1、精心整理實驗4用復擺測量剛體的轉動慣量一、實驗目的1 .學習掌握對長度和時間的較精確的測量；2 .掌握重力加速度的方法，并加深對剛體轉動理論的理解; "|一久 、二。11 I1 , , I , I3.學習用作圖法處理、分析數據。二、實驗儀器JD-2物理擺、光電計時器等三、實驗原理1 .單擺如圖4-1 (單擺球的質量為 項 當球的半徑遠小于擺長l時，應 用動量矩定理，在角坐標系可得小球自由擺動的微分方程為:+氏冶4=0(4-1)dt2 l式中t為時間，g為重力加速度，1為擺長。當3(rad)很小時，sin -1(4-2)精心整理則(4-1 )式可簡化為:0二010 sin(o1t +u

2、) (4-5)圖4-2物理擺(復擺)(4-3)d29 g 八210dt2 l令 i2 = g (4-4)(4-3)式的解為：式中日10 , 口由初值條件所決定l周期 T1=2% (4-6)v g2 .物理擺'A.，J一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺或物理擺。如圖 4-2,設物理擺的質心為C,質量為M,懸點為O,繞O點在鉛直面內轉動的轉動慣量為Jo, OC?巨 離為h,在重力作用下，由剛體繞定軸轉動 的轉動定律可得微分方程為d2u, 一、J0 dT = -Mghsin u (4-7)MghJ 0(4-8)仿單擺，在e很小時，（4-7）式的解為:s - s sin( t ： ) (4-9)

3、設擺體沿過質心C的轉動慣量為Jc,由平行軸定理可知：j0 = Jc Mh2（4-11）將（4-11 ）代入（4-10）可得：匚 ；丁=2-/七+上 （4-12）,Mgh g（4-12）式就是物理擺的自由擺動周期 T和（4-13）式右端各參變量之間的關系。實驗就是圍繞（4-12）式而展開的。二門'八'X '：! v. .X .I* I -因為對任何Jc都有Jc8M ,因此（4-13）式的T與M無關，僅與M的分布相關。 j=Ma2, a稱為回轉半徑,則有 T = J"a-+1 (4-13),gh g精心整理一次法測重力加速度g4二 2(JC Mh2)(4-14)由

4、（4-12）式可得出Mh測出（4-14）右端各量即可得g;擺動周期T,用數字計時器直接測出，M可用天平稱出，C點可用杠桿平衡原理等辦法求出，；對于 飛v A11 J./形狀等規則的擺，Jc可以計算出。二次法測g一次法測g雖然簡明，但有很大的局限性，特別是對于不規則物理擺，Jc就難以確定，為此采用如下“二次法”測 g：當M及其分布（C點）確定以后，改變h值，作兩次測T的實 驗，運用(4-13)式于是有n A" ' V4 '、,電" I ，即 MghX2 -4h2Jc 4n 2Mh： = 0 (4-15)Mgh2T22 -4二2JC -4二 2Mh22 = 0(

5、4-16)聯立解(4-15)、(4-16)式，可得出h12 - h22，一、h1Tl2-h2T22(-)這樣就消去了 J所以（4-17）測g就有著廣泛的適用性。從（4-17） 來源網絡，僅 供個人學習參考精心整理式，更可十分明確地看到T與M的無關性。雖然，任意兩組（,Ti）, （h2,T2）實測值，都可以由（4-17） 式算出g；但是，對于一個確定的“物理擺”選取怎樣的兩組（h,T）數據，使能得出最精確的g的實測結果呢？為此必須研究T （h）關r I "? X 系：將（4-12）式平方，于是可得出三=工十0 （4-18）4二2 Mgh g從此式可以看出T2與h的關系大體為一變形的雙曲

6、線型圖線：當h趨于0時T-s,當hfs, T亦趨于s；可見在h的某一處一定有一個凹形極小值。為此，對（4-18）作一次求導并令其為0;即由哈R可得dhMgh 2(4-19)Mh2 = JC =Ma2 （4-20）即移動擺軸所增加的轉動慣量恰為質心處的轉動慣量，即 h=a 處所相應的T為極小值（為什么？）。精心整理（注意：體會稱a為回轉半徑的含義）將（4-13）式取二次導數為研究T （h）關系特在0.6m長的扁平擺桿上，間隔2cm均勻鉆 出直徑為1cm的28個孔以作為O點的Hi值（i=±1,±2,±3,圖4-3擺動周期T與擺軸離中心距離h的關系±14）于是

