1、概率與統計題型總結 ( 文科 )一: 隨機抽樣（系統抽樣、簡單隨機抽樣、分層抽樣）【例 1】在 1000 個有機會中獎的號碼 （編號為000999 ）中，在公證部門監督下按照隨機抽取的方法確定后兩位數為00 的號碼為中獎號碼，該抽樣運用的抽樣方法是（）A簡單隨機抽樣B 系統抽樣 C 分層抽樣D 以上均不對【例 2】某校共有學生2000 名，各年級男、女生人數如表已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是 0.19現用分層抽樣的方法在全校抽取64 名學生，則應一年級二年級三年級在三年級抽取的學生人數為（）女生373xyA 24B 18C 16D 12男生377370z【例 3】一個社會

2、調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）為了分析居民的收入與年齡、 學歷、 職業等方面的關系， 要從這10000 人中再用分層抽樣方法抽出100 人作進一步調查， 則在2500,3500 （元）月收入段應抽出人 .【例 4】用簡單隨機抽樣從 100名學生（男生25 人）中抽選 20 人進行評教，某男生被抽到的概率是( )A 1B 1C 1D 110025205【例 5】為了解 1200 名學生對學校教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為30 的樣本，考慮采用系統抽樣，則分段的間隔k 為 ()A 40B 30C 20D 12【例 6】某單位有

3、職工160 人，其中業務員有104 人，管理人員32 人，后勤服務人員 24人，現用分層抽樣法從中抽取一容量為 20 的樣本，則抽取管理人員 ()A3人B 4 人C7 人D12 人真題：【 2014·廣東卷6】已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1- 1 和圖 1- 2 所示為了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為()圖 1-1圖 1-2A 200， 20B 100， 20C200， 10D 100， 10【 2014·湖南卷】 對一個容量為 N 的總體抽取容量為 n 的樣本，當選取簡單隨機抽樣、

4、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1， p2， p3，則 ()A p p pB p p p1Cp p p2D p p p1232313123【 2014 天津高考理第 9 題】 某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300 的樣本進行調查已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4：5： 5： 6，則應從一年級本科生中抽取_名學生 .二：概率基本性質及古典概型題型一：古典概型古典概型的定義：（1）每次試驗的結果只有一個基本事件出現；（ 2）試驗結果具有有限性； （3

5、）試驗結果出現等可能性.【例7】若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人, 這五人被錄用的機會均等, 則甲或乙被錄用的概率為【例8】袋中共有6 個除了顏色外完全相同的球，其中有1 個紅球，2 個白球和3 個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（ A）1（ B）2（C） 3（ D）45555【例9】現有10 個數，它們能構成一個以1 為首項，3 為公比的等比數列，若從這10 個數中隨機抽取一個數，則它小于8 的概率是_【例【例【例10】從 1,2,3, 4 中任取 2 個不同的數 , 則取出的 2 個數之差的絕對值為2 的概率是 _11】從三男三女6 名學生中任選2 名

6、 ( 每名同學被選中的機會相等), 則 2 名都是女同學的概率等于12】現有 6 道題 , 其中 4 道甲類題 ,2 道乙類題 , 張同學從中任取3 道題解答 . 試求 :(I)所取的 2 道題都是甲類題的概率 ;(II)所取的 2 道題不是同一類題的概率._【例 13】有 5 本不同的書，其中語文書2 本，數學書2 本，物理書1 本 . 若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率_【例 14】某小組共有表所示 :A、 B、 C、D、E 五位同學, 他們的身高( 單位 : 米 ) 以及體重指標(單位:千克/米2) 如下身高體重指標( ) 從該小組身高低于( ) 從該小組

7、同學中任選ABCDE1.691.731.751.791.8219.225.118.523.320.91.80 的同學中任選2 人 , 求選到 的 2 人身高都在1.78 以下的概率2 人 , 求選到的2 人的身高都在1.70 以上且體重指標都在18.5,23.9)中的概率真題：【 2014·廣東卷】 從 0，1， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8， 9 中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是6 的概率為 _【 2014·江蘇卷】 從 1，2，3，6 這 4 個數中一次隨機地取2 個數，則所取 2 個數的乘積為6 的概率是 _題型三：互斥事件與對立事件的區別：互斥事件

