1、工程力學(xué)（上）網(wǎng)上輔導(dǎo)（4）第四章 平面力系的簡(jiǎn)化與平衡方程一、本章知識(shí)點(diǎn)：1平面任意力系簡(jiǎn)化2平面任意力系的平衡3物體系的平衡問(wèn)題4考慮摩擦的平衡二、重點(diǎn)內(nèi)容介紹：（一）平面任意力系的簡(jiǎn)化1 平面任意力系 力系中各力的作用線(xiàn)都在同一平面內(nèi)，且任意地分布，這樣的力系稱(chēng)為平面任意力系。如教材圖41，荷載（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一點(diǎn)；有兩種特殊情況：平面平行力系：各力全部平行；平面匯交力系：各力全部匯交一點(diǎn)。2平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢 主矩 這一點(diǎn)稱(chēng)為簡(jiǎn)化中心。主矢等于力系中各力的矢量和；力偶的矩等于力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的代數(shù)和。平面任意力系向平面內(nèi)任選的簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化

2、結(jié)果： （1）等效于一個(gè)力和一個(gè)力偶的共同作用，既非一個(gè)合力也非一個(gè)力偶； （2）主矢與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān)，即對(duì)于任一點(diǎn)主矢都等于原力系各力的矢量和，確定其大小和方向； （3）主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)3力系簡(jiǎn)化的方法： （1）將復(fù)雜的平面力系用力向一點(diǎn)平移的方法分解為平面匯交力系和平面力偶系； （2）分別按兩種力系的合成方法簡(jiǎn)化得到主矢與主矩。4主矢的計(jì)算 主矢可以用代數(shù)方法，由X，Y軸的投影合成。將復(fù)雜的問(wèn)題分解為簡(jiǎn)單的幾個(gè)問(wèn)題，分別進(jìn)行分析，再合成，這是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效方法教材例題41： 在邊長(zhǎng)為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，作用有、等四個(gè)力，如圖。已知、。試求該力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果。 分析：

3、原題直接向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，我們用不同的方法簡(jiǎn)化，同學(xué)們可體會(huì)主矢與主矩的特性。力系先向B點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到主矢與，再向A點(diǎn)平移主矢，可以與書(shū)中結(jié)果比較。簡(jiǎn)化所得主矢與書(shū)中相同，其分量只與各力分量的代數(shù)和有關(guān)，與矩心即簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。但與不同，用正方向表示（逆時(shí)針），其值為負(fù)表示實(shí)際方向?yàn)轫槨?主矢再向A點(diǎn)平移：再向A點(diǎn)平移應(yīng)附加R''對(duì)A點(diǎn)的矩，加原B點(diǎn)的力矩。分解為與，所以主矢向A點(diǎn)平移的結(jié)果與教材相同，的實(shí)際方向?yàn)轫槙r(shí)針。 5平面力系簡(jiǎn)化結(jié)果討論：（1）主矢不為零，主矩為零：匯交力系。可以通過(guò)力的平移，確定力的作用點(diǎn)（即作用線(xiàn)）而簡(jiǎn)化為一個(gè)合力； 主矢不為零，主矩不為零：任意力系。（2）

4、主矢為零，主矩不為零：力偶系的合力偶矩；主矢為零，主矩為零：平衡力系。 最后簡(jiǎn)化結(jié)果只有三種可能：合力、合力偶、平衡 6合力矩定理： 平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。 （二）平面任意力系的平衡 1平面任意力系的平衡條件 平面任意力系的主矢和主矩同時(shí)為零，即 ，是平面任意力系的平衡的必要與充分條件。 2解析表達(dá)式平衡方程 上式為平面任意力系的平衡方程。 平面任意力系的平衡的必要與充分條件可解析地表達(dá)為：力系中所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。 三個(gè)方程可求解三個(gè)未知數(shù)。 二矩式 附加條件

5、說(shuō)明：若任意力系有一合力R，在A、B連線(xiàn)上，雖然R0，但如果AB 垂直 OX，則仍滿(mǎn)足X0（當(dāng)然另二個(gè)方程也滿(mǎn)足），此三個(gè)方程不是相互獨(dú)立的。 三矩式 其中A、B、C三點(diǎn)不能共線(xiàn)。若A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，當(dāng)合力R作用于此線(xiàn)上時(shí)，滿(mǎn)足三個(gè)方程，但仍可能不為零。教材例45： 十字交叉梁用三個(gè)鏈桿支座固定，如圖所示。求在水平力P的作用下各支座的約束反力。 分析： 若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解聯(lián)方程式； 若使用三矩式，選取三未知約束力的交點(diǎn)分別為矩心，則使一個(gè)方程只有一個(gè)未知力，求解方便（L，K，S）三點(diǎn)不共線(xiàn)。 這樣求解還有一個(gè)好處，每個(gè)力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的錯(cuò)誤的影

