.10(2013·天津)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(1)證明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM

26、的長方法一如圖，以點A為原點，以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)證明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是·0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)設平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)為平面CEC1的一個法向量于是cosm，從而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值為

27、.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，設(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量設為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，|，于是，解得(負值舍去)，所以AM.方法二(1)證明因為側棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.經計算可得B1E，B1C1，EC1，從而B1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)解過B1作B1GCE于點G，連接C1G.由(1)知，B1C1CE，故C

28、E平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1為二面角B1CEC1的平面角在CC1E中，由CEC1E，CC12，可得C1G.在RtB1C1G中，B1G，所以sin B1GC1，即二面角B1CEC1的正弦值為.(3)解連接D1E，過點M作MHED1于點H，可得MH平面ADD1A1，連接AH，AM，則MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角設AMx，從而在RtAHM中，有MHx，AHx.在RtC1D1E中，C1D11，ED1，得EHMHx.在AEH中，AEH135°，AE1，由AH2AE2EH22AE·EHcos 135°，得x21x2x，整理得5x22x60，解得

29、x(負值舍去)所以線段AM的長為.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1過正方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP的夾角大小為()A30° B45° C60° D90°答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由題意得，AD平面ABP，設E為PD的中點，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，(0，)分別是平面ABP、平面CDP的法向量，而，45°，平面ABP與平面CDP的夾角大小為45°.2在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點，E，F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D為原點，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.3設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是_答案解析如圖建立空間直角坐標系，則D1(0,0