1、本章內容本章內容2. 1 質點運動定律質點運動定律2. 2 力學相對性原理力學相對性原理2. 3 剛體轉動定理剛體轉動定理第第2 2章章 動力學動力學 1.1.實驗基礎實驗基礎 實驗事實總結實驗事實總結 實驗事實證明實驗事實證明 2.2.物理意義物理意義 力是物體運動狀態改變的原因力是物體運動狀態改變的原因 力的成對性與一致性力的成對性與一致性 3.3.適用范圍適用范圍 慣性坐標系慣性坐標系 宏觀低速運動的物體宏觀低速運動的物體 我奉獻這一作品，作為哲學的數學原理，因為我奉獻這一作品，作為哲學的數學原理，因為哲學的全部責任似乎在于哲學的全部責任似乎在于從運動的現象去研究從運動的現象去研究自然界

2、中的力，然后從這些力去說明其它現象。自然界中的力，然后從這些力去說明其它現象。 牛頓牛頓自然哲學的數學原理自然哲學的數學原理（16861686） 2.1 質點運動定律質點運動定律 2.1.1 2.1.1 慣性定律慣性定律v 若平面光滑無摩若平面光滑無摩擦擦, ,球會滾多遠？球會滾多遠？顯然，球會永遠滾下去顯然，球會永遠滾下去理想實驗加科學推理的科學方法理想實驗加科學推理的科學方法 伽利略的正確結論在隔了一代人之后，由牛頓總結成了伽利略的正確結論在隔了一代人之后，由牛頓總結成了一條基本定律。一條基本定律。牛頓第一定律（慣性定律）：牛頓第一定律（慣性定律）： 任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態

3、，直到任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態，直到其他物體對它作用的力迫使它改變這種狀態為止。其他物體對它作用的力迫使它改變這種狀態為止。0Fv恒矢量其數學表達式為其數學表達式為時，時，牛頓第一定律牛頓第一定律 “力力”的概念的概念注意三個重要概念：注意三個重要概念： 慣性、力、慣性參照系慣性、力、慣性參照系某時刻質點某時刻質點動量動量對時間的變化率對時間的變化率等于等于該時刻作用在質點上所有力的該時刻作用在質點上所有力的合力合力。tmFid)d( v2.1.2 2.1.2 質點的動力學方程質點的動力學方程amtmFddv質量不隨時間變化時質量不隨時間變化時牛頓第二定律的分量形式牛頓第二定律的

4、分量形式 dd22txmFix22ddtymFiy22dd tzmFiz（自自然然坐坐標標系系（直直角角坐坐標標系系22)dd(1 tsmmmaFnnv22ddddtsmtmmaFv牛頓第二定律牛頓第二定律 力的度量力的度量(定量描述定量描述)注意：力的注意：力的 瞬時性瞬時性、矢量性矢量性和和對應性對應性iiaF2.1.3 2.1.3 牛頓第三定律牛頓第三定律FF 牛頓第三定律指明了一個真實存在的力的標志，在于總牛頓第三定律指明了一個真實存在的力的標志，在于總能找到它的反作用力，并且在其它物體的運動中表現出來。能找到它的反作用力，并且在其它物體的運動中表現出來。 物體之間的作用力具有成對性，

5、即作用力與反作用力必物體之間的作用力具有成對性，即作用力與反作用力必須同時出現，且屬于同種性質的力。作用力與反作用力是相須同時出現，且屬于同種性質的力。作用力與反作用力是相對的、無主從之分，各自產生的效果不會抵消。對的、無主從之分，各自產生的效果不會抵消。兩物體之間的作用力兩物體之間的作用力 和反作用力和反作用力 ，沿同一直線作，沿同一直線作用，大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上。用，大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上。FF牛頓第三定律牛頓第三定律 力的特性力的特性注意：力的注意：力的成對性成對性、一致性一致性和和同時性同時性選取研究對象選取研究對象分析受力情況分析受力情況畫出受力

6、圖畫出受力圖選取坐標系選取坐標系列方程求解列方程求解討論討論（牛頓運動定律（牛頓運動定律+ +運動學）運動學）2.1.4 2.1.4 牛頓牛頓運動運動定律定律的應用的應用應用牛頓運動定律求解質點動力學問題的一般步驟：應用牛頓運動定律求解質點動力學問題的一般步驟：已知一物體的運動方程，求已知一物體的運動方程，求 。F1. 微分問題微分問題jtBi tAr sin cos例例求求已知一物體的質量為已知一物體的質量為m , , 運動方程為運動方程為?Fj tBi tAtrtasincosdddd2222vrmamF2解解r2以初速度以初速度v0 豎直向上拋出一質量為豎直向上拋出一質量為m 的小球，小

