1、第四章 柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的準線為：且（1）母線平行于軸；（2）母線平行于直線，試求這些柱面的方程。解：（1）從方程中消去，得到：即：此即為要求的柱面方程。（2）取準線上一點，過且平行于直線的直線方程為：而在準線上，所以上式中消去后得到：此即為要求的柱面方程。2、設柱面的準線為，母線垂直于準線所在的平面，求這柱面的方程。解：由題意知：母線平行于矢量任取準線上一點，過的母線方程為：而在準線上，所以：消去，得到：此即為所求的方程。3、求過三條平行直線的圓柱面方程。解：過原點且垂直于已知三直線的平面為：它與已知直線的交點為，這三點所定的在平面上的圓的圓

2、心為，圓的方程為：此即為欲求的圓柱面的準線。又過準線上一點，且方向為的直線方程為：將此式代入準線方程，并消去得到：此即為所求的圓柱面的方程。4、已知柱面的準線為，母線的方向平行于矢量，試證明柱面的矢量式參數方程與坐標式參數方程分別為：與式中的為參數。證明：對柱面上任一點，過的母線與準線交于點，則，即亦即，此即為柱面的矢量式參數方程。又若將上述方程用分量表達，即：此即為柱面的坐標式參數方程。§ 4.2錐面1、求頂點在原點，準線為的錐面方程。解：設為錐面上任一點，過與的直線為：設其與準線交于，即存在，使，將它們代入準線方程，并消去參數，得：即：此為所要求的錐面方程。2、已知錐面的頂點為，

3、準線為，試求它的方程。解：設為要求的錐面上任一點，它與頂點的連線為：令它與準線交于，即存在，使將它們代入準線方程，并消去得：此為要求的錐面方程。4、求以三坐標軸為母線的圓錐面的方程。解：（這里僅求、卦限內的圓錐面，其余類推）圓錐的軸與等角，故的方向數為與垂直的平面之一令為平面在所求的錐面的交線為一圓，該圓上已知三點，該圓的圓心為，故該圓的方程為：它即為要求圓錐面的準線。對錐面上任一點，過與頂點的母線為：令它與準線的交點為，即存在，使，將它們代入準線方程，并消去得：此即為要求的圓錐面的方程。5、求頂點為，軸與平面垂直，且經過點的圓錐面的方程。解：軸線的方程為：過點且垂直于軸的平面為：即： 該平面

4、與軸的交點為，它與的距離為：要求圓錐面的準線為： 對錐面上任一點，過該點與頂點的母線為：令它與準線的交點為，即存在，使將它們代入準線方程，并消去得：6、已知錐面的準線為，頂點決定的徑矢為，試證明錐面的矢量式參數方程與坐標式參數方程分別為：與式中，為參數。證明：對錐面上任一點，令，它與頂點的連線交準線于，即。，且（頂點不在準線上）即亦即此為錐面的矢量式參數方程。若將矢量式參數方程用分量表示，即：此為錐面的坐標式參數方程，為參數。§ 4.3旋轉曲面1、求下列旋轉曲面的方程：（1）；繞旋轉（2）；繞旋轉（3）繞軸旋轉；（4）空間曲線繞軸旋轉。解：（1）設是母線上任一點，過的緯圓為：又在母線

5、上。從（1）（3）消去，得到：此為所求的旋轉面方程。（2）對母線上任一點，過的緯圓為：因在母線上， (3)從（1）（3）消去，得到：此為所求的旋轉面的方程。（3）對母線上任一點，過該點的緯圓為：又在母線上，所以： （3）從（1）（3）消去，得到：此為所求的旋轉面方程。（4）對母線上任一點，過的緯圓為：又在母線上，所以從（1）（3）消去，得到：即旋轉面的方程為： 2、將直線繞軸旋轉，求這旋轉面的方程，并就可能的值討論這是什么曲面？解：先求旋轉面的方程式：任取母線上一點，過的緯圓為：又 （3）從（1）（3）消去，得到：此即為所求旋轉面的方程。當時，旋轉面為圓柱面（以軸為軸）；當時，旋轉面為圓錐面（

