1、 Ch 13 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) （ 1 2 時 ） § 1 一致收斂性（ 6 時 ）一 函數(shù)列及極限函數(shù)：對定義在區(qū)間I上的函數(shù)列，介紹概念：收斂點，收斂域（ 注意定義域與收斂域的區(qū)別 ），極限函數(shù)等概念. 逐點收斂 ( 或稱為“點態(tài)收斂” )的“”定義. 例1 對定義在內(nèi)的等比函數(shù)列, 用“”定義驗證其收斂域為, 且 例2 . 用“”定義驗證在內(nèi).例3 考查以下函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù): . . . . . 設(shè)為區(qū)間上的全體有理數(shù)所成數(shù)列. 令 , .155 / 16 . , . 有, , . （ 注意.） 二. 函數(shù)列的一致收斂性:問題: 若在數(shù)集D上 , . 試問: 通項的解

2、析性質(zhì)是否必遺傳給極限函數(shù)? 答案是否定的. 上述例1、例3說明連續(xù)性未能遺傳,而例3說明可積性未能遺傳. 例3說明雖然可積性得到遺傳, 但 .用函數(shù)列的極限表示函數(shù)是函數(shù)表達的一種重要手段. 特別是表達非初等函數(shù)的一種手段. 對這種函數(shù), 就是其表達式.于是,由通項函數(shù)的解析性質(zhì)研究極限函數(shù)的解析性質(zhì)就顯得十分重要. 那末, 在什么條件下通項函數(shù)的解析性質(zhì)能遺傳給極限函數(shù)呢? 一個充分條件就是所謂“一致收斂”. 一致收斂是把逐點收斂加強為所謂“整體收斂”的結(jié)果.定義 ( 一致收斂 )一致收斂的幾何意義.Th1 (一致收斂的Cauchy準則 ) 函數(shù)列在數(shù)集D上一致收斂, , .( 介紹另一種

3、形式.)證 ( 利用式 ) 易見逐點收斂. 設(shè),有 .令, 對D成立, 即,，D.系1 在D上, ， .系2 設(shè)在數(shù)集D上 , . 若存在數(shù)列D , 使, 則函數(shù)列在數(shù)集D上非一致收斂 .應用系2 判斷函數(shù)列在數(shù)集D上非一致收斂時, 常選 為函數(shù) 在數(shù)集D上的最值點.驗證函數(shù)一致收斂性:例4 . 證明函數(shù)列在R內(nèi)一致收斂.例5 . 證明在R內(nèi) , 但不一致收斂.證 顯然有, 在點處取得極大值,. 由系2 , 不一致收斂. 例6 . 證明在內(nèi), .證 易見 而 在內(nèi)成立.由系1 , 例7 對定義在區(qū)間上的函數(shù)列 證明: , 但在上不一致收斂. 1P3839 E3, 參圖.證 時, 只要, 就有.

4、 因此, 在上有. , .于是, 在上有. 但由于, ,因此 , 該函數(shù)列在上不一致收斂. 例8 . 考查函數(shù)列在下列區(qū)間上的一致收斂性: ; . Ex 1P4446 1，2，9； P5354 1，2，3. 三. 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性: 1 函數(shù)項級數(shù)及其和函數(shù)：，, 前項部分和函數(shù)列，收斂點，收斂域, 和函數(shù), 余項. 例9 定義在內(nèi)的函數(shù)項級數(shù)( 稱為幾何級數(shù) ) 的部分和函數(shù)列為 , 收斂域為.2. 一致收斂性: 定義一致收斂性.Th2 ( Cauchy準則 ) 級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂, , 對D成立. 系 級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂, , .Th3 級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂, .例10

5、證明級數(shù)在R內(nèi)一致收斂 . 證 令=, 則時 對R成立. 例11 幾何級數(shù) 在區(qū)間上一致收斂；但在內(nèi)非一致收斂.證 在區(qū)間上 , 有, . 一致收斂 ; 而在區(qū)間內(nèi) , 取, 有, . 非一致收斂. ( 亦可由通項在區(qū)間內(nèi)非一致收斂于零, 非一致收斂.)幾何級數(shù)雖然在區(qū)間內(nèi)非一致收斂 , 但在包含于內(nèi)的任何閉區(qū)間上卻一致收斂 . 我們稱這種情況為“閉一致收斂”. 因此 , 我們說幾何級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 . Ex 1P4445 1 ， 4，6.四. 函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法:1. M - 判別法:Th 4 ( Weierstrass判別法 ) 設(shè)級數(shù)定義在區(qū)間D上, 是收斂的正項級數(shù).若當充

6、分大時, 對D有|, 則在D上一致收斂 .證 然后用Cauchy準則.亦稱此判別法為優(yōu)級數(shù)判別法. 稱滿足該定理條件的正項級數(shù)是級數(shù)的一個優(yōu)級數(shù). 于是Th 4 可以敘述為: 若級數(shù)在區(qū)間D上存在優(yōu)級數(shù) , 則級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂 . 應用時, 常可試取.但應注意, 級數(shù)在區(qū)間D上不存在優(yōu)級數(shù) , 級數(shù)在區(qū)間D上非一致收斂. 參閱1P45 8.注意區(qū)分用這種控制方法判別函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的區(qū)別所在. 例12 判斷函數(shù)項級數(shù) 和 在R內(nèi)的一致收斂性 . 例13 設(shè)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù). 試證明 : 若級數(shù) 與都絕對收斂, 則級數(shù)在區(qū)間上絕對并一致收斂 .簡證 , 留為作業(yè). . 2.

