1、排列組合分類精選試題1常考點一：與幾何圖形結合1 .如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于 A、B的六個點Ci、Q、Q、C4、。、C5,直徑AB上有異于 A、B的四個點Di、D2、D3> D4.以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個（）A. 116 B, 128 C, 215 D. 982 .在銳角AOB的邊OA上有異于頂點O的6個點，邊OB上有異于頂點O的4個 點，加上點O,以這11個點為頂點共可以組成一個三角形（用數字作答）.3 .在平面直角坐標系中，x軸正半軸上有5個點，y軸正半軸上有3個點，將x 軸上的5個點和y軸上的3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限內的交

2、點最多有（）A. 30 個 B. 35 個 C. 20 個 D. 15 個4 .已知集合A=5, B=1 , 2, C=1 , 3, 4,從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系上的坐標，則確定的不同點的個數為（）A. 6B. 32 C. 33 D. 344.用1, 3, 5, 7, 9五個數字中的三個替換直線方程 Ax+By+C=0中的A、B、C,若A、B、C的值互不相同，則不同的直線共有（）A. 25 條B. 60 條C. 80 條D. 181 條5.已知直線區（8是非零常數）與圓x2+y2=100有公共點，且公共點的橫a b坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有（A. 60 條B.

3、 66 條 C. 72 條 D. 78 條2 g-5 .從集合1, 2, 3,，11中任選兩個元素作為橢圓方程 號=1中的m和n,則能組成落在矩形區域B= （x,y） | x| < 11,且| y| <9內的橢圓個數為（A. 43 B. 72 C 86 D. 906 .方程 ay=bx2+c 中的 a, b, cC -3, -2, 0, 1, 2, 3,且 a, b, c互不相 同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）A. 60 條B. 62 條C. 71 條D. 80 條7 .從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對.其中所成的角為60°的共有（ ）A.

4、24 對B.30 對C.48 對D.60 對8 .以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A. 70 個B.64 個C.58 個D.52 個21.由正方體的八個頂點中的任意兩個所確定的所有直線中取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率是20.以長方體ABCD- A B'的3三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩 個三角形，則這兩個三角形共面的概率是 （用數字作答）.總結常考點二：多排問題10.將1, 2, 3填入3X3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（）A. 6 種 B. 12 種 C. 24 種 D. 48 種12.將1、2、3、9這九個數字填

5、在如圖所示的9個空格中，要求每一行從左 到右依次增大，每一列從上到下依次增大，當6在圖中的位置時，則填寫空格的 方法有（）HA. 8 種 B. 18 種 C. 12 種 D. 24 種11.將1, 2, 3,，9這9個數字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，當 3, 4固定在圖中的位置時，填寫空格的D. 24 種23.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排 正中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 22.大小形狀完全相同的8張卡片上分別標有數字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 從中任意抽取6

6、張卡片排成3行2歹I，則3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5的概率為17. 25人排成5X5方陣，現從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列， 不同的選法有多少種？9. 16人排成4X4方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列, 則不同的選法有（）A. 600 種 B. 192 種 C. 216 種 D. 96 種14.甲乙和其他4名同學合影留念，站成兩排三列，且甲乙兩人不在同一排也不 在同一列，則這6名同學的站隊方法有（）A. 144 種 B. 180 種 C. 288 種 D. 360 種16.某次活動中，有30個人排成6行5列，現要從中選出3人進行禮儀表演， 要求這3

7、人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數為 （用數字作答）.18.在6X 6的表中停放3輛完全相同的紅色車和3輛完全相同的黑色車，每一 行、每一列都只有一輛車，每輛車占一格，共有 一種停放方法.（用數字作答）總結常考點三：正難則反三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？用0, 1, 2, 3, 4這五個數，組成沒有重復數字的三位數，其中1不在個位的數共有種。從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的取法有多少種？15.有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本.若將其隨機 地擺放到書架的同一層上，則

8、同一科目的書都不相鄰的概率是（）A. ； B. C.i D：24.隨機抽取的9位同學中，至少有2位同學在同一月份出生的概率為 （默 認每個月的天數相同，結果精確到 0.001）（2005 福建理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A . 300 種 B. 240 種 C. 144 種 D. 96 種總結常考點四：整除問題25.在由數字0, 1, 2, 3, 4, 5所組成的沒有重復數字白四位數中，不能被 5整除的數共有 個.26.用數字0, 1, 2, 3, 4, 5組

