1、第八章多元函數微分法及其應用一、偏導數的求法1、顯函數的偏導數的求法在求z 時，應將 y 看作常量，對x 求導，在求z 時，應將 x 看作常量，對 y 求導，所運用的是一元函xy數的求導法則與求導公式.2 、復合函數的偏導數的求法設 zfu , v ， ux , y ， vx , y ，則zzuzv ， zzuzvxuxvxyuyvy幾種特殊情況：1）2）zf u , v， ux ， vx ，則 dz dz uzdvdxduxvdxzf x , v， vx , y ，則zffv， zfvxxvxyuy3） zf u ， ux , y 則 zdzu ， z dzuxduxy duy3、隱函數求偏

2、導數的求法1）一個方程的情況設 zz x , y 是由方程 Fx , y , z0 唯一確定的隱函數，則zFxFz0 ，zFyFz0xFzyFz或者視 zz x , y ，由方程 Fx , y , z0 兩邊同時對x(或 y) 求導解出z (或 z) .xy1/142）方程組的情況F x , y , u , v 0兩邊同時對 x(或y) 求導解出z (或 z) 即可 .由方程組G x , y , u , v 0xy二、全微分的求法方法 1：利用公式 duu dxu dyu dzxyz方法 2：直接兩邊同時求微分，解出du 即可 . 其中要注意應用微分形式的不變性：z duz dvuvdzz d

3、yz dxxy三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法xt1）設空間曲線 的參數方程為yt ，則當 tt 0 時，在曲線上對應點P0 x0 , y0 , z0 處的切線zt方向向量為 T't0,'t0,'t0，切線方程為xx0yy0zz0't0't 0't 0法平面方程為' t0xx0't 0yy0't0zz002）若曲面的方程為 F x , y , z0 ，則在點 P0 x0 , y0 , z0處的法向量 nFx , Fy , Fz P ，0切平面方程為Fx x0 , y0 , z0xx0Fy x0 , y0 , z0

4、yy0Fz x0 , y0 ,z0zz00x x0y y0z z0法線方程為Fy x0 , y0 , z0Fz x0 , y0 ,z0Fx x0 , y0 ,z02/14若曲面的方程為 z fx , y ，則在點 P0x0 , y0 , z0處的法向量 nf x x0 , y0 , f y x0 , y0 , 1 ，切平面方程為f x x0 , y0 x x0f y x0 , y0 y y0z z00x x0y y0z z0法線方程為f x x0 , y0f y x0 , y01四、多元函數極值（最值）的求法1 無條件極值的求法設函數 zfx , y 在點 P0x0 , y0 的某鄰域內具有二

5、階連續偏導數，由 f x x , y0 ， f y x, y0 ，解出駐點 x0, y0，記 A f xxx0 , y0 ， Bf xy x0 , y0 ， C f yyx0 , y0 .1）若 ACB 20 ，則 fx , y 在點x0 , y0處取得極值，且當A0 時有極大值，當A0 時有極小值 .2） 若 ACB 20 ，則 fx , y 在點x0 , y0處無極值 .3）若AC B20 ，不能判定f x , y在點x0 , y0 處是否取得極值 .2 條件極值的求法函數 z f x , y在滿足條件x , y0 下極值的方法如下：1）化為無條件極值：若能從條件x , y0 解出 y 代

6、入 f x , y中，則使函數 zz( x, y) 成為一元函數無條件的極值問題 .2）拉格朗日乘數法作輔助函數 F x, yf x, yx, y，其中為參數，解方程組3/14令Fxx, yf x x, yx x, y0Fyx, yf y x, yy x, y令0x, y0求出駐點坐標x, y ，則駐點x, y 可能是條件極值點 .3 最大值與最小值的求法若多元函數在閉區域上連續，求出函數在區域內部的駐點，計算出在這些點處的函數值，并與區域的邊界上的最大（最小）值比較，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要 :1 、偏導數的求法與全微分的求法；2 、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法3

