1、第 8 章 常微分方程8.1 基本概念一、問(wèn)題的引出1. 求曲線方程的問(wèn)題例 1 已知曲線上每一點(diǎn) P (x,y)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平 方，且該曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,10)，求曲線的方程。解：設(shè)曲線方程為 y f (x)由題意得 y' dy xdx3兩邊積分得 y x2dx x C3初始條件為 y|x=310代入初始條件得 109 C，C13故所求曲線為 y x 132. 確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題例 2 列車在以 20 米 / 秒的速度行駛時(shí)制動(dòng)， 制動(dòng)后的加速度為 0.4米 / 秒 2，求列車制動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：設(shè)列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ss (t), 則加速度是 s 的二階導(dǎo)數(shù)，由題意

2、有 s''(t)d2s dt20.4積分得 v(t) s'(t) ( 0.4)dt 0.4t Ct0時(shí)，vs' (0) 20,s' (t) 0.4t20 再積分得 s(t) ( 0.4t 20)dt 0.2t 2 20t C2 t0時(shí)，s (0)0,s (t) 0.2t2 20t二、關(guān)于微分方程的基本概念含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程。 如果導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則稱為常微分方程，如果導(dǎo)數(shù)是多 元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則稱為偏微分方程。微分方程的階數(shù)：微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。微分方程的次數(shù)： 微分方程中所含有的各項(xiàng)中未知函數(shù)及其各階 導(dǎo)數(shù)的次

3、數(shù)之和的最大值一次微分方程稱為線性微分方程。線性微分方程的左邊是關(guān)于 y 及其各階導(dǎo)數(shù)的有理整式，右邊是關(guān)于 x 的函數(shù)。由微分方程求原函數(shù)稱為解微分方程。 求出的原函數(shù)稱為微分方 程的解。含有任意常數(shù)的微分方程的解稱為通解， 不含有任意常數(shù)的微分 方程的解稱為特解。為求特解所給定的條件稱為初始條件。8.2 一階微分方程 一階微分方程的解法 形如 y'f (x) 的一階微分方程總可用兩邊積分的方法直接求出微 分方程的解 y f(x)dx F(x) C。一、變量可分離的微分方程形如 y'f (x)·g (y)或 f1 (x)g1 (y)dxf2 (x)g2 (y)dy0

4、的方程稱為 變量可分離的微分方程。對(duì)于變量可分離的微分方程，把 y' 寫成 dy 的形式，微分方程一 dx 定可化為 g (y)dyf (x)dx ，兩邊積分可求得通解為 G(y)F(x)C 例如：解微分方程 y'y2+xy2解 : dy y 2 (1 x)可變形為 12 dy (1 x)dxdxy 2兩邊積分得 1 x 1 x2 Cy2例 1：求微分方程 y' 2xy 的通解解 : dy 2xy, 可分離變量為 1 dy 2xdxdx y22兩邊積分得 ln y x2 lnC lnex lnC lnCex2y Cex(C為任意常數(shù) )注意：在解微分方程時(shí) 1 dy的結(jié)

5、果通常不用再寫成 ln|y|,而直接寫作 ylny ，此時(shí)的積分常數(shù)通常也不寫成，而寫作 lnC。 例：求微分方程 y'cosxy滿足初始條件 yx 0 1的特解解 : dy y ,可分離變量為 1 dy sec xdxdx cosx y兩邊積分得 lny ln(secxtanx)lnClnC(secxtanx) yC(secxtanx) (C 為任意常數(shù) )以初始條件 x 0，y 1 代入，得 C 122則 y 1 (secx tanx)二、齊次型微分方程 形如 y' f (y) 的微分方程稱為齊次型微分方程。x令 u y ，則 yux，y'uxu'，原微分方

