1、第二章分離變量法齊次偏微分方程的分離變量法1有界弦的自由振動(1)考慮兩端固定的弦振動方程的混合問題22 u 二 at22 x0=(x)u(0,t)= u(l,t)二 u|t j (x),u L這個定解的特點是：偏微分方程是齊次的，邊界條件是齊次的。求解這樣的方程可用疊加原理。類似于常微分方程通解的求法先求由其所有線性無關的特解，通過疊加求定解問題的解。所謂u(x,t)具有分離變量的形式，即u(x,t)= X(x)T(t)把u(x,t)= X(x)T(t)帶入方程中，可得到常微分方程定解為：qQu(x,t) = £ un(x,t)n Tan t an t n x='、(Cn

2、cos Dn sin )sin 一n，lll2 in x _2 in x其中：Cn =一0cp (x)sindx, Dn = 仆(x)sindxllanl2離變量法的解題步驟可以分成三步：(一)首先將偏微分方程的定解問題通過分離變量轉 化為常微分方程的定解問題。(二)確定特征值與特征函數。(三)求生特征值和特征函數后，再解其它的常微分方程，將所得的解與同一特征值報驪應的特征函數相乘得到所 有分離變量的特解。3有限長桿上的熱傳導設有一均勻細桿，長為1,比熱為c,熱傳導系數為k, 桿的側面是絕緣的，在桿的一端溫度保持為0度，另一端桿的熱量自由散發到周圍溫度是0的介質中，桿與介質的熱交換系數為k。，

3、已知桿上的初溫分布為 中(x),求桿上溫度的變 化規律，也就是要考慮下列問題： -2- 2u 9 uU=a2U,0<x<1,t>0(2.18)22t xu(0,t) = 0, U " hu(1,t) = 0 (2.19)u(x,0)= (x) (2.20) k其中a2 =,h0注意到此定解問題中方程和邊界條件均是齊次的,因此仍用分離變量法來求解。設 u(x,t) = X(x)T(t),代入方程(2.18)得： X (x) T (t) X(x) aT(t)上式右端不含x ,左端不含t ,所以只有當兩端均為常 數時才能相等。令此常數為-九，則有：X (x) + ?X(x

4、) = 0(2.21 )(t) + a，T(t) = 0(2.22 )所齊次邊界條件可得：X(0) = 0,X (l) + hX (l) = 0(2.23 )從而特征值問題：X(x) X(x) = 0 X(0) = 0,X (l) hX(l) = 0對九的取值分三種情況 九 0 ,九=0,九 0進行討論。4極坐標系下位勢方程的分離變量法如果求解區域是圓域、圓柱域等，在直角坐標系下，其 邊界不能用分離變量形式的方程來表示，進行分離變量就會受阻。然而若轉換坐標，例如圓形域換成極坐標系后，其邊 界方程為p - p。= 0 ,符合分離變量的要求。因此，當求解 域為圓、扇形、球、圓柱等定解問題時，通過選

5、取適當的坐 標系，可以排除用分離變量法的障礙。例如 一個半徑為p0的薄圓盤，上下兩面絕緣，圓周邊 緣溫度分布為已知，求達到穩定狀態下圓盤內的溫度分布。二、非齊次方程的的解法1非齊次方程的特征函數法可分離變量法要求方程是齊次、邊界條件也為齊次(位 勢方程例外)如果上述條件之一破壞，則不能采用分離變量 法解。對于齊次方程具有齊次邊界條件的定解問題，因其通解可表示為其特征函數Xn(x)(n= 1,2，.)的線性組合，即U(X,t) = £ CnTn(t)Xn(X),由此推斷非齊次方程具有齊次邊 n 1界條件定解問題也可由特征函數列X n (x)線性表由，即求形式解U(X,t) = 

6、3; Tn(t)Xn(X) , Tn(t)為待定函數。 n 1由此，在齊次邊界條件下的非齊次的定解問題，只要將 其解及方程的自由項均按相應的齊次方程的特征函數展開， 就可以求生其形式解。因此，這個方法就稱為特征函數法。2非齊次邊界條件的齊次化不論是用分離變量法，還是用特征函數法，都要求定解問題的邊界條件是齊次的，這是因為用分離變量法或特征函數法都要將特征函數疊加起來，如果邊界條件非齊次，則通 過疊加后的函數就不可能滿足原邊界條件。所以當邊界條件是非齊次時，必須設法將邊界條件化成齊次的。例如將定解問題 -2Utt = a Uxx f (x,t) u(0,t)= g"t),u(l,t)=

7、 g2(t) u(x,0) = (x) U(x,0) = (x)的邊界條件齊次化。設 u(x,t) = V(x,t) + W(x,t),通過適當選取 W(x,t)使 新的未知函數滿足齊次邊界條件，這只須使W(x,t)滿足：Wi(0,t)= g(t), Wi(l,t)= g2(t) 即可。3 Sturn- Liouville 問題用分離變量法爭定解問題必須導生特征值問題，并將定解問題的解表示成特征函數系構成的無窮級數。現在看Sturn - Liouville問題的一般提法和主要結論。方程ak(x)dy - q(x)y+ *、p(x)y = 0 (a< x< b) dx dx(2.38

8、 ),稱為Sturn - Liouville型方程。其中為待定實參數， p(x), q(x), k(x)為已知函數，且在a,b上 k(x), k(x), p(x),當 xw (a,b)時，p(x)>0, q(x)之 0, k(x)>0,而a,b 至多是k(x)及p(x)的一級0點；q(x)在(a,b)上連續，在端 點至多是一級極點。方程(2.38)與定解條件所構成的定解問題稱為 Sturn - Liouville 問題。任一個 Sturn- Liouville 問題的特 征值和特征函數滿足如下性質：(1 )在可數無窮多個值九1 <九2 << ，lim = +co。與每一個特征值相應的線性無關的特征函 數只有一個；(2)3之0；(3)設九山豐3是任意兩個不同的特征值，則相應的特 征函數ym(x)和yn(x)在a,b上帶權p(x)正交，即有： ba p(x)ym(x)yn(x)dx= 0(4)特征函數系yn(x)在區間a,b上構成一個完備 系，也就是說，對任意一個在