7、、最大值與最小值的求法4/14第九章 重積分積分類型計算方法（ 1） 利用直角坐標系f ( x, y)dxdyb2 ( x)f ( x, y)dyX型dx1 ( x)DaY型f ( x, y)dxdyd2 ( y)f ( x, y)dxdy1 ( y)Dc二重積分If x, y d（ 2） 利用極坐標系D使用原則(1)積分區域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧,直線段 ) ；平面薄片的質量(2)被積函數用極坐標變量表示較簡單( 含 (x2y2 ) ,為實數 )質量 =面密度面積f ( cos, sin )ddD2 (),sin ) ddf ( cos1()0202（ 3） 利用積分區域的對

8、稱性與被積函數的奇偶性當 D 關于 y 軸對稱時，（關于x 軸對稱時，有類似結論）0f ( x, y) 對于x是奇函數，即 f ( x , y)f ( x, y )I2f ( x , y ) dxdy f ( x, y)對于是偶函數，xD 1即 f (x, y )f ( x, y )D1是 D的右半部分計算步驟及注意事項1 畫出積分區域2 選擇坐標系標準：域邊界應盡量多為坐標軸，被積函數5/14三重積分If ( x, y, z)dv空間立體物的質量質量 =密度面積關于坐標變量易分離3 確定積分次序原則：積分區域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5 計算要簡

9、便注意：充分利用對稱性，奇偶性投影法(1)利用直角坐標截面法f (x, y, z)dVby2 ( x )z2 ( x, y)投影dxdyf (x, y, z)dzay1( x)z1 ( x, y)xr cos（2）利用柱面坐標yr sinzz相當于在投影法的基礎上直角坐標轉換成極坐標適用范圍 :1方程簡單； 如 旋轉體 積分區域 表面用柱面坐標表示時2變量易分離. 如 f ( x22) f (x22 被積函數 用柱面坐標表示時yz )f (x, y, z)dVbdr2 ( )cos,sin, z)ddzf (ar1 ( )xcosr sincos（3）利用球面坐標ysinr sinsinzr

10、cosdvr 2 sindrd d適用范圍 :1方程簡單 ; 如，球體，錐體 . 積分域 表面用球面坐標表示時2變量易分離 .如， f (x2y22) 被積函數 用球面坐標表示時zI222(,)sincos ,sinsin ,cos )2 sindddf (111(,)（4）利用積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性6/14積分類型第一類曲線積分If (x, y)dsL曲形構件的質量質量 =線密度弧長平面第二類曲線積分IPdx QdyL第十章曲線積分與曲面積分計算方法參數法（轉化為定積分）（ 1 ） L : y( x)If ( (t),(t)'2 (t)'2 (t)dt（2） L:

11、x(t) Ib2 ( x)dx(tf ( x, y( x) 1 y'y(t)a（ 3 ） r r ( ) (xr ()cos) L :r ()sinyIf ( r ( ) cos ,r ( ) sin )r 2 ( )r '2 ( )d（ 1 ） 參數法 （轉化為定積分）x(t)L :(t單調地從到)y(t)PdxQdy P(t),(t)(t )Q(t),(t)(t ) dtL（ 2 ）利用格林公式 （轉化為二重積分）條件： L 封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區域D ） P， Q具有一階連續偏導數結論： Pdx QdyQP()dxdyLxyD滿足條件直接應用應用：有瑕點

12、，挖洞不是封閉曲線，添加輔助線（3 ）利用路徑無關定理 （特殊路徑法）等價條件： QP Pdx Qdy 0xyL7/14變力沿曲線所做的功空間第二類曲線積分IPdx Qdy RdzL變力沿曲線所做的功第一類曲面積分If (x, y,z)dv曲面薄片的質量質量 =面密度面積PdxQdy 與路徑無關，與起點、終點有關L PdxQdy 具有原函數 u( x, y)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）（4 ）兩類曲線積分的聯系IPdx Qdy(PcosQcos )dsLL（ 1 ）參數法 （轉化為定積分）PdxQdyRdz P(t ),(t),(t)(t)Q(t),(t),(t)(t)R ( t),(t

13、 ),( t)(t )dt（ 2 ）利用斯托克斯公式 （轉化第二類曲面積分）條件： L 封閉，分段光滑，有向 P， Q，R 具有一階連續偏導數PdxQdyRdzL結論：RQ )dydz( PR )dzdx( Qp )dxdy(yzzxxy滿足條件直接應用應用：不是封閉曲線，添加輔助線投影法： zz( x, y) 投影到 xoy 面If (x, y,z)dvf (x, y, z(x, y) 1 z2xz2y dxdyDxy類似的還有投影到yoz 面和 zox 面的公式8/14第二類曲面積分IPdydz Qdzdx Rdxdy流體流向曲面一側的流量（1 ）投影法1Pdydzp( x( y, z),

