1、收稿日期:1999204223基金項目:國防預研基金資助項目(D J961151311作者簡介:陳衛東(19682,男,西安電子科技大學博士生.加窗離散傅里葉變換測頻分辨率研究陳衛東,楊紹全(西安電子科技大學電子工程學院陜西西安710071摘要:討論在利用加窗離散傅里葉變換進行譜分析時,信號復頻譜的相位及離散傅里葉變換的抽樣性質對測頻分辨率的影響,并對傳統的加窗離散傅里葉變換頻率分辨力定義進行了擴展和修正,給出了幾種常用窗函數的頻率分辨率數值.計算機仿真和工程設計都證明了分析結論的正確性.關鍵詞:信號處理;離散傅里葉變換;窗函數;頻率分辨率中圖分類號:T N91116文獻標識碼:A 文章編號:

2、100122400(2000022*On fre que ncy resolution of the windowe d discreteFourier tra nsform (DFT CHE N We i 2dong ,Y ANG S ha o 2qua n(School of Elect ronic Enginee ring ,X idian Univ.,X i an 710071,China Abs t r a c t :The e f f e c t s on t he f r e que nc y r e s o l u t i on of wi ndowe d DFT of t h

3、e p ha s e of t hec omp l e x s p e c t r um of a s i gna l be i ng p r oc e s s ed a nd of t he s amp l i ng p r op e r t y of t he DFTa r e a na l yz e d by us i ng wi ndowe d DFT f o r s p e c t r a l a na l ys i s.S ome e x t e ns i on a ndmod i f i c a t i on of t he c onve n t i ona l de f i n

4、 i t i on of t he f r e que nc y r e s o l u t i on of wi ndowe dDFT a r e p r e s e n t e d ,a nd c omp u t a t i on of t he f r e que nc y r e s o l u t i on of s ome we l l 2knownwi ndows i s c omp l e t e d wi t h t he r e s u l t s j us t i f i e d by c omp u t e r s imu l a t i on a ndapp l i

5、c a t i on i n e ng i ne e r i ng.Ke y Wo r ds :s i gna l p r oc e s s i ng ;d i s c r e t e Fou r i e r t r a ns f o rm (DFT ;wi ndows f unc t i on ;f r e que nc y r e s o l u t i on圖1僅考慮相位影響的雙音頻檢測示意圖加窗離散傅里葉變換(DFT 是信號檢測和參數估計的重要工具.在寬帶數字式測頻接收機應用中,常采用的加窗DFT 頻率分辨率的定義為:兩個等幅單音信號,經加窗DFT 后,頻譜能夠被分離識別時兩信號的最小

6、頻率間隔.由于有限長度時間加窗的頻譜展寬效應,單音信號的頻譜包絡呈sinc (x 函數形狀(窗函數譜形狀,從而導致兩個單頻信號頻譜的相互疊加,如圖1所示.要使兩個信號能被分離,其sinc (x 狀譜在交叉點的和的包絡幅度必須小于各信號的譜峰幅度.在文獻1中,Harris 定義了窗函數的6dB 帶寬(W 6來表征加窗DFT 的頻率分辨率,并認為頻率間隔小于W 6帶寬的兩個信號,其頻譜已合成為一個不可分的單峰形狀.傳統的還用窗函數的3dB 帶寬(W 3來表征窗函數頻率分辨能力.在以后的窗函數應用及窗函數優化設計研究中26,大都沿用或默認了Harris 的這一結論7,8.2000年4月第27卷第2期

7、西安電子科技大學學報(自然科學版J OU RNAL OF XID IAN UNIV ERS I TY Apr.2000Vol.27No.2窗函數的W 3和W 6可用公式(1計算W (exp (j (/2/W (exp (j0=m ,或20log a W (exp (j (/2-20log a W (exp (j0=20log a m ,(1式中W (exp (j 為窗函數的頻譜,為數字角頻率,m 表示W 3/2或W 6/2帶寬處窗函數的譜幅度對其主瓣峰值的歸一化值.當m =1/21/2時,=W 3;當m =1/2時,=W 6.表1的第3列和第4列給出了幾種常用的窗函數的W 3和W 6值的歸一化

8、譜線間隔值1.表1幾種常用窗函數的帶寬值比較窗函數性能參數最高旁瓣電平/dB中點增益損失L S /dB W 3(譜線間隔W 6(譜線間隔W L S 6(譜線間隔矩形窗-133192018911211165三角窗-271182112811782120Hanning 窗-321142114521002139Hamming 窗-431178113111832126精確Blckman 窗-511133116121262169Blackman 窗-58111011652130216761dB 3階B 2H 窗-61112711542115215467dB 最小3階B 2H 窗-6711131163212