8、( 不可能同時發生的 ):P(A+B)=P(A)+P(B)對立事件 (A、 B 不可能同時發生 , 但 A、B 中必然有一發生 ):【例 21】有 A、B 兩個口袋， A 袋中有 4 個白球和 2 個黑球， B 袋中有 3 個白球和 4 個黑球，從 A、B 袋中各取兩個球交換后，求 A 袋中仍裝有 4 個白球的概率【例 22】從裝有 2 個紅球和2 個白球的口袋里任取2 個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A. 至少有一個白球和都是白球B. 至少有一個白球和至少有一個紅球C. 恰有一個白球和恰有兩個白球D. 至少有一個白球和都是紅球【例 23】口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黒球，從中摸

9、出10.42 ，摸出白個球，摸出紅球的概率是球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是A 0.42B 0.28C 0.3D0.7【例 24】設 A, B 為兩個事件，且P A0.3 ，則當（）時一定有 P B 0.7AA與B互斥B A與B對立 ABA不包含 B題型四：相互獨立事件相互獨立事件 ( 事件 A、B 的發生互不影響 ):P(A ?B) P(A) ·P(B)【例 25】如圖，用 A,B,C,D 表示四類不同的元件連接成系統M.當元件 A,B 至少有一個正常工作且元件 C,D 至少有一個正常工作時，系統M正常工作 . 已知元件 A,B,C,D 正常工作的概率依次為0.5 ，0.6

10、 ，0.7 ，0.8 ，求元件連接成的系統M正常工作的概率 .ACMBD【例 26】一個電路如圖所示，A、 B、 C、 D、 E、 F 為 6 個開關，其閉合的概率都是12，且是相互獨立的，則燈亮的概率是 ()A.15511B.C.8D.646416【例27】設兩個獨立事件A 和B 同時不發生的概率為1 ,A發生B 不發生的概率與B 發生A不發生的概率相同,9則事件A 發生的概率P(A) 是_【例28】國慶節假期，甲去北京旅游的概率是1 ，乙、丙去北京旅游的概率分別是31 , 1 ，三人之間的行動相4 5互沒有影響，則這段時間內至少有一人去北京旅游的概率是（）A. 59B. 3C. 1D.16

11、05260【例 29】在一次反恐演習中，三架武裝直升機分別從不同方位對同一目標發動攻擊( 各發射一枚導彈 ) ，由于天氣原因， 三枚 導彈命中目標的概率分別是0.9,0.9,0.8，若至少有兩枚導彈擊中目標方可將其摧毀，則目標被摧毀的概率是 ()A 0.998B 0.046C 0.936D 0.954三：幾何概型題型一：一維問題【例 36】在長為 12cm 的線段 AB上任取一點C. 現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積大于 20cm2 的概率為（）A. 1B.1C.2D.46335【例 37】取一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷， 那么剪得兩段的長都不小于1

12、m的概率是（）A. 1B.1C.1D.不確定234【例 38】已知地鐵列車每10 min 一班，在車站停1 min. 則乘客到達站臺立即乘上車的概率是（）A.1B.1C.1D.1109118題型二：面積比值問題【例 39】如圖， 在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以 OA，OB為直徑作兩個半圓。在扇形 OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是A.11B.1.C.12D.22【例 40】在 1 萬 km2 的海域中有 40 km2 的大陸架貯藏著石油，假如在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是( )A.1B.1C.1D.1251249250252【例 41】在等腰 Rt ABC中，在斜邊

