1、第四章第四章 線性方程組線性方程組一、非齊次線性方程組一、非齊次線性方程組111122112112222211122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb nxxx1 未知數向量未知數向量mbbb1 常數項向量常數項向量,nnmmm naaaaaaAaaa111212122212 系數矩陣系數矩陣11121121222212(,)nnmmm nmaaabaaabA baaab 增廣矩陣增廣矩陣m nAxb 非齊非齊次方次方程組程組的向的向量表量表示示1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb nnxxx 1212, nn

2、xxx 1122 二齊次線性方程組二齊次線性方程組1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 系數矩陣系數矩陣 1nxxx 未知數向量未知數向量0mnAx 齊次齊次線性線性方程方程組的組的向量向量表示表示nnmmm nnaaaxaaaxaaax11121121222212000 nnxxx1212,0 nnxxx11220 齊次線性方程組齊次線性方程組1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax m nnnA

3、xxxx112200 齊次線性方程組解向量的性質齊次線性方程組解向量的性質系數矩陣的秩表示：方程組中有效方程的個數.例例12340 xxxx 求求方方程程組組 的的基基礎礎解解系系. .12341234=0 xxxxxxxx 解解：由由，得得 2132431231121232334,111100=010001xCxCxCCCCxCxxCCCCxCx 令令 則則通通解解 112233CCC123, 滿滿足足：1.1.解解，2.2.線線性性無無關關，3.3.通通解解由由其其表表示示. .基礎解系基礎解系0( )m nAxnr A 即即的的基基礎礎解解系系為為：個個線線性性無無關關的的解解。( ),

4、Amnr Arn設設 是是矩矩陣陣，如如果果則則齊齊次次線線性性方方程程組組0-.Axn r 的的基基礎礎解解系系存存在在，且且基基礎礎解解系系中中含含有有個個解解向向量量定理定理2 2( ):.nr A 其其中中待待定定未未知知量量的的個個數數例例12340 xxxx 求求方方程程組組 的的基基礎礎解解系系. .1212334111100=010001xxxCCCxx 112233CCC( )1,4,( )3( )=3( )=3.r Annr Anr Anr A 進進一一步步分分析析：未未知知數數個個數數表表示示待待定定未未知知數數的的個個數數，令令每每一一個個待待定定未未知知數數為為任任意

5、意常常數數，則則通通解解可可以以表表示示成成為為個個任任意意常常數數與與向向量量的的乘乘積積之之和和，從從而而基基礎礎解解系系中中向向量量個個數數為為個個【例例1 】 求下列齊次方程組的通解。求下列齊次方程組的通解。12341234123240(1) 24803620 xxxxxxxxxxx 解：解：124124813620A 153101200010000 初等行變換初等行變換行最簡形矩陣對應的方程組為行最簡形矩陣對應的方程組為12434125310 xxxxx 24,xx是自由變量。是自由變量。(2)先求基礎解系，再求通解。先求基礎解系，再求通解。在在(2)中令中令2410;01xx 得得

6、121,00 21503101 則通解為則通解為1122xkk 12(,)(0,0,0)lABOA b bb12(,)(0,0,0)lAb AbAb120,0,0lAbAbAb所以B的列是Ax=0的解.12( )0,n rr ArAx 的的基基礎礎解解系系為為：1212,ln rb bb 可可由由表表示示12121212(,)(,)(,)lln rn rr b bbr b bbrnr ; ;( )( )r Ar Bn00TAxA Ax先先證證明明與與同同解解1.00TAxA Ax顯顯然然的的解解一一定定是是的的解解2.0TyA Ax 設設 是是的的解解, ,0TA Ay 則則, ,0()0TT

7、Ty A AyAyAy從從而而, ,2221212(,)()TTnnAyb bbAyAybbb令令+=0+=0AyyAx從從而而0 0，所所以以也也是是0 000TAxA Ax因因此此與與同同解解. .00TAxA Ax因因為為與與同同解解，所所以以基基礎礎解解系系相相同同，從從而而基基礎礎解解系系中中向向量量個個數數相相同同，故故( )()( )()TTnr Anr A Ar Ar A A1212,(,);mmrm 線線性性相相關關1212,(,)= ;mmrm 線線性性無無關關定理定理4 412112212,=0(,);mmmmxxxrm 線線性性相相關關有有非非零零解解證明證明4 5()

8、4,.r AA 例例：設設則則 的的行行向向量量組組_ _ _ _ _ _ _, ,列列向向量量組組_ _ _ _ _ _ _線性無關， 線性相關111122112112222211122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 1122m nnnAxbxxxb 向量由向量組線性表示向量由向量組線性表示非齊次線性方程組解的結構非齊次線性方程組解的結構11221122()ssssAxA kkkk Ak Ak A1212120,0,(),1.ssskkkkkk bbkkk 1010( , )01100001A b132303001xxxx 對對應應方方程程組組：

9、( )2:2r A 有有效效方方程程個個數數為為 個個；( , )3:3r A b 有有用用方方程程個個數數為為 個個. .注意：注意：r(A)表示去掉多余的、矛盾的方程，剩下的有效方程個數； r(A, b)表示去掉多余的的方程，剩下的有用方程個數。(1)()( , )(2)()= ( , )=(3)()= ( , ) .m nAxbr Ar A br Ar A bnr Ar A bn對對于于非非齊齊次次方方程程組組無無解解；有有唯唯一一解解；有有無無窮窮多多解解定理定理1 1解解13423478,542,5xxxxxx 對應的齊次方程組為對應的齊次方程組為121212,(,)= (,).nn

10、nrr 設設向向量量 能能由由向向量量組組 線線性性表表示示；則則矩矩陣陣定理定理3 3證明證明12121122112211212,;(,)= (,).nnnnnnnnnk kkkkkxxxkkrr 設設向向量量 能能由由向向量量組組 線線性性表表示示存存在在使使得得；非非齊齊次次方方程程組組有有解解1231121= 2=0,= 1 ,=2311.aa 討討論論的的取取值值，使使得得可可由由例例 線線性性表表示示7 712312111211(,)0122 0122113002628aaa 能表示能表示不能表示不能表示1231231.3(,)(,)3;arr 當當時時，1231232.3(,)2

11、(,)3.arr 當當時時，(.1( ),)AXBr Ar A B矩矩陣陣方方程程定定有有解解理理1212(,)(,)nnAXBA xxxb bb ：矩矩陣陣方方程程有有解解證證明明有有解解; ;1122=,nnAxb AxbAxb系系列列方方程程組組：均均有有解解; ;12( )( ,),( )( ,),( )( ,);nr Ar A br Ar A br Ar A b12( )( ,)( )( ,).nr Ar A b bbr Ar A B .ABCAXCXB方方程程組組有有解解( )( ,)( )()r Ar A Cr Cr AB.TTTTTTABCB ACB YCYA方方程程組組有有解解( )()(,)()( )()TTTTr Br Br BCr Cr Cr AB1212121212:,:,(,)(,)2.lmmlmBArr 向向量量組組能能由由向向量量組組線線性性表表示示定定理理1212:,:,lmBA ：能能由由證證明明表表示示1112121222121212(,)(,)lllmmmmlkkkkkkkkk ( )(