6、響。 解題步驟： 1取分離體，作受力圖 取十字交叉梁為分離體，其上受主動(dòng)力P、約束反力、和的作用。 2列平衡方程，求解未知力 解： 結(jié)論： 1、一個(gè) 受平面力系作用的物體，若平衡就必須滿(mǎn)足平衡方程。 2、一個(gè)受平面平移力系作用的物體，獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，只能解三個(gè)未知數(shù)。 3平面平行力系的平衡方程 平面平行力系為一般力系的特例。 X0自然滿(mǎn)足（X軸為垂直平行方向）。只余下二個(gè)獨(dú)立平衡方程。 或 （三）物體系的平衡 1物體系：是由多個(gè)物體（桿件）用結(jié)點(diǎn)（約束）聯(lián)結(jié)在一起的物體系統(tǒng)。實(shí)際結(jié)構(gòu)一般都由多個(gè)桿件組成。 （1）當(dāng)物體系處于平衡狀態(tài)時(shí)，該體系中的每一個(gè)物體也必定處于平衡狀態(tài)； （2）如

7、果每個(gè)物體都受平面力系的作用，可對(duì)每個(gè)物體寫(xiě)出三個(gè)平衡方程； （3）若物體系由n個(gè)物體組成，則可以寫(xiě)出3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。 2受力分析特點(diǎn)： （1）取整體或局部分離體，解除全部約束，畫(huà)出對(duì)應(yīng)約束的約束力。 （2）已知力按實(shí)際方向畫(huà)，未知力需假設(shè)正方向。 兩個(gè)局部物體之間的約束未知力應(yīng)按作用力與反作用力方向確定。教材例49 如圖所示結(jié)構(gòu)由AB、CD、EF三個(gè)桿件組成，受均布荷載q及力P的作用，求鉸支座A的支座反力。 分析：取適當(dāng)?shù)姆蛛x體，靈活應(yīng)用不同的平衡方程公式。 解題步驟： 1取整體結(jié)構(gòu)為分離體，列平衡方程 考慮整體受力特點(diǎn)： 除X外，其余未知力均為豎直方向。 2取AEB桿為分離體，列平衡

8、方程 解：1考慮AEB桿的受力分析：、匯交于E點(diǎn)。所以對(duì)E點(diǎn)取力矩平衡方程，只有一個(gè)未知力。 2求得后才能求得的解。可以看到P的大小不影響，只影響。（四）考慮摩擦的平衡問(wèn)題 1靜滑動(dòng)摩擦定律 稱(chēng)為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù),不僅與材料表面性質(zhì)，也與相對(duì)滑動(dòng)的速度有關(guān)。 2P、Q為主動(dòng)力，引起F、N，處于平衡狀態(tài)，則F、N的合力與P、Q的合力大小相等、方向相反； 最大靜摩擦力大小與正壓力成正比，f為比例系數(shù)方向與相對(duì)滑動(dòng)方向相反。 主動(dòng)力合力無(wú)論大小，只要作用在摩擦角內(nèi)就能使物體處于靜止平衡狀態(tài)。即自鎖現(xiàn)象。在工程中有重要的用處，如千斤頂，有一種提升式的腳手架，也是應(yīng)用自鎖裝置防止滑落。 3全約束反力 摩擦

9、角； 自鎖現(xiàn)象。 4考慮摩擦的平衡問(wèn)題： （1）在受力分析中，除畫(huà)出法向應(yīng)力外，應(yīng)注意最大靜摩擦力，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反。 （2）補(bǔ)充方程： （3）摩擦力與作用力平衡隨作用力的大小、方向變化，其范圍為 教材例410 物塊重為P，放在傾斜角為斜面上，接觸面的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。用水平力Q維持物塊的平衡，試求力Q的大小。 分析： Qmax使物體向上滑動(dòng)趨勢(shì)，F(xiàn)max及P的分力向下，使其未動(dòng)的臨界狀態(tài)。 由P引起物體的向下滑動(dòng),而由于Qmin和Fmax向上，使其未動(dòng)的臨界狀態(tài)。 具體計(jì)算請(qǐng)見(jiàn)教材P51頁(yè)。三、 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)1平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的方法 一般等效為一力與一力偶。 只等效為力的能簡(jiǎn)化為合

10、力，即匯交力系（平行力系交于無(wú)窮遠(yuǎn)）；主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。 只等效為一力偶的為力偶系，力矩與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。2物體系的平衡問(wèn)題 （1）正確分析整體與局部的受力； （2）靈活運(yùn)用三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。 適當(dāng)?shù)倪x取整體或局部的分離體，正確地畫(huà)出受力情況。 根據(jù)各力之間的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)钠胶夥匠獭?理解滑動(dòng)摩擦的概念 注意方向 自鎖現(xiàn)象 例（教材習(xí)題411） 斷鋼筋的設(shè)備如圖所示。欲使鋼筋E受到的壓力，問(wèn)加于A點(diǎn)的應(yīng)多大？圖中尺寸單位為cm。（圖411） OB尺寸為30CM，圖中130CM有誤，不成比例。 考慮整體5個(gè)未知約束分力，不能直接求解。 分析： （1）分離體AO ， （2）分離體CED 作業(yè)： 412、415、417 教材習(xí)題412 三拱鉸橋如圖所示。已知。求支座和的反力。 分析： （1）取分離體AC 求 （2）取分離體BC 求 教材習(xí)題