7、球除受的小球，小球除受重力外，還受一個大小為重力外，還受一個大小為 mv2 的粘滯阻力。的粘滯阻力。解解例例求求 小球上升的最大高度。小球上升的最大高度。rf0vmgHytmgmfdd) (2vv2 ddvvgt ddddddddvvvvytyyt)()d(22vvgygg2d)()d(122vvHyg020d2) (d(ln10vv) (ln2120ggHvygd d2vvva,rF v求已知2. 積分問題積分問題m ra0aaaramNgmxmamgsinycosmamgNcos)(0agmNsin)(0agar選地面為參考系選地面為參考系例例 一光滑斜面固定在升降機的底板上，如圖所示，當

8、升降機以一光滑斜面固定在升降機的底板上，如圖所示，當升降機以勻加速度勻加速度 a 0 上升時，質量為上升時，質量為m 的物體從斜面頂端開始下滑的物體從斜面頂端開始下滑. .yxmgN0a x 方向方向y 方向方向物體對斜面的壓力和物體相對斜面的加速度。物體對斜面的壓力和物體相對斜面的加速度。求求解解0a)sin(0aamrcos0ma求求 拋體的軌跡方程。拋體的軌跡方程。解解斜拋物體初速度為斜拋物體初速度為v0 質量為質量為m， ，受到阻力，受到阻力 ，例例fkv Oxy 0vfgmamgmf x 方向方向d (1)dxxvkvmt取取 m 為研究對象，受力分析如圖。為研究對象，受力分析如圖。

9、取地面為參考系，取地面為參考系，建立圖示坐標系。建立圖示坐標系。y 方向方向d (2)dyyvmgkvmtddyyk vktmgkvm d1 2 dxxv ktv m 由 （ ） （ ）d1 2 dxxvktvm由 （ ） （ ）初始條件為：初始條件為： sin ,cos 00000vvvvtyx 時時，00ddxxvtxvxvktvm00ddyyvtyvyk vktmgkvm0(cos )ktmxvve0(sin)ktmymmvvg egkkddxxvtddyyvt0000cos , sinxyvvvv作定積分，得作定積分，得0cos(1)ktmmvxek方程消去參數方程消去參數 t ，得軌

10、道為，得軌道為 考慮風速等影響，結果還要復雜些。考慮風速等影響，結果還要復雜些。 2200(tan)ln(1)coscosmgm gkxyxkvkmv202sin(1)ktmm gmgmvyetkkk代入初始條件，代入初始條件，0 , 0 , 000 yxtoyy長為長為L質量為質量為M 的勻質柔繩，盤繞在光滑水平面上，現從靜止的勻質柔繩，盤繞在光滑水平面上，現從靜止開始，以開始，以恒定的加速度恒定的加速度a 豎直向上提繩，當提起的高度為豎直向上提繩，當提起的高度為l 時，時，例例求求解解 (1)作用在繩端的力的大小；作用在繩端的力的大小；(2)若以若以恒定速度恒定速度v 豎直向上提繩，豎直向

11、上提繩，提起的高度仍為提起的高度仍為l 時，作用在繩端力的大小又是多少？時，作用在繩端力的大小又是多少？ 建立如圖坐標系，建立如圖坐標系，以被提起的一段繩為對象以被提起的一段繩為對象，設設t = 0時，被提起的繩端為時，被提起的繩端為y0= 0， t 時刻，被提起的繩端為時刻，被提起的繩端為y，則有則有FgyLM ddMyvMLFygLt即即2MMMFygvyaLLL2()MFyg vyaLtmFid)d( v2()MFyg vyaL（1）若以恒定的加速度）若以恒定的加速度a 豎直向上提繩，則有豎直向上提繩，則有22vay)3(agyLMF當當 y = = l 時，有時，有)3(aglLMF（

