1、函數單調性的教學設計一內容和內容解析函數的單調性是研究當自變量x不斷增大時，它的函數y增大還是減小的性質如函數單調增表現為“隨著x增大，y也增大”這一不變的特征與函數的奇偶性不同，函數的奇偶性是研究x成為相反數時，y是否也成為相反數，即函數的對稱性質函數的單調性與函數的極值類似，是函數的局部性質，在整個定義域上不一定具有這與函數的奇偶性、函數的最大值、最小值不同，它們是函數的整體性質，即函數在整個定義域上的性質函數單調性的研究方法也具有典型意義，體現了對函數研究的一般方法這就是，加強數與形的結合，由直觀到抽象；由特殊到一般首先借助對函數圖象的觀察、分析、歸納，發現函數的增、減變化的直觀特征，進

2、一步量化，發現增、減變化數字特征，從而進一步加以解析研究，數學刻畫函數單調性的概念是研究具體函數單調性的依據，在研究函數的值域、定義域、最大值、最小值等性質中有重要應用（內部）；在解不等式、證明不等式、數列的性質等數學的其他內容的研究中也有重要的應用（外部）二目標和目標解析本節課要求學生理解函數在某區間上單調的意義，掌握用函數的單調性定義證明函數在區間上具有某種單調性的方法（步驟）。1要求能夠以具體的例子說明函數在某區間上具有某種單調性；2能夠舉例說明函數在定義域的子集（區間）上具有單調性，而在整個定義域上未必具有單調性，說明函數的單調性是函數的局部性質；3對于一個具體的函數，能夠按照單調性的

3、定義，證明它的單調性：在區間上任意取x1，x2，x1x2，作差f（x2） f（x1），然后判斷這個差的符號，從而證明函數在該區間上具有單調性。三教學問題診斷分析學生已有的知識結構是，初中已經學習過函數的概念，初步認識到函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念；進入高中以后，又進一步學習了函數的概念，認識到函數是兩個數集之間的一種對應。學生還了解函數的三種表示方法，特別是可以借助圖像直觀對函數性質加以考察。此外，還學習過一次函數、二次函數、反比例函數等幾個簡單而具體的函數，了解它們的圖像及性質。尤其值得注意的是，學生有利用函數圖像進行兩個數大小比較的經驗。這些都是在函數單調性教學時值得關注的

4、，是建立函數的單調性的生長點。學生學習的困難在于，難以把具體的、直觀形象的函數單調性的特征抽象出來，難以用數學的符號語言描述函數單調性的特征。即由“隨著x的增大，y也增大”（單調增）這一自然語言到“由（區間上）任意的x1x2有f（x1）f（x2）”（單調增）數學符號語言的轉換其中最難理解的是為什么要用“任意”二字，在區間上“任意”取兩個大小不等的x1x2刻畫。當然，應該注意到，企圖在一節課中就實現學生對函數單調性的真正理解也是不現實的。在今后，學生通過判斷函數的單調性，尋找函數的單調區間，運用函數的單調性解決具體問題，等一系列學習活動可以逐步理解這個概念。教學重點是通過一系列具體問題的研究，經

5、過歸納、抽象、概括，逐步由“隨著x的增大，2 / 8y也增大”（單調增）這一自然語言轉換成“由（區間上）任意的x1x2到f（x1）f（x2）”（單調增）數學符號語言單調減的數學刻畫將會迎刃而解。教學中，教師要找出建立概念的關鍵之處，明確學生建立這個概念到底難在哪里其次是采取適當的方法，注意啟發引導，不以自己的想法代替學生的想法，把單調性的定義告訴學生注意引導學生積極參與概念形成的關節點處的討論、交流等活動。不要使學生僅記住意義，模仿練習不要簡化概念發生過程的教學，把重心放在具體函數單調性證明的訓練上，放在作差后如何證明f（x2）f（x1）0的技巧訓練上概念的形成過程應該是一個歸納、概括的過程，

6、是一個由特殊到一般，由具體到抽象的過程教師應該充分認識到，學生知識結構的改變不僅是要教師講、教師引導，還需要學生的親身體驗，親自參與，與同伴交流。四學習行為分析要使得學生理解函數單調性的概念，具體可以進行如下的操作。1可以先讓學生觀察圖像，由圖像的升降，所對應的函數值的變化，得到圖像上升相應的是“隨著x的增大，對應函數值y也增大”；圖像下降相應的是“隨著x的增大，對應函數值y減小”。從圖像直觀的形象刻畫轉化為數值之間的關系，加強數與形結合的意識。2函數圖像的“升”與“降”是兩種不同的性質特征，需要分類研究。明確首先研究函數圖像上升的情況，即先研究“隨著x的增大，對應函數值y也增大”這一特征。滲

