1、列方程解應用問題列方程解應用題，是初中數學的重要內容之一。許多實際問題都歸結為解一 種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應用題是數學聯系實際， 解決實際問 題的一個重要方面；同時通過列方程解應用題，可以培養我們分析問題，解決問 題的能力。因此我們要努力學好這部分知識。一.列一元一次方程解應用題的一般步驟1)認真讀題，理解題意，弄清題目中的數量關系，找出其中的相等關系；2)設出未知數，用含有未知數的代數式表示題目中涉及的數量關系；3)根據相等關系列出方程；4)求出所列方程的解；5)檢驗方程的解是否符合問題的實際意義；6)寫出答案。二.分類知能點與題目知能點1:市場經濟、打折銷售問題(1)商品利

2、潤=商品售價一商品成本價(2)商品利潤率=商品利潤商品成本價X100%(3)商品銷售額=商品銷售價難?品銷售量(4)商品的銷售利潤=(銷售價一成本價)處肖售量(5)商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打 8折出 售，即按原標價的80%出售.例1.某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優惠出售，已知某 種皮鞋進價60元一雙，八折出售后商家所獲利潤率為 40%,問這種皮鞋標價是 多少元優惠價是多少元分析通過列表分析已知條件，找到相等關系進價折扣率標價優惠價利潤率60元8折X元80%X40%相等關系：商品利潤率=商品利潤/商品進價 解：設標價是X元，根據題意列方程，得80% 6

3、04060100，解這個方程，得x=10580優惠彳/T為80%x105 84（兀），100答：這種皮鞋的標價是105元，優惠價是84元。例2. 一家商店將某種服裝按進價提高 40%后標價，又以8折優惠賣出，結 果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少分析探究題目中隱含的條件是關鍵，可直接設出成本為X元進價折扣率標價優惠價利潤X元8折(1+40%) X 元80% (1+40%) X15元等量關系：（利潤=折扣后價格一進價）折扣后價格-進價=15解：設進價為 X 元，80%X （1+40%） X=15, X=125答：進價是125元。1 . 一種商品進價為50元，為賺取20%的利潤，該商品的

4、標價為 元.60 （點撥：設標價為x元，貝U x-50=50 20%）2 .某商品的標價為220元，九折賣出后盈利10%,則該商品的進價為 元.180 （點撥：設商品的進價為x元，則220>90%-x=10%x）3 .某種商品若按標價的8折出售可獲利20%,若按原標價出售，則可獲利 （）.A. 25%B. 40% C. 50% D. 1C （點撥：設標價為x元，進價為a元，則80%x-a=20%a,彳4 x=3a23 a a按原標價出售可獲利 2 X100%=50%）a4.兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%,另一件贏利40%,則兩件商 品賣后（）.A.贏利元B.虧本3元 C.贏利3元

5、D.不贏不虧C （點撥：設進價分別為a元，b元，則 a-84=20%a,彳3a=10584-b=40%b,彳# b=60a 84 >2- (a+b) =3,故贏利 3 元)5. 一家商店將一種自行車按進價提高 45%后標價，又以八折優惠賣出，結 果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元若假設這種自行車每輛的 進價是x元，那么所列方程為()%X (1+80%) x-x=50B. 80% X (1+45%) x - x = 50C. x-80% 義(1+45%) x = 50%X (1-45%) x - x = 506 .某商品的進貨價為每件x元，零售價為每件900元，為了適應市場競

6、爭， 商店按零售價的九折讓利40元銷售，仍可獲利10%,則乂為()A、700元B、約733元C、約736元 D、約856元7 .某商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓， 商店準備打折出售，但要保持利潤率不低于 5%,則至多打幾折.解：設至多打x折，根據題意有1200x 800 X100%=5%解得x=70%800答：至多打7折出售.8 . 一家商店將某種型號的彩電先按原售價提高 40%,然后在廣告中寫上 大 酬賓，八折優惠經顧客投拆后，執法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款，求每臺彩電的原售價.解：設每臺彩電的原售價為x元，根據題意，有10x(1+4

7、0%) X80%-x=2700, x=2250答：每臺彩電的原售價為2250元.9 .某商品進價是1000元，標價為1500元，商品要求以利潤率不低于5% 的售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品知能點2:方案選擇問題10 .某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為 1000 元，？經粗加工后銷售，每噸利潤可達 4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至 7500元，當地一家公司收購這種蔬菜 140噸，該公司的加工生產能力是：如果對蔬菜進行精加工，每天可加工 16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，？但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全

8、部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工.方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，？在市場上直接銷售.方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.你認為哪種方案獲利最多為什么解：方案一：獲利140必500=630000 (元)方案二：獲利 15>6X7500+ (140-15 >6) M000=725000 (元)方案三：設精加工x噸，則粗加工(140-x)噸.依題意得-140 X =15 解得x=60 616獲利 60X7500+ (140-60) >4500=810000 (元)因為第三種獲利最