9、成沒有重復數字的四位數，其中能被 3整除的四位數有 個.總結（一）能被2、4、8、5、25、125整除的數的數字特性能被2 （或5）整除的數，末 位數字能被2 （或5）整除；能被4（或25）整除的數，末兩位數字能被4 （或25）整除;能被8 （或125）整除的數，末三位數字能被 8 （或125）整除；（二）能被3、9整除的數的數字特性能被3 （或9）整除的數，各位數字和能被 3 （或9）整除。（三）能被7整除的數的數字特性能被7整除的數，其末一位的兩倍與剩下的數之差為 7的倍數。能被7整除的數，其末三位數與剩下的數之差，能被7整除。（四）能被11整除的數的數字特性能被11整除的數，奇數位的和與

10、偶數位的和之差，能被 11整除。能被11整除的數，其末三位數與剩下的數之差，能被11整除。（五）能被13整除的數的數字特性能被13整除的數，其末三位數與剩下的數之差，能被13整除。排列組合分類精選試題1參考答案與試題解析一.選擇題（共15小題）1. （2014春?雨城區校級期中）如圖，在以 AB為直徑的半圓周上，有異于 A、B 的六個點G、C2、C3、C5、C6,直徑AB上有異于A、B的四個點D1、D2、D3、D4.以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個（）第一類，3個點全在半圓周上有cg=20個,個 60-1 4C2 6CA. 116 B, 128 C. 215 D. 98 【解答

11、】解：由題意需要分三類，第二類，二個點在半圓周上，有 第三類，一個點在半圓周上，有 心登=36個, 根據分類計數原理可得,20+60+36=116個.故選：A.故選：A.3. （2010?杭州模擬）用1, 3, 5, 7, 9五個數字中的三個替換直線方程 Ax+By+C=0 中的A、B、C,若A、B、C的值互不相同，則不同的直線共有（）A. 25 條 B. 60 條 C. 80 條 D. 181 條【解答】解：用1, 3, 5, 7, 9五個數字中的三個來替換 A、B、C; A、B、C的 值互不相同，是分步乘法計數原理，直線條數是5X 4X 3=60故選B4. （2007砌北）已知直線骨（8是

12、非零常數）與圓x2+y2=100有公共點， 且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有（）A. 60 條 B. 66 條 C. 72 條 D. 78 條【解答】解：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標軸不垂直，不過坐標原 點，而圓x2+y2=100上的整數點共有12個，分別為（6, ±8）, （-6, ±8）, （8, ±6）, （-8, ±6）, （±10, 0）, （0, ±10）,前8個點中，過任意一點的圓的切 線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成 C122=66條直線，其中有4條直線 垂直x軸，有4條直線垂直

13、y軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足 題設的直線有52條.綜上可知滿足題設的直線共有 52+8=60條， 故選A5. （2005以津）從集合1, 2, 3,，11中任選兩個元素作為橢圓方程24+=1中的m和n,則能組成落在矩形區域 B= （x, y） | x| <11,且|y| <9內的橢 圓個數為（）A. 43 B. 72 C. 86 D. 90【解答】解：橢圓落在矩形內，滿足題意必須有，mwn,所以有兩類，一類是m, n從1, 2, 3,一67, 8任選兩個不同數字，方法有 A82=56令一類是m從9, 10,兩個數字中選一個，n從1, 2, 3, £ 7,

14、 8中選一個方法是：2X8=16所以滿足題意的橢圓個數是：56+16=72故選B.6. (2012?四川)方程 ay=bx2+c 中的 a, b, c -3, -2, 0, 1, 2, 3,且 a,b, c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A. 60 條B. 62 條C. 71 條D. 80 條【解答】解：方程變形得 產若表示拋物線，則aw0, bw0,所以分 a ab=-3, -2, 1, 2, 3五種情況：(1)當 b=3 時，a= - 2, c=0, 1,2, 3 或 a=1, c=- 2, 0, 2, 3或 a=2, c=-2, 0, 1 , 3 或 a=3,

15、 c=- 2, 0, 1, 2;(2)當 b=3 時，a=- 2, c=0, 1 , 2, 3 或 a=1, c=- 2, 0, 2, 3 或 a=2, c=-2, 0, 1, -3或 a=-3, c=- 2, 0, 1, 2;以上兩種情況下有9條重復，故共有16+7=23條；(3)同理當b=-2或b=2時，共有16+7=23條；(4)當 b=1 時，a=- 3, c=- 2, 0, 2, 3 或 a= 2, c=- 3, 0, 2, 3 或 a=2, c=-3, -2, 0, 3 或 a=3, c=- 3, -2, 0, 2;共有16條.綜上，共有23+23+16=62種故選B.7. （20