6、以軸為軸，頂點在原點）；當時，旋轉面變為軸；當時，旋轉面為單葉旋轉雙曲面。3、已知曲線的參數方程為，將曲線繞軸旋轉，求旋轉曲面的參數方程。解：如圖，設為上任一點，則對經過的緯圓上任一點，令在面上的射影為令，則，而而此即為旋轉面的矢量式參數方程，為參數。其坐標式參數方程為：§4.4橢球面1、做出平面與橢球面的交線的圖形。解：平面與橢球面的交線為： ，即 橢圖形為2、設動點與點的距離等于從這點到平面的距離的一半，試求此動點的軌跡。解：設動點，要求的軌跡為，則即：此即為的方程。3、由橢球面的中心（即原點），沿某一定方向到曲面上的一點的距離為，設定方向的方向余弦分別為，試證：證明：沿定方向到

7、曲面上一點，該點的坐標為該點在曲面上即4、由橢球面的中心，引三條兩兩相互垂直的射線，分別交曲面，設，試證：證明：利用上題結果，有其中是的方向余弦。若將所在的直線看成新的坐標系的三個坐標軸，則是坐標矢量關于新坐標系的方向余弦，從而，同理，所以，即：5、一直線分別交坐標面于三點，當直線變動時，直線上的三定點也分別在三個坐標面上變動，另外，直線上有第四點，它與三點的距離分別為，當直線按照這樣的規定（即保持分別在三坐標面上）變動，試求點的軌跡。解：設，則知：又設，又在的連線上，（4）從（1）（4）消去，得到此為點的軌跡方程。6、已知橢球面，試求過軸并與曲面的交線是圓的平面。解：設要求的平面為：它與橢球

8、面的交線為：（*） 若（*）為圓，因（*）以原點為對稱，故圓心在原點，所以圓的半徑為，從而交線上的點都在球面：上即有：亦即：即：滿足要求的平面方程為：§ 4.5雙曲面1、畫出以下雙曲面的圖形：（1）； （2）解：圖形如下：2、給定方程試問當取異于的各種數值時，它表示怎樣的曲面？解：對方程 （*）1º、當時，（*）不表示任何實圖形；2º、當時，（*）表示雙葉雙曲面；3º、當時，（*）表示單葉雙曲面；4º、當時，（*）表示橢球面。3、已知單葉雙曲面，試求平面的方程，使這平面平行于面（或面）且與曲面的交線是一對相交直線。解：設所求的平面為，則該平面與

9、單葉雙曲面的交線為：（*） 亦即 為使交線（*）為二相交直線，則須：，即所以，要求的平面方程為：同理，平行于的平面要滿足它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，則該平面為：4、設動點與的距離等于這點到平面的距離的兩倍，試求這動點的軌跡。解：設動點，所求軌跡為，則亦即：此為的軌跡方程。5、試求單葉雙曲面與平面的交線對平面的射影柱面。解：題中所設的交線為：從此方程中消去，得到：此即為要求的射影柱面方程。6、設直線與為互不垂直的兩條異面直線，是與的公垂線的中點，兩點分別在直線，上滑動，且，試證直線的軌跡是一個單葉雙曲面。證明：以，的公垂線作為軸，作為坐標原點，再令軸與，的夾角均為，公垂線的長為，若設，則，

10、的方程分別為：令，則有：又，所以：亦即 （2）又設為上任一點，則 (3)從（1）（3）中消去，得：即： (4)不垂直，（4）表示單葉雙曲面，即的軌跡是一單葉雙曲面。7、試驗證單葉雙曲面與雙葉雙曲面的參數方程分別為： 與 解：對方程：消去參數，有：此即為單葉雙曲面；又對方程：消去參數，有：此即為雙葉雙曲面方程。§ 4.6拋物面1、已知橢圓拋物面的頂點在原點，對稱面為面與面，且過點和，求這個橢圓拋物面的方程。解：據題意可設，要求的橢圓拋物面的方程為：令確定與和均在該曲面上。有：從而所以要求的橢圓拋物面的方程為：即：2、適當選取坐標系，求下列軌跡的方程：（1）到一定點和一定平面距離之比為定