13、 AB上任取一點 M，則 AM的長小于 AC的長的概率為 _ 【例 42】已知四邊形 ABCD為菱形，且 AB=2， A 60 ，向菱形內部隨機投擲一枚豆子，則豆子的落點離各頂點的距離都大于 1 的概率為 _ 真題：【 2014·福建卷 14】如圖 1- 4，在邊長為 e(e 為自然對數的底數 ) 的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 _ 22【 2014·陜西卷】 從正方形四個頂點及其中心這5 個點中，任取2 個點，則這2 個點的距離不小于該正方形邊長的概率為 ()1B.234A.5C.D.555題型三：線性規劃及二維概率型【例0x2,，表示平面區域為 D，

14、在區域 D 內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離43】設不等式組y20大于 2 的概率是（）（ A）（ B）2（ C）（D） 44264【例44】已 知事件“在矩形ABCD的邊 CD 上隨機取一點P, 使 APB 的最大邊是 AB”發生的概率為 1 ., 則2AD =_AB【例 45】若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m， n作為點 P的坐標，則點 P（ m，n）落在圓 x2y 216 內的概率是 _【例 46】在區間 2,4 上隨機地取一個數x, 若 x 滿足 | x |m 的概率為 5 , 則 m _6【例 47】設關于 x 的一元二次方程 x22axb20（ 1）若 a 是從 0,1,2

15、,3四個數中任取一個數，b 是從 0,1,2 三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率 . （ 2）若 a 是從區間0,3 任取的一個數，b 是從區間0,2 任取的一個數，求上述方程有實根的概率x y20【例 48】不等式組 x2 y40 （其中 a R ）表示的平面區域記為D ， P(x , y)D ， zx y 的ya0最大值和最小值分別為M 、 m ，已知 m 4 求 a 和 M 的值；在 D 中隨機取一點P(x , y) ，求 zM的概率2真題：x0xy1【 2014·湖北卷7】由不等式組y0確定的平面區域記為 ，不等式組確定的平面區域1y2yx20x記為 2，在 1 中

16、隨機取一點，則該點恰好在 2 內的概率為 ()1137A. 8B.4C.4D.8題型四：約會問題【例 49】甲乙二人相約定7：00-8 ：00 在預定地點會面，先到的人要等候另一人20 分鐘后，方可離開，求甲乙二人能會面的概率，假定他們在7： 00-8 ： 00內的任意時刻到達預定地點的機會是等可能的.【例 50】小明訂了一份報紙, 送報人可能在早上6:30 7:30 之間把報紙送到小明家,小明離開家去工作的時間在早上7:00 8:00 之間，則小明在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？【例 51】甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6 小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機到達，試求這兩

17、艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.四：頻率直方圖【例 52】經銷商經銷某種農產品, 在一個銷售季度內, 每售出 1t 該產品獲利潤500 元 , 未售出的產品 , 每 1t 虧損 300 元 . 根據歷史資料, 得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直圖, 如右圖所示 . 經銷商為下一個銷售季度購進了 130t 該農產品 . 以 X( 單位 :t 100X 150) 表示下一個銷售季度內的市場需求量,T( 單位 : 元) 表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.( )將T 表示為X 的函數;() 根據直方圖估計利潤T 不少于57000 元的概率.頻率 /組距0.0300.0250.020

18、0.0150.010100 110 120 130 140 150需求量 x / t【例53】假設甲乙兩種品牌的同類產品在某地區市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現從兩種品牌的產品中分別隨機抽取100 個進行測試，結果統計如下：（）估計甲品牌產品壽命小于200 小時的概率；（）這兩種品牌產品中，某個產品已使用了200 小時，試估計該產品是甲品牌的概率。【例54】對一批產品的長度( 單位 :mm)進行抽樣檢測 ,下圖喂檢測結果的頻率分布直方圖長度在區間 20,25)上的為一等品 ,在區間 15,20)和區間 25,30)上的為二等品 ,在區間的為三等品 .用頻率估計概率,現從該批產品中隨機

19、抽取一件,則其為二等品的概率為(.根據標準 ,產品10,15)和30,35)上)A 0.09B 0.20C 0.25D 0.45【例55】為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據( 單位： kPa)的分組區間為12 ，13) ，13 ，14) ，14 ， 15) ，15 ， 16) ，16 ，17 ，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組， ，第五組下圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖已知第一組與第二組共有20 人，第三組中沒有療效的有6 人，則第三組中有療效的人數為()A.6B.8C.12D.18真題：【 2014·江蘇卷】 為了了解一片經