9、83216574dB 4階B 2H 窗-74110311712139217592dB 最小4階B 2H 窗-920183119021673100注:表1中幾種帶寬的值是文中重新計算的.筆者認為文獻1的表1中相應參數值有差誤.例如,上表1中打3號的帶寬值2128,在文獻1和7中為1181,而后者經試驗證明是錯誤的.1加窗DFT 測頻分辨率分析111問題的提出值得注意的是,上述用W 6帶寬來表征加窗DFT 的測頻分辨率時,是基于以下兩個假設的:(1在圖1中交叉點C 處頻譜的幅度等于兩信號各自譜幅度的和;(2DFT 的順序離散抽樣點剛好有3點位于圖1中的圖2考慮DFT 抽樣位置影響的雙音頻檢測示意圖

10、A ,B ,C 處.而實際情況是,信號的頻譜一般是復頻譜,而兩復數之和的幅度未必等于其幅度的和;同時,數字信號的角頻率是在02之間連續任意分布的,而DFT 運算是在N個固定頻率點(=2k/N ,k =0,N -1上對信號頻譜等間隔抽樣.當DFT 的抽樣位置不在上述3點上時,頻率相距W 6帶寬的兩等幅信號有可能不被分離,如圖2所示.因此,在實際工程應用中,利用Harris 的W 6帶寬參數設計系統,有可能達不到預期的性能.112信號復頻譜的相位對測頻分辨率的影響下面分析信號復頻譜的相位,以及DFT 離散抽樣性質對加窗DFT 實際測頻分辨率的影響,并給出幾種常用窗函數的測頻分辨率的數值.考查圖1,

11、先不考慮DFT 抽樣點位置的偏差,即相鄰抽樣點正好位于A ,B ,C 點上.令兩信號的復頻譜在A ,B 點的譜峰值相等且為1,在C 點相等且為m (則0m 1,而復相位分別為A 和B ,則在C 點兩復幅度譜重疊相加后的幅度值為m C =m exp (j A +m exp (j B =m (cos A +cos B 2+(sin A +sin B 21/2=m 2+2cos (A -B 1/2=m (2+2cos 1/2,(2其中=A -B ,為兩信號的復頻譜在C 點的相位差,當m C =1時達到頻率可分辨的下界.若,由式851西安電子科技大學學報(自然科學版第27卷(2得此時兩信號各自在C 點

12、的譜幅度為m =1/(2+2cos 1/2.(3考查式(3,當相位差=0時,m =1/2,由式(1知此時的最小可分辨頻率間隔為W 6帶寬;而當相位差=/2時,m =1/21/2,由式(1知此時的頻率間隔為W 3帶寬.可見,由于復頻譜相位的不同,兩等幅信號的最小可分辨頻率間隔是變化的.且有可能小于6dB 帶寬,因此Harris 的結論1應該修正.事實上,考查式(2,當2/3時,不論m 為多大(0m 1,在圖1的C 點都能產生一個波谷.當=時,可得m C =0,即在C 點形成頻譜的一個零點.此時DFT 的最小頻率分辨間隔理論上可達任意小的值.另一方面,由于m C 在0區間內是單調遞減的,由式(2可

13、知,=0時對應的頻率分辨間隔,即W 6帶寬,是不考慮DFT 抽樣位置影響,而僅考慮復頻譜相位影響時加窗DFT 頻率分辨率的上限.113DFT 抽樣性質對測頻分辨率的影響反映DFT 抽樣性質對測頻分辨率影響的參數是中點增益損失(L s .其定義為:當單音信號的頻率剛好位于某根譜線上時,DFT 的處理增益與位于相鄰兩根譜線的中點時處理增益的比值見表1中的第3列所示1.由DFT 峰值檢測的原理不難想象,當兩個單音的頻率同時(或其中一個處于相鄰兩譜線的中點,且在兩信號復頻譜的交叉點C 處相位差為零時,要分辨兩信號所需的最小頻率間隔最大.用W L S 6帶寬表示此時的頻率間隔.如圖2所示,假設兩等幅單頻

