1、考點一、概念（1）定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2,這樣的整式方程就是一一元二次方程。（2） 一般表達式：ax2 + bx + c = 0（a 豐 0）難點：如何理解“未知數的最高次數是2” ：該項系數不為“ 0” ；未知數指數為“ 2” ；若存在某項指數為待定系數，或系數也有待定， 則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關于 x的一元二次方程的是（）211 一一A 3x1=2x1B 2-2=0x x222.C ax bx c = 0D x 2x = x 122變式：當k 時，關于x的萬程kx +2x = x +3是一元二次萬程。例2、方程（m+2km +3

2、mx + 1=0是關于x的一元二次方程，則 m的值為。針對練習：2 1、萬程8x =7的一次項系數是 ,常數項是 o 2、若方程（m2xm，=0是關于x的一元一次方程，求m的值；寫出關于 x的一元一次方程。 3、若方程（m 1,2+而x =1是關于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是 o 4、若方程nx m+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數式的值；典型例題：22例1、已知2 y + y 3的值為2,則4y +2y+1的值為。

3、例2、關于x的一元二次方程（a-2 x2 + x+a2-4 = 0的一個根為0 ,則a的值為說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數的限制例3、已知關于x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a #0 ）的系數滿足a+c = b，則此方程必有一根為 o說明：本題的關鍵點在于對“代數式形式”的觀察，再利用特殊根“-1 ”巧解代數式的值。22例4、已知a,b是萬程x 4x+m=0的兩個根，b, c是萬程y 8y +5m =0的兩個根，則m的值為。針對練習：2 1、已知方程 x +kx10=0的一根是 2,則k為,另一根是 o2X 1 2、已知關于X的方程X2 + kx 2 =

4、 0的一個解與方程 =3的解相同。X -1求k的值；方程的另一個解。22 3、已知m是萬程x x-1 =0的一個根，則代數式 m m=。一 22 一 4、已知 a 是 x -3x+1=0 的根，則 2a -6a =。2 5、萬程(abx +(bc x+ca =0 的一個根為()a -1b 1cb-cd - a 6、若 2x+5y 3=0，貝U 4x *32y =。考點三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次類型一、直接開方法：x2 = m m _ 0 , ： x = . m對于(x + a 2 = m , (ax + m f = (bx + n f等形式均適用直接開方法

5、典型例題：例 1、解方程：(12x28=0;(2 25-16x2=0;(311xf9 = 0;2例2、解關于x的萬程：ax b = 0例3、若9僅-1 f =16(x +2 2 ,則x的值為 o針對練習：下列方程無解的是()22._ 2_2A. x 3 = 2x -1B. x -2 .I =0 C. 2x 3 = 1 -x D. x 9 = 0類型二、因式分解法：(x - x1 lx - x2)= 0 = x = x1,或x = x2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如(ax + m 2 = (bx + n 2 , (x + a x+b )= (x + a jt

6、x + c ),典型例題：例 1、2x(x -3)=5(x -3 的根為()552A x = Bx=3Cx1=,x2=3 D x =225例 2、若(4x + y 2 +3(4x + y )4 = 0 ,則 4x+y 的值為。變式 1 ： (a2 +b2 ) - (a2 +b2 )6 =0,則 a2 +b2 =。 22變式 2 ：若 x +xy + y =14 , y +xy + x = 28 ,則 x+y 的值為。例3、方程x2 +|x 6=0的解為()A. x1二-3,x2 =2 B. x = 3,x2 = -2 C.x1二 3,x2 =-3D. x1 二 2, x2 =-2例 4、解方程

7、：x2 +2(v3 +1 x +2J3 +4=022x y例5、已知2x -3xy -2y =0,則的值為。x - y22x y變式：已知2x -3xy -2y =0,且xA0,y>0,則的值為。x- y針對練習： 1、下列說法中：22萬程 x + px +q =0 的二根為 x1, x2，則 x + px + q = (x x1)(x x2)-2 -x6x8 =(x2)(x4). a2 -5ab 6b2 =(a -2)(a -3) x2 _ y2 = (x y)(, x y)( . x - . y)方程(3x+1)27=0可變形為(3x+1+J7)(3x+1 J7)=0正確的有()A.

8、1個 B.2 個 C.3個D.4個 2、以1+J7與1 一行 為根的一元二次方程是()22_A. x - 2x-6=0B , x - 2x+6 = 022C. y +2y6=0d , y +2y+6 = 03、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數不為1,且兩根互為倒數： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數不為1 ,且兩根互為相反數： 4、若實數 x、y 滿足(x*y3jx+y)+2=0,則 x+y 的值為()A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2215、方程：x +二=2的解是。x，.>2. 2,2 , ,.f . b 1 b -4ac類型三、配方法ax +bx+

9、c = 0(a=0H x + i =I 2a J 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式的值或極值之類的問題。典型例題：2例1、試用配方法說明 x2 2x + 3的值恒大于0。22例2、已知x、y為實數，求代數式 x + y +2x4y + 7的最小值。例3、已知x2 +y2 +4x6y+13 =0, x、y為實數，求xy的值。2例4、分解因式：4x +12x+3針對練習：2 1、試用配方法說明 10x +7x4的值恒小于0。一 一2111 2、已知 x +二一*一一一4 = 0,則*+一 =.xxx 3、若t =2 -V-3x2 +12x -9，則t的最大值為 ,最小值為