9、多，所以應選擇方案三.11 .某市移動通訊公司開設了兩種通訊業務： 全球通”使用者先繳50?元月 基礎費，然后每通話1分鐘，再付 費元；神州行”不繳月基礎費，每通話1? 分鐘需付話費元(這里均指市內 ).若一個月內通話x分鐘，兩種通話方式的 費用分別為y1元和y2元.(1)寫出y1，y2與x之間的函數關系式(即等式).(2) 一個月內通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同(3)若某人預計一個月內使用話費120元，則應選擇哪一種通話方式較合 算解：(1) y1=+50, y2=.(2)由 y1=y2得+50=,解得 x=250.即當一個月內通話250分鐘時，兩種通話方式的費用相同.(3)由+50=

10、120,解得 x=350由+50=120,彳4 x=300因為 350>300故第一種通話方式比較合算.12 .某地區居民生活用電基本價格為每千瓦時元，若每月用電量超過a千瓦時,則超過部分按基本電價的70%收費.(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費元，求a.(2)若該用戶九月份的平均電費為元，則九月份共用電多少千瓦時？應交電費是多少元解：(1)由題意，得 + (84-a) X>70%=解彳3a=60(2)設九月份共用電x千瓦時，則 >60+ (x-60) X>70%=解彳4 x=90所以>90=(元)答：九月份共用電90千瓦時，應交電費元.13 .某家電商場計

11、劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機.已知該廠家生 產3?種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元， C種每臺2500元.(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案.(2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲 利200元，？銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電 視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案解：按購A, B兩種，B, C兩種，A, C兩種電視機這三種方案分別計算， 設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺.(1)當選購A, B兩種電視機時，B種電視機購

12、(50-x)臺，可得方程1500x+2100 (50-x) =90000即 5x+7 (50-x) =3002x=50x=2550-x=25當選購A, C兩種電視機時，C種電視機購(50-x)臺，可得方程 1500x+2500 (50-x) =900003x+5 (50-x) =1800x=3550-x=15當購B, C兩種電視機時，C種電視機為(50-y)臺.可得方程 2100y+2500 (50-y) =9000021y+25 (50-y) =900, 4y=350,不合題意由此可選擇兩種方案：一是購 A, B兩種電視機25臺；二是購A種電視機 35臺，C種電視機15臺.(2)若選擇(1)

13、中的方案，可獲利150X25+250X15=8750 (元)若選擇(1)中的方案，可獲利150M5+250X15=9000 (元)9000>8750故為了獲利最多，選擇第二種方案.14 .小剛為書房買燈。現有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦的節能燈，售價為49元/盞，另一種是40瓦的白熾燈，售價為18元/盞。假設兩種燈的照明效 果一樣，使用壽命都可以達到2800小時。已知小剛家所在地的電價是每千瓦時 元。15 ).設照明時間是x小時，請用含x的代數式分別表示用一盞節能燈和用一 盞白熾燈的費用。(費用=燈的售價+電費)16 ).小剛想在這兩種燈中選購一盞。當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用

14、一樣多試用特殊值判斷：照明時間在什么范圍內，選用白熾燈費用低照明時間在什么范圍內，選用節能燈費用低17 ).小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時間是3000小時，使用壽命都是 2800小時。請你設計一種費用最低的選燈照明方案，并說明理由。答案：+49+182000知能點3儲蓄、儲蓄利息問題(1)顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息 合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20% 付利息稅(2)利息=本金XM率戒數率(20%)本息和=本金+利息利息稅=利息e(3)利潤每個期數內的利息本金100%,例3.某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期

15、為半年。半年后共得本 息和元，求銀行半年期的年利率是多少(不計利息稅)分析等量關系：本息和=本金X (1+利率)解：設半年期的實際利率為X,依題意得方程250 (1+X)=, 解得X=所以年利率為刈=答：銀行的年利率是%例4.為了準備6年后小明上大學的學費20000元，他的父親現在 就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：(1)直接存入一個6年期；(2)先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉存一個三年期；(3)先存入一個一年期的，后將本息和自動轉存下一個一年期；你 認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少分析這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲 蓄的本金是多少，再進行

16、比較。解：(1)設存入一個6年的本金是X元，依題意彳#方程X (1+6X%) =20000, 解得 X=17053(2)設存入兩個三年期開始的本金為 Y元，Y (1+%X 3) (1+%X3) =20000, X=17115(3)設存入一年期本金為Z元, Z (1+%) 6=20000, Z=17894 所以存入一個6年期的本金最少。15 .利息稅的計算方法是：利息稅=利息>20%.某儲戶按一年定期存款一筆， ?年利率, 一年后取出時，扣除了利息稅 90元，據此分析，？這筆存款的到期 利息是 元，本金是元，銀行向儲戶支付的現金是 元. 45020000 2036016 .小剛的爸爸前年買

17、了某公司的二年期債券 4500元，今年到期，扣除利 息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少(精確到 %).解：設這種債券的年利率是x,根據題意有4500+4500>2>XX (1-20%) =4700,解得 x=答：這種債券的年利率為.17 .為了準備小明三年后上高中的學費，他的父母準備現在拿出 3000元參 加教育儲蓄，已知教育儲蓄一年期利率為,二年期利率為,三年期利率為, ?請你幫小明的父母計算一下如何儲蓄三年后得到的利息最多.解：利用公式分三種情況(一年期、二年期、三年期)進行計算，再進行比較即可獲得答案.一年期：設利息為x元，則x=3000淤屏1=（元）二