12、2）若以恒定的速度）若以恒定的速度v 豎直向上提繩，則豎直向上提繩，則a = 0，有有2()MFyg vL當當y = = l 時，有時，有2( g)MFlvL2.2 力學相對性原理力學相對性原理 2.2.1 2.2.1 伽利略變換伽利略變換 經典時空觀經典時空觀(1) 慣性參考系慣性參考系將以加速度將以加速度 a 運動的車廂作為參考系看地面物體，會發現什么？運動的車廂作為參考系看地面物體，會發現什么？路邊的房屋、樹木等都以加速度路邊的房屋、樹木等都以加速度 a 做加速運動。但這些樹木、房屋做加速運動。但這些樹木、房屋根本沒受到使之加速的力！根本沒受到使之加速的力！難道牛頓定律再次失效了？難道牛

13、頓定律再次失效了？結論：結論：把牛頓定律能成立的參照系叫把牛頓定律能成立的參照系叫慣性參照系慣性參照系(慣性系慣性系)；把牛頓定律不能成立的參照系叫做把牛頓定律不能成立的參照系叫做非慣性系非慣性系。甲乙二人同時從同一高處跳下，在下落過程中，如果甲乙二人都以自身甲乙二人同時從同一高處跳下，在下落過程中，如果甲乙二人都以自身作為參考系來觀察對方的運動，會發現什么？作為參考系來觀察對方的運動，會發現什么？對方相對于自己是靜止的。明明受到了重力作用，卻沒有加速度？對方相對于自己是靜止的。明明受到了重力作用，卻沒有加速度？難道牛頓定律失效了？難道牛頓定律失效了？r 結論結論(1) 凡是牛頓運動定律成立的

14、參考系稱為慣性系。凡是牛頓運動定律成立的參考系稱為慣性系。(3) 相對于一慣性系作勻速直線運動的參照系都是慣性系。相對于一慣性系作勻速直線運動的參照系都是慣性系。 相對慣性系作加速運動的參照系是非慣性系。相對慣性系作加速運動的參照系是非慣性系。(2) 判斷某參考系是否為慣性系的依據是實驗。判斷某參考系是否為慣性系的依據是實驗。 實驗表明：在地面上，牛頓運動定律是相當精確實驗表明：在地面上，牛頓運動定律是相當精確的定律，因此通常取地面參照系為慣性參照系。的定律，因此通常取地面參照系為慣性參照系。牛頓運動定律的適用范圍牛頓運動定律的適用范圍低速低速 宏觀宏觀PrruOyxsz so y z x(2

15、) 伽利略變換伽利略變換 經典時空觀經典時空觀 ss 系以恒定的速度系以恒定的速度 相對相對于于 系作系作勻速直線運動勻速直線運動 u當當 S系和系和 S 系重合時，為計系重合時，為計時零點。時零點。有有當速度遠小于真空中的光速時，有當速度遠小于真空中的光速時，有 得得-伽利略變換伽利略變換當物體的速度遠小于真空當物體的速度遠小于真空中的光速時，時間的測量中的光速時，時間的測量與參照系的運動狀態無關與參照系的運動狀態無關 rrrOturOtttt turrOr 根據伽利略變換，我們可得出牛頓的絕對時空觀，也稱根據伽利略變換，我們可得出牛頓的絕對時空觀，也稱之為之為經典時空觀經典時空觀。結論結論

16、: : 空間任意兩點之間的距離對于任何的慣性系而言都是空間任意兩點之間的距離對于任何的慣性系而言都是相等的，與慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關。這相等的，與慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關。這種空間稱為種空間稱為絕對空間絕對空間。 時間也是與慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關的。時間也是與慣性系的選擇或觀察者的相對運動無關的。這種時間稱為這種時間稱為絕對時間絕對時間 。 空間、時間和物質的質量與物質的運動無關而空間、時間和物質的質量與物質的運動無關而獨立存在，空間永遠是靜止的、永恒的，時間永遠獨立存在，空間永遠是靜止的、永恒的，時間永遠是均勻地流逝著的。是均勻地流逝著的。2.2.2 2.2

17、.2 力學相對性原理力學相對性原理aa 同一質點的加速度在兩個相互間作勻速直線運動的同一質點的加速度在兩個相互間作勻速直線運動的參照系中是相同的參照系中是相同的aFmaFm 表明表明牛頓第二定律在一切慣性系中具有相同的數學形式牛頓第二定律在一切慣性系中具有相同的數學形式牛頓第二定律在牛頓第二定律在 系和系和 系的數學表達式系的數學表達式 ss 動力學定律在一切慣性系中都有相同的數學形式。動力學定律在一切慣性系中都有相同的數學形式。推廣：對于描述力學規律來說，一切慣性系都是等價的。推廣：對于描述力學規律來說，一切慣性系都是等價的。這就是這就是力學的相對性原理力學的相對性原理或或伽利略相對性原理伽