7、透重要思想。分類思想是一種重要的數學思想，分類討論是常用的討論問題的方法。也體現了先解剖一個麻雀，重點研究函數單調增的情況，這樣函數單調減就迎刃而解了。3要刻畫“隨著x的增大，對應函數值y也增大”這一現象，能否在該區間上取兩個固定的值x1，x2，如果“當x1x2時，有f（x1）f（x2）”，從而得到在該區間上總有f（x1）f（x2）？可以讓學生舉反例加以說明。培養舉反例的能力。4要刻畫“隨著x的增大，對應函數值y也增大”這一現象，能否在該區間上取兩個值x1，x2，其中x1是區間左端點，x2可以在區間內任意取值，如果“當x1x2時有f（x1）f（x2）”，能否得到在該區間上總有f（x1）f（x2

8、）？仍然讓學生舉反例加以說明。5在區間（a，b）上，存在無數個數值，x1x2x3x4xn，有f（x1）f（x2）f（x3）f（x4）f（xn），能否得到在區間（a，b）上函數具有“隨著x的增大，對應函數值y也增大” 這一特征。這是具有一定挑戰性的問題，需要學生作出認真思考。6在區間（a，b）上怎樣取值，使得“當x1x2時，有f（x1）f（x2）”成立，就能夠得到函數在區間（a，b）上，隨著x的增大，對應函數值y也增大呢？引導學生得到：允許在區間（a，b）上任意取值x1，x2時，“當x1x2時，有f（x1）f（x2）”就可以得到函數單調性的特征。從而產生函數單調性的定義。五教學支持條件分析為了有

9、效實現教學目標，條件許可，可以借助計算機或者計算器繪制函數圖像，同時輔以坐標計算、跟蹤點以及等手段觀察函數值的變化。獲得函數單調增、減的直觀感受。六教學過程設計1課題引入設計引導學生感受研究函數單調性的必要性。前面已經學習過函數的概念、函數的表示法，緊接著對函數要研究些什么？引導學生認識到，應該認識函數的各種特征。這樣，通過研究描述客觀世界變化規律的這一數學模型，可以把握現實問題的變化規律。對于運動變化問題，最基本的就是要描述變化的快或慢、增或減相應的，函數的重要特征就包含：函數的增與減（單調性），函數的最大值、最小值，等等。從研究問題的方法上說，一般來說，建立一個數學概念之后應該揭示它的特征

10、，研究它的性質讓學生感受到，緊接著關注函數的性質是必然的學習任務另一方面，還可以由教師引導，借助對一些函數圖象的直觀觀察、對所觀察到的特征的歸類，引入函數的某類性質的研究比如，觀察下圖中各個函數的圖像，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些變化特征嗎？ 圖1還可以引導學生觀察比較多的函數的圖象，并進行一些歸類說說你為什么把這些函數歸為一類。比如都單調增的歸成一類；圖象都關于y軸對稱（偶函數）的歸為一類，等等，更好地體現“事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質”這樣就形成了課題提出的契機，使得當前來討論函數的一些性質成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動研究哪些性質？先研究什么性質？我

11、們先研究函數的某一種特征，如函數增減變化的特征總之，作為教學活動的第一環節，課題的提出應該是自然的，學生容易共鳴的問題另一種就是，由具體事例引入創設問題情景：圖2表示的是某地24小時溫度變化的情況你能說說溫度變化特點嗎？可能的回答是，在夜里的0點到2點，溫度越來越低，夜里2點到白天的下午2點，溫度不斷升高，下午2點到夜里又不斷下降引出“函數值y隨著自變量x的值增大而增大以及隨著自變量x的值增大而見效”等一話題當然由學生自己發現并提出學習的課題更好這可以視學生的具體情況確定 圖2數學教學中，應該注意，力求教會學生自己提出問題，并找到研究問題的方法，學會研究問題2問題鏈設計 問題設計的目的大體從三

12、個層次上展開。首先觀察圖像，描述變化規律，如上升、下降，從幾何直觀角度加以認識；然后，結合圖、表，用自然語言描述，即y隨x的增大而增大（或減小）；最后，用數學符號語言描述變化規律，逐步實現用精確的數學語言刻畫函數的變化規律。問題鏈的設計由具體到抽象，由特殊到一般，由遠及近，一步一步地促使學生形成概念。問題1 列表描點，畫函數f（x）x2的圖像。x432101234f（x）x216941014916 意圖：列表描點（自變量取值總是從小到大的選取，這與考察函數單調性時自變量總是從小到大取值是一致的，這也是學生早就熟悉的。這樣可以不必討論，函數在某區間上遞增是指從左到右的問題），通過計算函數值可以體