14、 y, z)dydzD yz： z z(x, y) ， 為 的法向量與 x 軸的夾角前側取“ + ”， cos0 ；后側取“”， cos02Qdzdxp(x, y( x, z), z)dzdxD yz： yy(x, z) ，為的法向量與y 軸的夾角右側取“ + ”， cos0 ；左側取“”， cos03QdxdyQ( x, y, z( x, y)dxdyD yz： xx( y, z) ，為的法向量與x 軸的夾角上側取“ + ”，cos0 ；下側取“”， cos0（2 ）高斯公式右手法則取定的側條件： 封閉，分片光滑，是所圍空間閉區域的外側 P， Q，R 具有一階連續偏導數結論： Pdydz Q

15、dzdz Rdxdy( PQR )xyz滿足條件直接應用應用：不是封閉曲面，添加輔助面9/14（3 ）兩類曲面積分之間的聯系Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcosRcos )dS轉換投影法： dydz(z)dxdy dzdx ( z )dxdyxy所有類型的積分：1 定義：四步法分割、代替、求和、取極限；2 性質：對積分的范圍具有可加性，具有線性；3 對坐標的積分，積分區域對稱與被積函數的奇偶性。10/14第十一章無窮級數1 若級數收斂 ,各項同乘同一常數仍收斂2 兩個收斂級數的和差仍收斂lim sn用收斂定義，n存在注：一斂、一散之和必發散；兩散和、差必發散.一般3 去掉、加上

16、或改變級數有限項不改變其收斂性項級常數項級數的基本性質數4則對這級數的項任意加括號后所成的級 若級數收斂常數項級數的基本性質數仍收斂，且其和不變。常數交錯項級數級數正項級收斂冪和級函數數展成冪級數T2T2l傅立葉級周期數延拓萊布尼茨判別法若 u nlim un0(1)n1u nun 1 且 n，則 n 1收斂unvnunvnvnu0比較判別法和都是正項級數，且.若lim收斂n，則n 0uuvu nl比較判別法u nv nlimv n和都是正項級數，且n，則 若10 l,u n與vn2l0,v n收同斂或同散 ; 若uu nl1vu比值判別法limlimnunu nu n1n,則是正項級數，,n

17、時收a n111a n xn1R,0; R,0; R0 ,.limn0,na n,缺項級數用比值審斂法求收斂半徑s(x)的性質12(R,R)內可導，且可逐項求導3在收斂域 I 上連續 ; 在收斂域; s( x)IR直接展開 : 泰勒級數間接展開 : 六個常用展開式11x nxn ( 1 x 1)ex1 xn (x)1n 1n!f ( x)a 0(a n cos nxbn sin nx)a01f ( x ) dx2n 1an1f ( x) cos nxdxbn1f ( x) sin nxdx收斂定理f ( x)f (x)f (x)1 f ( x)f ( x)x為奇函數，正弦級數，奇延x拓；為偶函

18、數，2余弦級數、偶延拓 .11/1412/14第十二章微分方程解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法求出其通解.一階微分方程的解法小結：方程類型編號1 型可分離變量方程2 型齊次方程3 型線性方程一般形式y( x)( y ) 或M ( x )dxN ( y )dy0y ( y ) 或 xx ( x )yyP( x) yQ( x)或xP( y) xQ( y)yP( x) yQ ( x) y解法備注有些方程作代換后可化為1型分離變量法令 uy 或 ux 化 為 1有時方程寫成 x( x ) 令xyy型求解xu 化為 1型求解y1 常數變易法有時方程不是關于y, y 線2 湊導數法：同乘性方程，而是關于x, x 線性Pdx方程e令 y1有時方程不是關于y, y 的z 或貝努里方程，而是關于x, x4 型貝努里方程或x1z化為 3 型求解貝努里方程xP( y) xQ( y) xP( x, y) dx Q( x, y)d