16、14?安徽）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對.其中所成的角為60°的共有（）A. 24 對 B. 30 對 C. 48 對 D. 60 對【解答】解：正方體的面對角線共有12條，兩條為一對，共有C，=66條，同一面上的對角線不滿足題意，對面的面對角線也不滿足題意，一組平行平面共有6對不滿足題意的直線對數，不滿足題意的共有：3X6=18.從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對.其中所成的角為60°的共有：6618=48.故選：C.8. （1990?全國）以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A. 70 個 B. 64 個 C. 58 個 D. 52 個【解答】解：

17、正方體的8個頂點中任取4個共有C84=70個不能組成四面體的4個頂點有，已有的6個面，對角面有6個所以以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有：70- 12=58個故選C.9. （2015春?松原校級期末）16人排成4X4方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選法有（）A. 600 種 B. 192 種 C. 216 種 D. 96 種【解答】解：由題意知本題是一個計數原理的應用，從4列中選擇三列C4 .； 2111A. 6 種 B. 12 種 C. 24 種 D. 48 種【解答】解：填好第一行和第一列，其他的行和列就確定， A33A22=12,=4;從某一列中任選一個人

18、甲有4種結果；從另一列中選一個與甲不同行的人乙有 3種結果；從剩下的一列中選一個與甲和乙不同行的丙有 2種結果根據分步計數原理知共有4X4X3X2=96, 故選：D.10. （2008?全國卷I ）將1, 2, 3填入3X3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（）故選B11. （2012畫南三,K）將1, 2, 3,，9這9個數字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，當 3, 4固定在圖中的位 置時，填寫空格的方法數為（）D. 24 種【解答】解：二.每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大,1、2、9只有一種填法，5只

19、能填右上角或左下角, 5填后與之相鄰的空格可填6、7、8任一個； 余下兩個數字按從小到大只有一種方法.共有2 X 3=6種結果，故選A.12. （2015春?河池期末）將1、2、3、9這九個數字填在如圖所示的9個空格 中，要求每一行從左到右依次增大，每一列從上到下依次增大，當6在圖中的位 置時，則填寫空格的方法有（）A. 8 種 B. 18 種 C. 12 種 D. 24 種【解答】解：如圖所示，中間數為4,其他數從左到右依次增大，從上到下依次 增大，故左上角必須填數字1,右下角必須填數字9.b、c、d、e、f,其中d, f只能是7和8,有A22種填法，當a, c排定后b, e隨之排定，故只要

20、排好a, c即可, 在2, 3, 4, 5中按a小c大來選排，有C24種排法， 因此，一共有A22?C24=12種不同的填法，故選：C.13. （2017?自貢模擬）已知集合 A=5, B=1, 2, C= 1, 3, 4,從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系上的坐標，則確定的不同點的個數為（ ）A. 6 B. 32 C. 33 D. 34【解答】解：不考慮限定條件確定的不同點的個數為 C21C31A33=36,但集合B、C中有相同元素1,由5, 1, 1三個數確定的不同點的個數只有三個，故所求的個數為36-3=33個，故選C.14. （2017?洛陽模擬）甲乙和其他4名同學合影留念，

21、站成兩排三列，且甲乙兩人不在同一排也不在同一列，則這 6名同學的站隊方法有（）A. 144 種 B. 180 種 C. 288 種 D. 360 種【解答】解：根據題意，分3步進行討論：1、先安排甲，在6個位置中任選一個即可，有 C61=6種選法；2、在與甲所選位置不在同一排也不在同一列的 2個位置中，任選一個，安排乙， 有C21=2種選法；3、將剩余的4個人，安排在其余的4個位置，有A44=24種安排方法；則這6名同學的站隊方法有6X2X24=288種；故選：C.15. （2011?浙江）有5本不同的書，其中語文書 2本，數學書2本，物理書1 本.若將其隨機地擺放到書架的同一層上，則同一科目

22、的書都不相鄰的概率是（ ）A. - B. - C. 丁 D.-【解答】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是把5本書隨機的擺到一個書架上，共有 A55=120種結果， 下分類研究同類書不相鄰的排法種數假設第一本是語文書（或數學書），第二本是數學書（或語文書）則有 4X2X2 X2X 1=32種可能;假設第一本是語文書（或數學書），第二本是物理書，則有4X1X2X1X1=8種 可能；假設第一本是物理書，則有1 X4X2X1 X 1=8種可能.同一科目的書都不相鄰的概率 P苦聾，120 5故選B.二.選擇題（共1小題）16. （2010摘城區校級二模）某次活動中，有 30個人