11、常數的點的軌跡；（2）與兩給定的異面直線等距離的點的軌跡，已知兩異面直線間的距離為，夾角為。解：（1）取定平面為面，過定點且垂直于面的直線作為軸，則定點的坐標設為，而定平面即為，設比值常數為，并令所求的軌跡為，則點即此為的方程。（2）取二異面直線的公垂線為軸，中點的坐標為原點；再取軸，使其與二異面直線的夾角相等，則二異面直線的方程為： 與 設所求的軌跡為，則即：經同解化簡得：此即所要求的軌跡方程。3、畫出下列方程所代表的圖形：（1）；（2）；（3）4、畫出下列各組曲面所圍成的立體的圖形：（1）（2）（3）（4）解：略。5、試驗證橢圓拋物面與雙曲拋物面的參數方程可分別寫成： 與 式中的為參數。解

12、：對方程消去參數得：這正是橢圓拋物面的方程。對方程消去參數得：這正是雙曲拋物面的方程。§ 4.7單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線1、 求下列直紋面的直母線族方程：（1） （2）解：（1）從原方程得：即：亦即：為了避免取極限，將上方程寫成： （1）若將原方程變形為：，則可得到： （2）若令，則（2）便是（1）原曲面的直母線族是（1），其中不全為零。（2）原方程變形為：亦即： （1）由 得： （2）（1）（2）即這原曲面的兩組直母線族方程。2、 求下列直線族所成的曲面（式中的為參數）（1）； （2）解：（1）原方程等價于從此式中消去，得：此即為直母線（1）所形成的曲面。（2）從原方程中消去

13、得：此即為（2）的直母線族所形成的曲面。3、在雙曲拋物面上，求平行于平面的直母線。解：雙曲拋物面的兩族直母線為： 及 第一族直母線的方向矢量為：第二族直母線的方向矢量為：據題意，要求的直母線應滿足：要求的直母線方程為： 及 4、試證單葉雙曲面的任意一條直母線在面上的射影，一定是其腰圓的切線。證明：單葉雙曲面的腰圓為兩直母線為：它在面內的射影為 ： （2）將（2）的第一式代入（1）的第一式得：即：上述方程的判別式為：（2）與（1）相比，證畢。5、求與兩直線與相交，而且與平面平行的直線的軌跡。解：設動直線與二已知直線分別交于，則，又動直線與平面平行，所以，對動直線上任一點，有：從（1）（4）消去，

14、得到： 6、求與下列三條直線， 與都共面的直線所構成的曲面。解：動直線不可能同時平行于直線及直線不妨設其與第一條直線交于注與第二條直線的平面為：過與直線的平面為動直線的方程為：從上式中消去參數，得：此為所要求的軌跡方程。7、試證明經過單葉雙曲面的一 直母線的每個平面一定經過屬于另一族直母線的一條直母線，并舉一反例，說明這個命題與雙曲拋物面的情況下不一定成立。證明：單葉雙曲面的一族直母線為：過該族中一條直母線的平面為： 即： （1）另一族直母線為：過該族中一條直母線的平面為：即 （2）對照（1）、（2）得，只要令，得（2）便是（1）了亦即過族每一直母線的任一平面都經過族中的一條直母線，同理，對族

15、的直母線也有類似性質。對雙曲拋物面：其族直母線為： （*）取其中的一條（即取定），顯然平面通過直母線（*），但該平面不通過族直母線中的任何一條，這是因為：族直母線的方向矢量為而 平面不能通過族中的任何直母線。8、試求單葉雙曲面上互相垂直的兩條直母線交點的軌跡方程。解：由于過單葉雙曲面上每點僅有一條母線和一條母線，所以它的同族直母線不能相交，設單葉雙曲面的二垂直相交的直母線為：將兩方程化為標準式，得：由此求出二直線的交點坐標為：又二直線垂直，即又交點在單葉雙曲面上，所以：故交點的軌跡為9、試證明雙曲拋物面上的一兩條直母線直交時，其交點必在一雙曲線上。證明：由于過雙曲拋物面上一點僅有一條族直母線，也僅有一條族直母線，所以同族的直母線不能相交。設兩相交的直母線為： 其方向矢量為與 其方向矢量為由二直線直交，所以： （*）二直母線的交點坐標為：但由（*）式有： （* *）（* *）為一雙曲線方程，交點在一雙曲線上。10、已知空間兩異面