6、程變形為 u xu'f(u) x這是一個(gè)以 u 為變量的變量可分離的微分方程 dudx ，兩邊積f (u) u x分后即可求出通解： F(u)lnxC，即F ( y ) lnx C 。x例 3：求微分方程 y'tan 的通解xx解 : 令u y ,則y xu,y' u xu ' ,代入得 u xu' u tanux即 x du tan u, 分離變量得 cot udu 1 dxdx x 兩邊積分得 ln sin u lnx lnC lnCx sin y Cx(C為任意常數(shù) )x例 4：求微分方程 y2+(x2-xy)y '=的0 滿足初始條件 y

7、|x=1 1 的特解解 : 將原方程變形為 y' 2xy x2y2( )2xy1x令u y,則y xu,y' u xu',代入得 u xu x2 uu u u 1 u 1即x ddux uu1,分離變量得 (1 u1)du 1dx兩邊積分得 u lnu ln x lnC ln Cx,ln eu lnCx lnuyex Cx y Cy(C為任意常數(shù) )x把 x1,y 1 代入，得 e-1 C，C e-1y1所求的特解為 y ex三、一階線性微分方程形如 y' p(x) yq(x) 的方程稱為一階線性微分方程，它的等式 左邊是關(guān)于 y、y'的一次式， 右邊的

8、 q(x)稱為自由項(xiàng)。當(dāng) q(x)=0 時(shí)，微分方程稱為一階線性齊次微分方程， 否則， 稱為 一階線性非齊次微分方程。1. 一階線性齊次微分方程 y'p(x) y0 是變量可分離的微分方程， dy p(x)dx 它可化為 dyy p(x) ，解得 ln yp (x)dxC，通解為 y Ce例如 y'3xy0可化為 dyy 3xdx例：求微分方程y'2x15y (x 1)2 的通解2. 一階線性非齊次微分方程 y'p(x) y q(x)解法是這樣思考的 把 y'p(x) y q(x)的兩邊同乘以 ep (x)dx 得 ep (x)dx·y'

9、;p(x)ep (x)dx·yq(x)ep (x)dx 等式的左邊恰好是 (ep (x)dx·y) '，兩邊積分得 ep (x)dx ·y q(x)ep (x)dxdx解: p(x) 2ln( x 1) 2e, p(x)dx 2 1 dx 2ln(x 1) ln(x 1) 2x1x1(x 1) 2,方程兩邊同乘以 (x 1) 2得11 (x 1) 2 y' 2(x 1) 3y (x 1) 2 ,即( x 1) 2 y' (x 1)2 23兩邊積分得 (x 1) 2 y 2(x 1)2 C327y 2(x 1)2 C(x 1)2(C為任意常數(shù)

10、 )例：求微分方程 y'cos2x y tanx 0 的通解 解：將原方程變形為 y' sec2 x y tanx sec2 x 22p(x) sec x, p(x)dx sec xdx tanx方程兩邊同乘以 etanx,得etanxy' etanx sec2 x y tanx etanx sec2 x 即etan x y' tanx etanx sec2 x,令u tan x,兩邊積分得tanx u u u tanx tanxe y ue du ue e C tanx e e Cy tanx 1 Ce tanx(C為任意常數(shù) )小結(jié)一階線性非齊次微分方程的解

11、題步驟可以歸結(jié)為下列 4 步1. 將含有 y'的項(xiàng)化為單獨(dú)一個(gè) y'2. 將含有 y 的項(xiàng)中與 y 相乘的 x 的函數(shù)式積分，求出它的一個(gè)原函 數(shù) F(x)3. 方程兩邊同乘以 eF(x)，則等號(hào)左邊為 (eF(x)y) '4. 方程兩邊同時(shí)積分8.5 可降階的二階微分方程一、y”f (x) 型的微分方程 解此類型的微分方程，只要把方程兩邊兩次積分即可。例 求微分方程 y”xcosx 的通解解：y' xcosxdxxsinx sinxdxxsinxcosxC1 y (xsinx cosx C1)dx xsinxdx cosxdx 1dx xcosx 2sinxC