7、可得出如圖4-3所示的曲線。在共鈍的A, B二極小T值點以上，沿任一 Th畫一條直線，交圖線于C, D, E, F四點；皆為等T值點，錯落的兩對等T值間的距離（ho+hE）=hC+hF被稱為等值單擺長。為理解這一點，將（4-17）式的Ti與Te（或Td）對應，T2與Tf（或Tc）對應，h1為與Ti對應的hE,h2為與T2對應的hF,并將（4-17）式改形為：222224 2 _ Ti T2 , Ti -T2 g -2（hi+h2） 2（%）（4-22）（4-22）與（4-17）的等同性同學們在課后去用代數關系式驗 證。從（4-22）可知，當Ti不（=T）時，即化為單擺形式的公式（4-6）, 故

8、稱（hE+hF）、（hc+ho）為等值單擺長。從（4-20）式可知：oB=oA = a;而 a；=hE+hi飛、（"&1| ,/從圖4-3可知，A, B二共鈍點為T （h）的極小值點，若在它附 近取二個h值來計算g則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的g的 測量值，就只能取最大的F點和相應的E點來計算g值。因孔的非 連續性，E只能取Te近乎于Tf的點代入（4-22）式。還可取略大、 略小的兩組值都計算出再取平均。A或B在實驗上雖然不利于測量出較精確的g，但運行在Tb （或 £：一%、.晨='八' X%,二 二 ? I 丁Ta）值下的擺，其性能最穩定。可

9、倒擺為提高測g的精度，歷史上在對稱結構的物理擺的擺桿上，加 兩個形體相同而密度不同的兩個擺錘對稱地放置。于是質心C點隨即被改變，圖4-3的圖線也隨之改變，特別是Tc （即Ti）, Tf （即T2）精心整理所相應的he （即hi）, hF （即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。所以，用此時的 T （=Tf=Tc）和 hi （=he）, h2 （=hF）按（4-22）式來計算出go當然，由于擺桿孔的非連續性，所以僅能用 Te-Tf的實測值， /r I ' ,這時（4-22）式的右端的第2項僅具很小的值。所以（-T2）很小, 二而（hi - h2）較大。所以實驗須先在重鐵錘的擺桿的下端測出

10、 Ti后，將擺倒置過來，從遠端測出大于丁的值然后逐漸減h2直至T2小于Ti為止。將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開特氏擺）；（4-22）式 I就稱為可倒擺計算式。擺錘用兩個而不是用一個，而且形體作成相同，是因為倒置以 r .、I .后在擺動過程中，擺的空氣阻尼等對擺的運動的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開特擺）僅是物理擺的特例。錘移效應a.加錘擺的擺動周期Tm設原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質量為 m質心為e （設為坐標加錘擺4-4所以新的擺長h4-7)、(4-10)加錘擺的周期公式向為+X。置錘于由平行軸定理，可得4-4所不設重力加速度g（不變），則帶錘的擺動方程式仿擺心為O, 0巨

11、離為h,質心C處與擺心O處沿OZ軸的轉質量為m正軸與上述各軸平行。錘移動沿CO方質心變為C',由一次矩平衡原理可得出M m (4-23)CC h - m X/(M m)(4-25)m) g h - m X /(M m) sin - (4-27)CC"m X/(M m) (4-24)后再加一個圓柱形的擺錘，錘的回轉半徑為 rJo =Ma2+Mh2+mr2+m(h-X)2(4-26)動慣量為Jc、Jo。以上條件皆固定不變2222Tm(4-28)(M + m) g (hm x)M mMa Mh mr m(h - x)在研究錘移效應時，令(固定不變)：C =Ma2 +mh2 +mr2