18、利略相對性原理2.2.3 2.2.3 慣性力簡介慣性力簡介a000ma非慣性系：非慣性系： 相對于慣性系作相對于慣性系作加速運動的參照系加速運動的參照系牛頓定律不成立牛頓定律不成立慣性力：慣性力：為了使牛頓定律在非慣性系中形式的成立，而引入的為了使牛頓定律在非慣性系中形式的成立，而引入的 假想的力假想的力0Fma 大小：大小：0|ma方向：方向：0 a與與相相反反其中：其中：m-被研究對象的質量被研究對象的質量0a-非慣性系相對慣性系的加速度非慣性系相對慣性系的加速度引入慣性力引入慣性力慣性力是虛擬力慣性力是虛擬力，沒有施力者，也沒有反作用力。，沒有施力者，也沒有反作用力。不滿足牛頓第三定律。

19、不滿足牛頓第三定律。牛頓第二定律形式上成立牛頓第二定律形式上成立說明：說明：慣性力的概念可推廣到非平動的非慣性系。慣性力的概念可推廣到非平動的非慣性系。(1)(2)則則amFF*TT1011amamTgm2022amamTgm)(02121agmmmma)(202121agmmmmT質量分別為質量分別為 m1 和和 m2 的兩物體用輕細繩相連接后，懸掛在的兩物體用輕細繩相連接后，懸掛在一個固定于電梯內的定滑輪的兩邊。滑輪和繩的質量以及一個固定于電梯內的定滑輪的兩邊。滑輪和繩的質量以及所有摩擦均不計。當電梯以所有摩擦均不計。當電梯以 a0=g/2 的加速度下降時。的加速度下降時。解解0a取電梯為

20、參考系取電梯為參考系 a a01 aaa02 aaa例例m1 和和 m2 的加速度和繩中的張力。的加速度和繩中的張力。求求m1gm2gO對對m1 有有對對m2 有有取地面為參考系取地面為參考系zMFdrF/FnFFdFPzsinFrsinzMF dF rFrrF（2）力不在垂直于軸的平面內）力不在垂直于軸的平面內F（1）力）力F 在垂直于軸的平面內在垂直于軸的平面內2.3 剛體轉動定理剛體轉動定理 2.3.1 2.3.1 力矩力矩力力 對對z 軸的力矩軸的力矩F力對定軸力矩的矢量形式力對定軸力矩的矢量形式FrMZ（力對軸的力矩只有兩個指向）（力對軸的力矩只有兩個指向）力矩的方力矩的方向按右螺向

21、按右螺旋法則來旋法則來確定確定zz1FP11r2F3r3F2rP3P2312FF即剛體受到多個力的力矩等于即剛體受到多個力的力矩等于各個力的力矩矢量和。各個力的力矩矢量和。 剛體中內力對給定轉軸的力矩剛體中內力對給定轉軸的力矩的矢量和等于零，只需考慮外的矢量和等于零，只需考慮外力矩的作用力矩的作用當有當有 n 個力作用于剛體個力作用于剛體1 112223 33sinsinsinMrFrFrFsinsin0MrFr F12zzznzMMMMrr2.3.2 2.3.2 轉動定律轉動定律iiiiFFma第第 i個質元個質元iii iFFma切線方向切線方向iiiiiiiF rF rma r在上式兩邊

22、同乘以在上式兩邊同乘以 ri i iimr r對所有質元求和對所有質元求和2() iii iiiF rF rmr內力矩之和為內力矩之和為0 0轉動慣量轉動慣量 JiFMJ剛體繞定軸轉動微分方程剛體繞定軸轉動微分方程（剛體的轉動定律）（剛體的轉動定律）r與牛頓第二定律比較：與牛頓第二定律比較：,MF JmariiFddMJJt轉動定律表明：決定繞定軸轉動剛體的轉動狀態變化快慢轉動定律表明：決定繞定軸轉動剛體的轉動狀態變化快慢的外因是的外因是合外力矩合外力矩。對于給定的外力矩，對于給定的外力矩，轉動慣量愈大，角加轉動慣量愈大，角加速度愈小，即剛體轉速度愈小，即剛體轉動狀態愈難改變動狀態愈難改變轉動