14、信號的實際譜峰及頻譜交叉點在A ,B ,C 點,且B 點剛好位于相鄰兩根譜線的中點;而DFT 的3個相鄰抽樣點位于A ,B ,C 點上.當相位差=0時,在C 點處兩信號的復頻譜同相相加后的譜幅度值m C =2m.以下為討論方便,用各點的符號表示其幅度值(符號“A ”表示A 點的dB 幅度.要達到頻率可分辨的下界,在DFT 的抽樣點A ,B ,C 上應滿足A C ,B C ,(4根據中點增益損失的定義,由圖2可得A min =A -L S =0-L S =-L S ,B min =B -L S =0-L S =-L S ,C max =C + L S =20log a (2m +L S =(6+

15、m +L s ,(5把式(5代入式(4,可得此時實際頻譜交叉點C 處各信號的譜幅度為m =-6-2L S .(6聯解式(6和式(1,根據表1中不同窗函數的L S 值,即可求得其相應的W L S 6值.表1中的第5列給出了不同窗函數的W L S 6對DFT 譜線頻率間隔的歸一化譜線間隔數值.2計算機仿真結果由以上分析得出的結論是:加窗DFT 的測頻分辨率,當僅考慮信號復頻譜相位影響時,其上限為所用窗函數的W 6帶寬;聯合考慮復頻譜相位及DFT 離散抽樣性質的影響時,其上限為所用窗函數的W L S 6帶寬.為驗證上述分析的正確性,下面進行了計算機仿真實驗.由于控制兩等幅單音信號頻譜交叉點處復幅度的

16、相位差是比較困難的,因此實驗中通過隨機選擇兩信號的初始相位的方法來進行檢測,這樣更符合信號處理的實際情況.針對長度N =128的矩形窗加權和-67dB 布哈窗加權的DFT ,隨機選擇其中一個單音信號的頻率,分別測得50組的頻率分辨率試驗結果,如圖3所示.圖3中的3條水平線的縱坐標分別代表DFT 譜線間隔值、窗函數的W 6帶寬值和W L S 6帶寬值,星狀點為各次實驗得到的兩信號最小可分辨頻率間隔(都對歸一化,單位為一個DFT 譜線間隔.可見加窗DFT 的頻率分辨率確實處于零和窗函數的W L S 6帶寬之間,從而證實了文中分析的正確性.由圖3和表1還可得出如下結論:(1由于-67dB 布哈窗的中

17、點增益損失較小,因而頻率分辨率受復頻譜相位的影響較大,測試結果大多數小于W 6帶寬或在其附近取值;相比之下,矩形窗函數的中點增益損失951第2期陳衛東等:加窗離散傅里葉變換測頻分辨率研究 圖3實驗結果較大,其頻率分辨率受DFT 離散抽樣性質影響也較大,結果有時要比W 6帶寬大很多.(2矩形加矩DFT 頻率分辨率有大于W L S 6帶寬計算值的實際結果出現.這是因為矩形窗的最高旁瓣電平較大(-13dB ,從而一信號的旁瓣對另一信號譜峰處的幅度影響變大.在計算W L S 6帶寬時,假設信號頻譜主瓣峰值幅度近似恒為1的誤差就變大了,導致W L S 6帶寬的理論計算值有些偏差.(3雖然加窗DFT 有時

18、可檢測兩個頻率間隔小于譜線間隔的單音信號,但這時的測頻精度變壞,大于在一個單音情況下的1/2譜線間隔的測頻誤差,測量可信度下降.3結論加窗DFT 頻率分辨率的確定,是數字化寬帶測頻接收機設計中,在要求的接收機頻率分辨率和瞬時處理帶寬的技術指標下,選擇信號采樣速率、DFT 處理器的運算強度、以至接收機的系統結構時必須考慮的一個問題.該文對加窗DFT 測頻分辨率進行了較深入的分析,重點討論了信號復頻譜的相位、DFT 的離散抽樣性質對加窗DFT 實際測頻分辨率的影響.對文獻1中有關窗函數頻率分辨能力的結論進行了修正,并給出了幾種常用窗函數的頻率分辨率數值.計算機仿真和工程實現都證實了該文結論的正確性.在實際工程應用中,建議采用W L S 6帶寬參數設計系統,以保證達到預期的系統性能.參考文獻:1Harris F J.On the Use of Windows for Harm onic Analysis with the Discrete F ourier T rans formJ .Proc IEEE ,1978,66(1:5184.2Webster R J.M inimum W orst Case Processing LossJ .IEEE T rans on ASSP ,1988,36(8:13691371.3Ha Y H ,Pearce J A.A New Window a