7、Abel判別法:Th 5 設(shè) > 級數(shù)在區(qū)間上收斂; > 對每個 , 數(shù)列單調(diào) ; > 函數(shù)列在上一致有界, 即, 使對和, 有. 則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 . ( 1P43 )2. Dirichlet判別法:Th 6 設(shè)> 級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界; > 對于每一個, 數(shù)列單調(diào); > 在區(qū)間上函數(shù)列一致收斂于零. 則級數(shù)在區(qū)間上一致收斂 . 例14 判斷函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性. 解 記. 則有> 級數(shù)收斂; > 對每個, ；> 對 和成立. 由Abel判別法, 在區(qū)間上一致收斂. 例15 設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零 . 試證明 :

8、 級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂.證 由本教案Ch12§3例4 ，在上有 .可見級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 . 取 , . 就有級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界, 而函數(shù)列對每一個單調(diào)且一致收斂于零.由Dirichlet判別法,級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.其實 , 在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下, 級數(shù) 在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂. Ex 1P4546 3，5，7，8，9*. 習 題 課 ( 2 時 )例1 設(shè), . 且,.若對每個自然數(shù) 有| 對成立, 則函數(shù)列在上一致收斂于函數(shù).例2 證明函數(shù)列在區(qū)間上非一致收斂.例3 , . 討論函數(shù)列的一致收斂性.解 0, . | 0| . 可

9、求得 . 函數(shù)列在區(qū)間上非一致收斂.例4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) . 定義 . 試證明函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于零.證法一 由有界 . 設(shè)在區(qū)間上| . |; |; |.注意到對, . 0, , .證法二 . 有界. 設(shè)在區(qū)間上|. 把函數(shù)在點展開成具Lagrange型余項的階Taylor公式 , 注意到 ,就有 , , , .所以 , 0, , .例5 設(shè). 且, . 令 , , . .試證明: 若對 和 , 有 , 則函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂 . 證 對取 , 使時, 有. 于是對任何自然數(shù)和, 有 .由Cauchy收斂準則 , 函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂 . 例6 設(shè)在數(shù)集上函數(shù)列一致收斂于函數(shù).

10、若每個在數(shù)集上有界 , 則函數(shù)列在數(shù)集上一致有界 .證 ( 先證函數(shù)在數(shù)集上有界 ) 設(shè)在上有|.對,由函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂,當時 , 對,有 | |, |< . 即函數(shù)在數(shù)集上有界.( 次證函數(shù)列在數(shù)集上一致有界 ) 時, 對,有| |< , | .取 易見對和有|. 即函數(shù)列在數(shù)集上一致有界 . 例7 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)列, 且對每個, 函數(shù)在點右連續(xù) , 但數(shù)列 發(fā)散. 試證明: 對), 函數(shù)列在區(qū)間內(nèi)都不一致收斂.證 反設(shè), 使在區(qū)間內(nèi)一致收斂. 則對, 有 對成立. .為Cauchy列,即收斂. 與已知條件矛盾. § 2 一致收斂函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（

11、 4 時 ） 一. 一致收斂函數(shù)列極限函數(shù)的解析性質(zhì):1. 連續(xù)性:Th 1 設(shè)在上,且對,函數(shù)在上連續(xù) , 在上連續(xù).證 ( 要證 : 對, 在點連續(xù) . 即證: 對, , 當|時, . ) .估計上式右端三項. 由一致收斂 , 第一、三兩項可以任意小; 而由函數(shù)在點連續(xù), 第二項也可以任意小 . 系 設(shè)在上. 若在上間斷 ，則函數(shù)列在上一致收斂和所有在上連續(xù)不能同時成立.註 Th1表明: 對于各項都連續(xù)且一致收斂的函數(shù)列, 有 .即極限次序可換 . 2. 可積性:Th 2 若在區(qū)間上函數(shù)列一致收斂 , 且每個在上連續(xù). 則有 .證 設(shè)在上, 由Th1, 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),因此可積. 我們要

12、證 . 注意到 , 可見只要在上成立.Th2的條件可減弱為: 用條件“在上( R )可積”代替條件“在上連續(xù)”. 證明可參閱 江澤堅著數(shù)學分析上冊P350. 關(guān)于函數(shù)列逐項積分條件的減弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)列. 若在上收斂且一致可積 , 則其極限函數(shù)在上( R)可積 , 且有 .參閱: 馬振民 , ( R)可積函數(shù)列逐項積分條件的減弱 , 西北師范大學學報（自然科學版）1988.4. 3. 可微性:Th 3 設(shè)函數(shù)列定義在區(qū)間上, 在某個點收斂. 對, 在上連續(xù)可導, 且由導函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)列在上一致收斂, 則函數(shù)列在區(qū)間上收斂, 且有 .證 設(shè)，. , .對, 注意到函數(shù)連續(xù)和 +, 就有 + （ 對第二項交換極限與積分次序） + +.估計 |+ | + |, 可證得. .即 . 亦即求導運算與極限運算次序可換. 例1 1P49 E1 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. )例2 1P50 E2 ( 說明定理的條件是充分的, 但不必要. ) Ex 1 P52 1，2. 二. 一致收斂函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的解析性質(zhì): 把上述Th13表為函數(shù)項級數(shù)的語言，即得關(guān)系于和函數(shù)解析性質(zhì)的相應結(jié)果.參閱1P51 Th13.1113.13.例3 1P51 E3例