23、排成6行5列，現要從中 選出3人進行禮儀表演，要求這3人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種 數為 1200 （用數字作答）.【解答】解：由題意知本題是一個計數原理的應用，從5列中選擇三列C53=10;從某一列中任選一個人甲有6種結果；從另一列中選一個與甲不同行的人乙有 5種結果；從剩下的一列中選一個與甲和乙不同行的丙有 4種結果根據分步計數原理知共有10 X 6 X 5 X 4=1200.故答案為：1200.三.選擇題（共1小題）17. （2016春?泰興市校級月考）25人排成5X5方陣，現從中選3人，要求3 人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？【解答】解：由題意知本題是一個計數

24、原理的應用，從5列中選擇三列C53=10；從某一列中任選一個人甲有5種結果；從另一列中選一個與甲不同行的人乙有 4種結果；從剩下的一列中選一個與甲和乙不同行的丙有 3種結果根據分步計數原理知共有10 X 5 X 4 X 3=600.四.選擇題（共3小題）18. （2016春？邛江區校級期中）在6X6的表中停放3輛完全相同的紅色車和3 輛完全相同的黑色車，每一行、每一列都只有一輛車，每輛車占一格、共有14400 種停放方法.（用數字作答）【解答】解：第一步先選車有 燒種，第二步因為每一行、每一列都只有一輛車， 每輛車占一格，從中選取一輛車后，把這輛車所在的行列全劃掉，依次進行，則 有C卜。卜Aa

25、,根據分步計數原理得；0；.吊=14400種.故答案為：14400.19. （2014秋？朝陽區期末）在銳角 AOB的邊OA上有異于頂點O的6個點，邊 OB上有異于頂點O的4個點，加上點O,以這11個點為頂點共可以組成 120 個三角形（用數字作答）.【解答】解：第一類：三角形頂點不包括 O點，在OA上取兩點，在OB上取一 點，或者在 OA上取一點，在 OB上取兩點，此時構成三角形的個數為cc：+cbc 浮6，第二類：三角形頂點，包括 O點，在OA上取一點，在OB上取一點，此時構成三角形的個數為：=24,根據分類計數原理，以這11個點為頂點共可以組成96+24=120個三角形故答案為：120.

26、20. （2007春？洪澤縣月考）以長方體ABCA A B'的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形共面的概率是理 （用一L 數字作答）.【解答】解：用長方體的八個頂點做三角形可做 C83=56個，從56個三角形中任取兩個三角形共有 C562=1540種不同的取法，要使兩個三角形共面,則兩個三角形要在同一個長方體的表面或對角面上有12X Q2=72,. P»41540 385故答案為:18385五.選擇題（共3小題）21. （2014?江北區校級模擬）由正方體的八個頂點中的任意兩個所確定的所有直線中取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率是磬 .63

27、【解答】解：因為從正方體的八個頂點中任取兩個點共有 C82=28條直線，從中任意取出兩條有C282種取法，從八個頂點任取四個不共面的點共有 C84-12組;而其中每一組不共面的四點可出現3對異面直線.故答案為:2963所求的概率為上 63|'22. （2015春?重慶校級月考）大小形狀完全相同的 8張卡片上分別標有數字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,從中任意抽取6張卡片排成3行2歹1，則3行中僅有中 問行的兩張卡片上的數字之和為 5的概率為衛 .一210一【解答】解：根據題意，從8張卡片中任取6張，有A86種不同的取法，再求出“3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為 5

28、”的情況數目，依據要求，則中間彳T的數字只能為1, 4或2, 3,共有C21A22=4種排法，然后確定其余4個數字，其排法總數為A64=360,其中不合題意的有：中間行數字和為 5,還有一行數字和為5,有4種排法，余下兩個數字有A42=12種排法，所以此時余下的這4個數字共有360-4X12=312種方法；由乘法原理可知滿足“3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5”共有4X 312=1248種不同的排法，則3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為故答案為:1323. （2015春?泉州校級期末）有兩排座位，前排 11個座位，后排12個座位, 現安排2人就座，規定前排正中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰, 那么不同排法的種數是 346 .【解答】解：由題意知本題是一個分類計數問題，都在前排左面4個座位6種都在前排右面4個座位6種 分列在中間3個的左右4X4X2=32種在前