20、濟林的生長情況，隨機抽測了其中60 株樹木的底部周長( 單位： cm)，所得數據均在區間80 ，130 上，其頻率分布直方圖如圖1- 2 所示， 則在抽測的60 株樹木中， 有_ 株樹木的底部周長小于100 cm.【 2014 高考遼寧理第 18 題】一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立（ 1）求在未來連續 3 天里，有連續 2 天的日銷售量都不低于.100 個且另一天的日銷售量低于50 個的概率；（ 2）用 X 表示在未來3 天里日銷售量不低于100 個的天數，求隨機變量X 的分布列，期望

21、E(X)及方差D(X). 來五：線性回歸方程【例 56】四名同學根據各自的樣本數據研究變量x, y 之間的相關關系 , 并求得回歸直線方程, 分別得到以下四個結論 : y 與 x 負相關且 y2.347 x6.423 ; y 與 x 負相關且 y3.476x 5.648 ; y 與 x 正相關且 y5.437 x8.493 ; y 與 x 正相關且 y4.326x4.578 .其中一定不正確的結論的序號是( )A. B.C.D.【例 57】已知 x 與 y 之間的幾組數據如下表:x123456y021334假設根據上表數據所得線性回歸直線方程為y?若某同學根據上表中前兩組數據和求得的bx a?

22、(1,0)(2,2)?.直線方程為 yb xa , 則以下結論正確的是()A.?C.?b b , a aB. b b ,a ab b , a aD. b b , a a【例 58】設 (x1, y1 ) ， (x2 , y2 ) ， ( xn , yn )是變量 x 和 y 的 n 個樣本點，直線 l 是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線，以下結論中正確的是（）（ A） x 和 y 相關系數為直線l 的斜率（ B） x 和 y 的相關系數在0到1之間（ C）當 n 為偶數時，分布在 l 兩側的樣本點的個數一定相同（ D）直線 l 過點 ( x, y)【例 59】從某居民區隨機抽取10

23、個家庭 , 獲得第i 個家庭的月收入xi ( 單位 : 千元 ) 與月儲蓄 yi ( 單位 : 千元 ) 的10101010數據資料 , 算得xi80 ,yi20 ,xi yi184 ,xi2720 .i 1i 1i 1i 1( ) 求家庭的月儲蓄y 對月收入x 的線性回歸方程ybxa ;( ) 判斷變量 x 與 y 之間是正相關還是負相關 ;( ) 若該居民區某家庭月收入為7 千元 , 預測該家庭的月儲蓄 .ni 1xi yinx y附 : 線性回歸方程ybx a 中 , b, ay bx , 其中 x , y 為樣本平均值 , 線性回歸方程也可n2xi2nxi1寫為 ybxa .【例 60

24、】下列命題中 , 其中假命題是 ()A對分類變量X 與 Y 的隨機變量 K2 的觀測值 k 來說， k 越小，“ X 與 Y 有關系”可信程度越大B用相關指數 R2 來刻畫回歸的效果時，R2 的值越大，說明模型擬合的效果越好C兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近1D x, y 一定在回歸直線方程上【例 61】給出下列四個命題，其中正確的一個是（）A在線性回歸模型中，相關指數R2=0.80 ，說明預報變量對解釋變量的貢獻率是80%B在獨立性檢驗時， 兩個變量的 2×2 列表中對角線上數據的乘積相差越大，說明這兩個變量沒有關系成立的可能性就越大22C相關指數 R 用來刻畫回歸

25、效果， R 越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好D隨機誤差 e 是衡量預報精確度的一個量，它滿足E（e） =0真題：【 2014·湖北卷4】根據如下樣本數據：得到的回歸方程為)y bxa，則 (A a>0， b>0B a>0， b<0x345678B C a<0， b>0D a<0， b<0y4.02.5 0.50.5 2.0 3.0【 2014 高考全國2 第 19 題】某地區2007 年至 2013 年農村居 民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號 t12