12、1x C2二、y”f (x,y 型'的)微分方程因?yàn)榉匠讨胁缓?y，可令 y'p，則 y” p'，方程降階為 p 的 一階微分方程。 例 求微分方程 y”y'x0 的通解 解：令 y'p, 則 y” p'，方程降階為 p'px方程兩邊同乘以 e x,得e x p' e x p xe x積分得 e x p xe xdx xe x e x C1則 p ex ( xe x e x C1) C1ex x 12x x xy (C1ex x 1)dx C1exx C22三、y”f (y,y 型'的)微分方程因?yàn)榉匠讨胁缓?x，可令

13、 p y' dy,則y" dp dp dy p dp ，方程 dx dx dy dx dy 可看作為以 y 為自變量，未知函數(shù) pp (y) 的一階微分方程。 例 3 求微分方程 yy” 1 (y '2 )的通解 解 :令py',則y"p dp ,代入方程得ypdp1 p2,即 1 2p2 dpdydy dy 2 1 p2y1 2 2 2 2 兩邊積分得 ln(1 p2) ln y lnC1 ln C1y,即1 p2 C12y22于是,y'C12 y2 1, dy dx1C12 y2 1解為 1 ln( C1 y C12 y2 1) x C2

14、8.6 二階線性微分方程形如 y”p(x) y'q(x) yf (x) 的二階微分方程稱為二階線性微 分方程。若 f (x) 0 時(shí)，方程 y”p(x) y 'q(x) y 稱為二階線性齊次微 分方程，否則，稱為二階線性非齊次微分方程。 一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理 8.1如果 y1(x)是線性齊次微分方程的解， 則對(duì)于任意常數(shù)， Cy1(x) 也是該方程的解。如果 y1(x) 和 y(x)都是線性齊次微分方程的解， 則 y1(x) y(x) 也是該方程的解。如果 y2(x)k y 1(x) ，則稱 y2(x)與 y1(x)線性相關(guān)，否則，稱 y2(x) 與 y1(x) 線性

15、無(wú)關(guān)。 定理 8.如果 y1(x) 和 y(x) 是線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則該 方程的通解為 yC1y1 C2y。C1y1C2y稱為 y1和 y的線性組合或線性迭加。 定理 8.如果 y* 是二階線性非齊次微分方程 y”p(x) y'q(x) yf (x)的 一個(gè)特解， C1y1 C2y是線性齊次微分方程 y”p(x) y 'q(x) y0的 通解，則非齊次微分方程的通解為 yy* C1y1C2y。1例如， y* 3 x3ex是二階線性非齊次微分方程 y”2y'y2xex3的一個(gè)特解， 齊次微分方程 y” 2y'y0 的通解為 C1exC2xex，因

16、 此，二階線性非齊次微分方程 y”2y'y2xex 的通解為：13 x x xy 3 x e C1e C2xe 。3二、二階線性常系數(shù)齊次微分方程形如 y”p y'q y0 的微分方程，當(dāng) p、q 是常數(shù)時(shí)，稱為二 階線性常系數(shù)齊次微分方程。怎樣來(lái)求二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解呢？ 由于(ex)' e x y,(ex)" ( e x)' 2ex 2y, 所以我們可以設(shè) y e x是微分方程的解 ,代入后得到e x( 2 p q) 0,因此,如果 是 2 p q 0的解,y e x就是微分方程的解這樣一來(lái) ,求微分方程的解就轉(zhuǎn)化 成了求 的問(wèn)題了方程 2 p q 0稱為二階線性常系數(shù)齊 次微分方程y" py' qy 0的特征方程 , 設(shè)它的兩根為 1和 2(1) 當(dāng)實(shí)數(shù) 1 2時(shí),微分方程的通解為 y C1e1x C2e 2x(2) 當(dāng)實(shí)數(shù) 1 2時(shí),微分方程的通解為 y C1e x C2 xe x(3) 當(dāng) 1,2 a bi時(shí),微分方程的通解為 y eax (C1 cosbx C2 sin bx) 例