23、慣量轉動慣量是描述是描述剛體轉動慣性大剛體轉動慣性大小的物理量小的物理量對于給定的繞定軸轉動剛體，對于給定的繞定軸轉動剛體，角加速度角加速度反映了它繞定軸轉反映了它繞定軸轉動狀態的變化動狀態的變化r2.3.3 2.3.3 轉動慣量的計算轉動慣量的計算kiirmJ12定義定義質量不連續分布質量不連續分布質量連續分布質量連續分布VmrJd2影響轉動慣量的三個要素：影響轉動慣量的三個要素：(1)(1)總質量；總質量；(2)(2)質量分布；質量分布；(3)(3)轉軸的位置轉軸的位置J 的單位：的單位：kg m2注意：注意：(1) J 只是對某個軸的。只是對某個軸的。 (2) dm 的取法：需使的取法：

24、需使 dm上各點的上各點的 r 相等。相等。ddmlddmsddmV質量為線分布質量為線分布質量為面分布質量為面分布質量為體分布質量為體分布其中其中 、 、 分別為分別為質量的線密度、面密質量的線密度、面密度和體密度。度和體密度。線分布線分布面分布面分布體分布體分布dm 為質量元，簡稱質元。其計算方法如下：為質量元，簡稱質元。其計算方法如下： J 與剛體的總質量有關與剛體的總質量有關例如：例如：勻長細棒繞端點軸的轉動慣量勻長細棒繞端點軸的轉動慣量LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木鐵JJ等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量OLxdxMz2

25、0231dMLxxJLLOxdxM22/2/2121dMLxxJLL 平行軸定理平行軸定理zLCMz2MLJJzzz J 與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關 zJzJL 剛體對任意軸的轉動慣量剛體對任意軸的轉動慣量 剛體繞通過質心的軸剛體繞通過質心的軸 兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離 J 與質量分布有關與質量分布有關例如，例如，圓環圓環繞中心軸旋轉的轉動慣量繞中心軸旋轉的轉動慣量再如，再如，圓盤圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量繞中心軸旋轉的轉動慣量dlORLlRmRJ20202dd2320222dmRRmRlRRmROmrdrsmddRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2d222

26、RRxo例例 質量為質量為m，半徑為，半徑為R 的均勻球體，的均勻球體，求求 通過球心的軸的轉動慣量通過球心的軸的轉動慣量解解 剛體質量體分布剛體質量體分布334Rm 將球體分成一系列半徑不同的質量為將球體分成一系列半徑不同的質量為dm的的 “元元”薄圓盤組成薄圓盤組成xdxrRRxxRd2222220)d(21drxrJJR由薄圓盤的轉動慣量式由薄圓盤的轉動慣量式221mRJ 252mR2d21drmJ基本方法和步驟基本方法和步驟聯立方聯立方程求解程求解分析力，確定分析力，確定外力矩外力矩列出轉動定律和列出轉動定律和牛頓定律方程牛頓定律方程列出線量和角量列出線量和角量之間的關系式之間的關系式

27、2.3.4 2.3.4 轉動定律的應用舉例轉動定律的應用舉例一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪轉動慣量的拉力，飛輪轉動慣量 J=0.5 kgm2，飛輪與軸間摩擦不計，飛輪與軸間摩擦不計FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度 (2) 如以重量如以重量P =98 N的物體掛在繩端，的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速試計算飛輪的角加速 解解 (1)JFr2rad/s 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區別兩者區別mgT例例求求2mrJmgr22rad/s 8212010502098.T對于聯體問題對于聯體問題(剛體與質點剛性連接剛體與質點剛性連接)： 通常采用隔離法通常采用隔離法將轉動的剛體與平動的物體隔離，將轉動的剛體與平動的物體隔離，分別進行受力分析，寫出相應的運動學及動力學方程，最后分別進行受力分析，寫出相應的運動學及動力學方程，最后聯立求解。聯立求解。兩種方程的關系通常由線量與角量的關系式體現：兩種方程的關系通常由線量與角量的關系式體現：2nvrarar一定滑輪的質量為一定滑輪的質量為 m ，半徑為，半徑為 r ，不能伸長的輕繩兩邊分別，不能伸長的輕繩兩邊分別系系 m1 和和 m2 的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無相對滑動。的物體掛