12、(4-29)k = (M m) g (4-30) F "X'i'll I I I I;fJ i>2 所以有Tm=2/上他辿一(4-31) k(h- m x)M m此式的特點：K>111它與無錘擺的形式相似，即原 T (h)關系與現在Tm (X)關 系相似，(此時h為固定常數)由于X的取向等原因，所以Tm (X)相當于圖4-3曲線的左葉，Tm (X)的漸近線為h-X=0,即X=+"mh時， M mmTm00而X的負向則為，X °0, T + OO注：XAMmh,則Tm為復數(無意義) m它也存在著極(小)值dTm dTmdX df所以有所

13、以應由_2df 令 f _ c + m(h-X) dX k(h - m X)m Xk(h m X )M m)一1ddXdT m ( X )dX0 (4-32)2c m(h - X)= 0k(h-MmM)X令U -C m(h -X)(h-MmmX)222、m X 22 m(c mh ),nX -2mhX 2mh=0M mM m22、2, m2 m(c mh )n2mh - (2mh) -42mh -X= ;M mM m M m分子，分母都除以2m （根號內除以4吊）得, V代入dZ) dXdvudXdu-v可得mM m，=0 (4-33)(M m)h 二 mc M 2h2(4-34)m/(h -

14、X)2m(h -X) (-1) -C m(h -X)(M m精心整理所以X一定有解，T有極值T (X)如前所述，T (X)函數與T(h)函數的性狀是一樣的，所以此略去)-,2_.極值也一7E是極小；(以求E來判,dxii .零質量擺錘的周期(公式)Tm0將m=0弋入公式(4-28),可得. a2 h二2二 a h = Th (4-35)；gh gTh意義就是與X平行的，值為Th的T (X)函數線。Th也就是無 錘擺在CO=h時的擺動周期值，這也就是研究 T (X)時為什么X的 取向，原點都與原來的T (h)的h取向、原點為一致的原因，而另取一個有別于h的符號X是為了討論、理解得方便。理解這一點

15、是 弄明下一點的前提。iii .周期Tm與Th (即m=O寸的Tm)的交點，即有Tm=Th 也就是令(4-28)式與(4-13)式相等，于是有：2n pai+h=2n lMa2+Mh2+mr2+m(h X)2(4-36)'gh g 1 (M +m) g <h-m-X) ,M m所以 hX2 -(h2 -a2)X -h(a2 -r2) =0(h - a ) - (h - a ) 4(a2 -r2)解得 X=h_'- (4-37)上式如下特點:它與m無關。即錘的結構、形狀相同（r相同）而密度（即 aj質量）不同的擺錘，在X處擺的周期T相等。、之 11它在r<a條件下有兩

16、個實根。22 222當 r-二aO2-ta- （4-38） 4h2即雖然它與錘質量無關，但它與質量的分布（回轉半徑r）相關，且r滿足（4-38）式時，無解。2222,2當(4-39)4h a (h -a )'2h,22時退化為只有一個解：X=匚"（4-40）2hiv,回到物理擺的周期公式（4-12）式或（4-13）式，在擺桿質心點當有類似情況當m0而r-0的質點錘置于擺桿的質心 C處時，并且懸掛 點于a處。來源網絡，僅 供個人學習參考精心整理當m#0, m變則T變，這與由（4-37）式算出的X處r不變T變，m變而T為不變是有所不同的。v.（鐘表擺的）T的微調遠離于C, X, X調擺錘（或平衡錘一一亦可稱之為擺的“平衡”錘）的質量 或其質量的分布。移動平衡錘。 X I i 泮J. I!r _1./ I.三、實驗內容與步驟安裝、調節好儀器以后： K>1111 .測出無錘擺桿的T （H）關系；（可只測半截擺桿的）2 .測出兩個加錘擺的Ti （X）, T2 （X）關系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質量不同；3 .然后按原理所述，進行數據處理。數據表格自列。四、注意事項1 .擺幅A須小于1° ,按R=0.3m（；擺桿）+0.03m（擺針）=330mm計2倍振幅精心整理Ga7 2二 330mm2AW父 1 * w 10mm3602 .擺的懸掛處的孔和刀口間須