10、 o21、關于x的方程x px q =0的兩根同為負數，則()A p>0 且 q>0bp>0 且 q<0C p< 0 且 q>0d. P<0 且 q<022、如果方程x2x+m =0有兩個同號的實數根，則m的取值范圍是？?？?？(？)A、？ m < 1？ ？B、？ 0Vm <1？ ？C、？ 0Vm <1？ ？D、？ ？m>0類型四、公式法條件：(a # 0,且 b24ac 2 0 )公式： x = -b - ' b4ac , (a * 0,且 b2 - 4ac 至 0 )2a典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程：

11、 3(1+x2 =6.(x+3'(x + 6)= -8. x24x+1=0 3x2 -4x-1 =0 3(x1 )(3x+1 )=(x-1l2x+5)說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式 法；一般不選擇配方法。例2、在實數范圍內分解因式：(1) x2 -2V2x-3；(2) -4x2 +8x -1. 2x2 -4xy -5y2說明：對于二次三項式 ax2+bx+c的因式分解，如果在有理數范圍內不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2 +bx + c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c = a(x - x1 )(x - x2).分解結果

12、是否把二次項系數乘進括號內，取決于能否把括號內的分母化去 類型五、“降次思想”的應用求代數式的值；解二元二次方程組。典型例題：f A 2 c c c (x13x2+1-例1、已知x2 -3x +2=0,求代數式 1的值。x - 1232例2、如果x +x -1 = 0,那么代數式 x +2x -7的值。2a3 -2a2 -5a 13、已知a是一兀二次萬程 x 3x +1 =0的一根，求 2的值a2 1說明：在運用降次思想求代數式的值的時候，要注意兩方面的問題：能對已知式進 行靈活的變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數式的高次募化為低次 募,最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組說明

13、：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都體現了一種共同的數學思想一一化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已 知的問題.2.考點四、根的判別式 b 4ac根的判別式的作用：定根的個數；求待定系數的值；應用于其它。典型例題：例1、若關于x的方程x2+2Jkx-1 =0有兩個不相等的實數根，則 k的取值范圍是 例2、關于x的方程(m-1 x2+2mx + m = 0有實數根，則 m的取值范圍是()b. m - 0 C. m = 1d. m 1例3、已知關于x的方程x2 -(k +2k+2k =0(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數根；(2)若等/ABC的一邊長

14、為1,另兩邊長恰好是方程的兩個根，求 AaBC的周長。例4、已知二次三項式 9x2 (m+6)x+m2是一個完全平方式，試求 m的值.說明：若二次三項式為一個完全平方式，則其相應方程的判別式也=0即：若b24ac=0,則二次三項式ax2+bx+c (a =0)為完全平方式；反之，若ax2 +bx +c (a =0)為完全平方式，則 b2 -4ac = 0 .例5、m為何值時，方程組2八2 八x +2y =6,mx + y = 3.有兩個不同的實數解？有兩個相同的實數解?針對練習：2 1、當k 時，關于x的二次三項式 x +kx+9是完全平萬式。 2、當k取何值時，多項式23x -4x+2k是一

15、個完全平方式?這個完全平方式是什么?.、一 2 3、已知萬程 mx mx+2 =0有兩個不相等的頭數根，則 m的值是.y = kx +2,4、k為何值時，方程組2y -4x-2y+1=0.(1)有兩組相等的實數解，并求此解；(2)有兩組不相等的實數解；(3)沒有實數解. 5、當k取何值時，方程 x2 -4mx +4x +3m2 -2m +4k =0的根與m均為有理數?考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關于x的方程(m +1 x2 +2mx3=0有兩個實數根，則 m為,只有一個根，則 m為 o例2、不解方程，判斷關于 x的方程x2 -2(x -k )+k2 = 3根的情況。22例

16、3、如果關于x的方程x + kx + 2 = 0及方程x x 2k = 0均有實數根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。考點六、根與系數的關系2刖提：對于ax +bx+c =0而百，當滿足 a¥0、主0時，才能用韋達定理。、一.、b c王要內谷：x1 + x2 = -，x1x2 = 一a a應用：整體代入求值。典型例題：2例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x - 8x + 7 = 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是()A. , 3B.3C.6D. 6a +b、說明：要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數的關系，必須熟練掌握 a

17、-b、ab、a2+b2之間的運算關系.例2、解方程組：22說明：一些含有x+y、x +y、xy的二元二次萬程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數的關系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題 有時，后者顯得更為簡便 .2 2例3、已知關于X的方程k x +(2k 1 x+1 = 0有兩個不相等的實數根 Xi,X2,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數 k,使方程的兩實數根互為相反數？若存在，求出 k的值；若不 存在，請說明理由。例4、小明和小紅一起做作業，在解一道一元二次方程(二次項系數為1)時，小明因看錯常數項，而得到解為 8和2,小紅因看錯了一次項系數，而得到解為-9和-1 o你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應