1、第一學(xué)期第十八次課第四章 線性方程組§4.1 消元法在解具體的線性方程組時(shí)，消元法是一種既方便又有效的方法.下面我們來討論一般的線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為 （1）的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng).方程組（1）中未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不一定相等.系數(shù)的第一個(gè)指標(biāo)表示它位于第個(gè)方程，第二個(gè)指標(biāo)表示它是的系數(shù).矩陣 ，與分別稱為線性方程組（1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣.對(duì)一個(gè)線性方程組，如果知道了它的全部的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)線性方程組就基本確定了，也就是說，線性方程組（1）可以用它的增廣矩陣來表示.所謂方程組（1）的一個(gè)解就是指由個(gè)數(shù)組

2、成的一個(gè)有序數(shù)組，當(dāng)分別用代入后，（1）中每個(gè)等式都變成恒等式.方程組（1）的解的全體稱為它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它的全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.在中學(xué)代數(shù)里，我們?cè)鴮W(xué)過用消元法解二元、三元線性方程組.事實(shí)上，消元法是解一般線性方程組的行之有效的方法.下面我們通過一個(gè)例子來回顧一下.例4.1.1：解線性方程組解：我們對(duì)給定的方程組施行一系列變形.首先，調(diào)換前兩個(gè)方程的位置，得再把第一個(gè)方程的1倍加到第三個(gè)方程上去，得最后用去乘第三個(gè)方程，得這樣，我們就容易求出方程組的解為.分析一下上述用消元法解線性方程組的過程，我們看到，線性方程

3、組的整個(gè)求解過程就是對(duì)線性方程組反復(fù)施行以下三種變換：1.用一個(gè)非零的數(shù)去乘某一個(gè)方程的兩邊；2.把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上去；3.互換方程組中兩個(gè)方程的位置.于是，我們引入下面的定義.定義4.1.1：變換1、2、3稱為線性方程組的初等變換.對(duì)方程組進(jìn)行變換是為了把方程組化簡，但變換前后的方程組的解集合必須要保持不變.定理4.1.1：初等變換總是把方程組變成同解方程組.證明：設(shè)線性方程組 （1）對(duì)（1）施行第一種初等變換，用一個(gè)非零的數(shù)去乘（1）的第方程，所得的新的方程組為： （2）設(shè)是（1）的任意一個(gè)解，把它代入（1）后，得到個(gè)恒等式： （3）用去乘（3）的第個(gè)恒等式，得這說明也是方程

4、組（2）的一個(gè)解.用同樣的方法可以證明，方程組（2）的任意一個(gè)解也是方程組（1）的一個(gè)解.因此，（1）與（2）是同解的.對(duì)第二、三種初等變換的情形可以類似的證明，這里就不具體給出了，證明留給讀者.因此，我們把線性方程組的初等變換也稱為線性方程組的同解變換.下面我們就來說明，如何利用初等變換來解線性方程組.對(duì)于方程組（1），首先檢查的系數(shù).如果的系數(shù)全為零，那么方程組（1）對(duì)沒有任何限制，就可以取任意值，而方程組（1）可以看作的方程組來解.如果的系數(shù)不全為零，那么利用第三種初等變換，可設(shè).；再利用第二種初等變換，分別把第一個(gè)方程的倍加到第個(gè)方程上去.于是方程組（1）就變成 （3）其中這樣，解方程

5、組（1）的問題就歸結(jié)為解線性方程組 （4）的問題.（4）的一個(gè)解，代入（3）的第一個(gè)方程就可決定出的值，這樣就得到（3）的一個(gè)解；而（3）的解顯然是（4）的解.這就是說，方程組（3）有解的充分必要條件為方程組（4）有解，而（3）與（1）是同解的，因此，方程組（1）有解的充分必要條件為方程組（4）有解.對(duì)（4）再重復(fù)上面的步驟，這樣一步一步的做下去，最后就得到一個(gè)階梯形的方程組.為了討論方便，不妨設(shè)所得的方程組為 （5）其中.那么，（1）與（5）是同解的.方程組（5）中的“0 = 0”這樣一些等式可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，去掉它們不會(huì)影響（5）的解.下面我們就來討論方程組（5）的解的情況.如果（5

6、）中有方程0 = ，而且.此時(shí)不管取何值都不能使它成為等式，所以（5）無解，因而（1）無解.如果是零或者（5）中根本沒有出現(xiàn)“0 = 0”的方程時(shí)，分下面兩種情形.第一種情形：，此時(shí)的階梯形方程組為 （6）其中.由最后一個(gè)方程開始，的值就可以逐一的唯一確定.這樣，方程組（6）就有唯一解，從而方程組（1）有唯一解.第二種情形：，此時(shí)的階梯形方程組為其中.把它改寫成 （7）由此可見，任給的一組值，就唯一地確定的值，也就定出方程組（7）的一個(gè)解.一般地，由（7）可以把通過表示出來，這樣的表達(dá)式稱為方程組（1）的一般解，而稱為一組自由未知量.應(yīng)該看到，的情況不會(huì)出現(xiàn).以上就是利用消元法解線性方程組的整

7、個(gè)過程.總起來說就是，首先用初等變換把線性方程組化為階梯形的方程組，把后面那些“0 = 0”的恒等式去掉.在剩下的方程當(dāng)中，如果最后一個(gè)方程是零等于一個(gè)非零的數(shù)，那么方程組無解，否則方程組有解.在有解的情況下，如果階梯形的方程組的方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有唯一解；如果階梯形方程組的方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有無窮多個(gè)解.注：利用初等變換把方程組（1）化為階梯形方程組，就相當(dāng)于利用矩陣的初等行變換把增廣矩陣化為階梯形的矩陣.因此，解線性方程組時(shí)，第一步工作可以通過矩陣來完成，從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組是否有解，在有解的情況下，再返回到階梯形的方程組去解.例4.1.2：解方程組解：對(duì)其增廣矩陣施行行的初等變換，化為階梯形：從