13、驗當自變量從小到大取值時，對應的函數值的大小變化規律。問題2 利用畫出的圖像，請描述函數值增減變化特征。從函數圖像及上述表格可以看出（這并不困難）：圖象在y軸左側“下降”，也就是，在區間上，隨著x的增大，相應的f（x）反而減小；圖象在y軸右側“上升”，也就是，在區間上，隨著x的增大，相應的f（x）也隨著增大。意圖：幾何直觀，引導學生關注圖形所反映出的特征。借助圖像，體驗自變量從小到大變化時，函數值大小變化在圖形上的表現。 圖3問題3 當x從小到大變化時，y的值如何變化？意圖：是對前一個問題（直觀）的再一次概括，一次自然語言描述。而且，既不能說隨著x的增大y增大，也不能說隨著x的增大y減小。學生

14、必須分段回答這個問題，體驗函數的這一特征是函數的局部特征。問題4 比較下列各數的大小。22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。就x在（0，+）從小到大取值時，具體討論函數值的大小變化。這不難得到223242（4.5）2（5.1）2（6.3）2。顯然有：當0x1x2x3x4x5x6時，有0xxxxxx時，即0y1y2y3y4y5y6。意圖：由具體的數字特征逐步向抽象的符號描述過渡。問題5 對于函數一個函數f（x），如果12時，有f（1）f（2），能否說函數f（x）在區間（1，2）上遞增呢？問題6 函數f（x），對于（0，）上的無數個自變量的值x1，x2，x3，當0x1x2x3

15、時，有0y1y2y3，能否說函數f（x）在（0，）上遞增呢？請畫圖說明。意圖：這兩個問題的目的是，逐步由“靜態”、“有限”向“動態”、“無限”過渡。回答這些問題需要一定的抽象思維。問題6引導學生用反例說明問題，以便抓住問題的正面特征。問題7 在函數yx2的圖像位于y軸右邊的部分隨便（任意）取兩點，橫坐標分別是x1，x2，即當0x1x2時，是否總有y1y2呢？意圖：抽象前的鋪墊，以“隨便”替代“任意”容易被接受。問題8 在函數yx2的圖像位于y軸左邊的部分任意取兩點，橫坐標分別是x1，x2，即當 x1x20時，是否總有y1y2呢？意圖：把“隨便”換成“任意”并不突然。任意x1x20時，有y1y2

16、。而0x1x2不變。這樣，基本完成難點的突破。問題9 在函數yx2的圖像上任意取兩點，橫坐標分別是x1，x2，當x1x2時，是否總有y1y2呢？意圖：函數遞增、遞減描述需要分段表述。問題10 你能否舉出一個具體的函數的例子，使得它在區間（，）上，對任意x1x2，總有y1y2。意圖：學生為尋找例子，會首先從形象直觀的角度尋找思考，如f（x）x3。加強幾何直觀與抽象表述之間的聯系。問題11 你能否舉出一個具體函數的例子，使得它在區間（0，）上，對任意x1x2，總有y1y2。意圖：使得學生把當前學習的內容與以前學習過的內容聯系起來，先有函數性質特征再尋找具體函數的例子。從具體到抽象，從抽象到具體，體

17、驗函數的這一特征?？赡芘e出的例子是f（x）。也有可能學生舉出的例子是f（x）x2，等。3先對具體函數下單調性的定義函數f（x）x2，對于x（0，）上的任意x1x2，都有f（x1）f（x2），我們說函數f（x）x2在（0，）上是增函數。對于x（，0）上的任意x1x2，都有f（x1）f（x2），我們說函數f（x）x2在（0，）上是減函數。4函數在區間a，b上單調性的定義問題12 函數f（x）在區間a，b上是增函數如何刻畫？遞減呢？意圖：培養學生用數學語言表述函數性質，進一步，以此作為函數單調性的定義。5單調性的認識問題13 函數f（x）在區間（0，）上，總有f（x）f（0），能否說f（x）在（0，

18、）上單調增？請舉例說明。意圖：概念辨析。學生容易畫出圖形來加以說明。從反面進一步體驗到，函數單調性中“任意x1x2，都有f（x1）f（x2）”中“任意”二字的意義，體驗到為什么要在區間上任意取大小不同的兩個值。以后學習立體幾何直線與平面垂直的定義時，可以加深對為什么要“任意”取值的理解。一條直線與平面內的無數條直線垂直，并不能斷定這條直線與平面垂直，而如果一條直線與平面內的任意一條直線垂直，則直線與平面垂直。6單調性應用概念的應用有助于對概念的理解，有助于進一步把握概念的本質通過一些具體的函數單調性的證明或者函數單調區間的劃分可以進一步認識函數的單調性概念例1 物理學中的波利爾定律p（k是正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積V減小，壓強p將增大試用函數的單調