26、34567人均純收入 y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y 關于 t 的線性回歸方程；（）利用（）中的回歸方程，分析2007 年至 2013 年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區 2015 年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：ntityi y?i 1，?by btn2atiti1六：隨機變量的概率問題例 62：某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了7 場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示（ 1）求甲、乙兩名運動員得分的中位數；（ 2 ）你認為哪位運動員的成績更穩定？（ 3）如果從甲、乙兩位運動員的7 場得

27、分中各隨機抽取一場的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率（參考數據： 928210 2226210292466 ，7 24262321222112236 ）例 63：在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為 5 月 1 日至 30 日，評委會把同學們上交作品的件數按 5 天一組分組統計， 繪制了頻率分布直方圖 ( 如圖 ) ，已知從左到右各長方形的高的比為 2： 3： 4： 6： 4：1，第三組的頻數為 12，請解答下列問題：(1) 本次活動共有多少件作品參加評比？(2) 哪組上交的作品數量最多？共有多少件？(3) 經過評比，第四組和第六組分別有10 件、 2 件作品獲獎

28、，問這兩組哪組獲獎率高？例 64：已知向量 a1,2 ， b x, y （ 1）若 x ， y 分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2， 3， 4， 5，6）先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足a b1的概率；（ 2）若實數 x, y1,6，求滿足 a b0 的概率例 65：某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管 1000 支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時）進行了統計，統計結果如下表所示：500 ，900 ，1100 ，1300 ，1500 ，1700 ，1900 ，分組900)1100)1300)1500)1700)1900)頻數48121208223

29、19316542頻率（ 1）將各組的頻率填入表中；（ 2）根據上述統計結果，計算燈管使用壽命不足1500 小時的頻率；（ 3）該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管 2 支，若將上述頻率作為概率， 試求恰有 1 支燈管的使用壽命不足 1500 小時的概率例 66：為研究氣候的變化趨勢，某市氣象部門統計了共如下表：（ 1）若第六、七、八組的頻數t 、 m 、100 個星期中每個星期氣溫的最高溫度和最低溫度，n 為遞減的等差數列，且第一組與第八組氣溫（）頻數頻率的頻數相同，求出 x 、 t 、 m 、 n 的值；5,1x0 03（ 2）若從第一組和第八組的所有星期0, 48中隨機抽取兩個星期，分別記

30、它們的平均5,912溫度為 x ， y ，求事件“ | x y | 5 ”的概率10,142215,192520,24t25,29m30,34n合計1001例 67：某校高三文科分為四個班. 高三數學調研測試后, 隨機地在各班抽取部分學生進行測試成績統計, 各班被抽取的學生人數恰好成等差數列, 人數最少的班被抽取了22 人 .抽取出來的所有學生的測試成績統計結果的頻率分布條形圖如圖5 所示 , 其中 120 130( 包括 120 分但不包括130 分 ) 的頻率為0.05, 此分數段的人數為5人 .(1)問各班被抽取的學生人數各為多少人?(2) 在抽取的所有學生中, 任取一名學生,求分數不小

31、于90 分的概率 .頻率0.400.350.300.250.200.150.100.05分數708090100110 120130例 68：某班 50 名學生在一次百米測試中，成績全部介于13 秒與 18 秒之間， 將測試結果按如下方式分成五組：每一組13,14) ；第二組14,15) ， ，第五組17,18 右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖 .（ I ）若成績大于或等于 14 秒且小于 16 秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；頻 率組 距0.380.32（ II ）設 m 、 n 表示該班某兩位同學的百米測試成績，且已知 m, n13,14)17,18 ，求事件“mn1 ”的概率 .0.160.080.06O1415161718秒1319題圖例 69：一人盒子中裝有 4 張卡片，每張卡上寫有 1 個數字，數字分別是 0， 1、 2、 3。現從盒子中隨機抽取卡片。（ I）若一次抽取 3 張卡片，求 3 張卡片上數字之和大于等于 5 的概率；（ I