18、年期：設利息為x元，則x=3000X%<2=135 （元）三年期：設利息為x 元，貝U x=3000X%< 3=（元）.135 226.8 < 二年期儲畜利息最多.238元，銷售價是每18 .（北京海淀區）白云商場購進某種商品的進價是每件件10元（銷售價與進價的差價2元就是賣出一件商品所獲得的利潤）.現為了擴 大銷售量，？把每件的銷售價降低x%出售，？但要求賣出一件商品所獲得的利潤 是降價前所獲得的利潤的90%,則x應等于（）.A. 1 B.C. 2D. 10C 點撥：根據題意列方程，得（10-8） >90%=10 （1-x%） -8,解得x=2, 故選C19 .某人按

19、定期2年向銀行儲蓄1500元，假設每年利率為3% （不計復利） 到期支取時，扣除利息所得稅（稅率為 20%）此人實得利息為（）A、1272 元 B、36 元 C、72 元D、1572 元20.用若干元人民幣購買了一種年利率為 10%的一年期債券，到期后他取出 本金的一半用作購物，剩下的一半和所得的利息又全部買了這種一年期債券（利 率不變），到期后得本息和1320元。問張叔叔當初購買這咱債券花了多少元答案： 22000元21購買了 25000元某公司1年期的債券，一年后扣除20%的利息稅之后得 到本息和為26000元，這種債券的年利率是多少答案：百分之五知能點4:工程問題工作量=工作效率XX作時

20、間工作效率=工作量 H作時間工作時間=工作量 H作效率完成某項任務的各工作量的和=總工作量二1例5. 一件工作，甲獨作10天完成，乙獨作8天完成，兩人合作幾天完成 11分析甲獨作10天完成，說明的他的工作效率是 ,，乙的工作效率是1,108等量關系是：甲乙合作的效率外作的時間=1解：設合作X大完成，依題意彳#方程(1)x 1解得x 竺10 89答：兩人合作竺大完成9例6. 一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙 合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全 部工程分析設工程總量為單位1,等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工 作總量。解：設

21、乙還需x天完成全部工程，設工作總量為單位 1,由題意得，,11x.后方+，日33人3()31斛之得x一615 121255答：乙還需63天才能完成全部工程。5例7. 一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個內排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開內管9小時可將滿池水排空， 若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開內管后幾小時可注滿水 池分析等量關系為：甲注水量+乙注水量-內排水量=1。解：設打開內管后x小時可注滿水池，11x304由題思行，(-)(x2)1解這個方程得x26891313答：打開內管后23小時可注滿水池。1322.一批工業最新動態信息輸入管理儲

22、存網絡， 甲獨做需6小時，乙獨做需4 小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能 完成工作解：設甲、乙一起做還需x小時才能完成工作.根據題意，得1x1+ (1 + 1) x=1 解這個方程，得x=1111=2小6 26 455時12分答：甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作.23某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件 5個或乙種零件4個.在 這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.？已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利 24元.若此車間一共獲利 1440元，？求這一天有幾個工人加工甲種零件.解：設這一天有x名工人加工

23、甲種零件，則這天加工甲種零件有 5x個，乙 種零件有4 (16-x)個.根據題意，得16>5x+24 X4 (16-x) =1440 解得x=6答：這一天有6名工人加工甲種零件.24.一項工程甲單獨做需要10天，乙需要12天，內單獨做需要15天，甲、內先做3天后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成設還需x天完成，根據題意得11x 112 151或一31011x (3 x) 11215解得x10知能點5:若干應用問題等量關系的規律(1)和、差、倍、分問題 此類題既可有示運算關系，又可表示相等關系， 要結合題意特別注意題目中的關鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等

24、，它們能指導我們正確地列出代數式或方程式。增長量=原有量此曾長率現在量=原有量+增長量25.某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第一個中的 ：，問每個 倉庫各有多少糧食設第二個倉庫存糧x噸，則第一個倉庫存糧3x噸，根據題意得5y(3x 20) x 20 解得 x 30 3x 3 30 90(2)等積變形問題常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變.圓柱體的體積公式V二底面積斕；=S h= r2h長方體的體積V=長 X® 斕5 = abc26 .一個裝滿水的內部長、寬、高分別為 300毫

25、米，300毫米和80?毫米的長 方體鐵盒中的水，倒入一個內徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒滿，求圓柱形水桶的高（精確到毫米,解：設圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得 （J200 ） 2x=300 300 802x =答：圓柱形水桶的高約為毫米.27 .長方體甲的長、寬、高分別為 260mm, 150mm, 325mm,長方體乙的底 面積為130X130mm2,又知甲的體積是乙的體積的倍，求乙的高設乙的高為xmm,根據題意得260 150 325 2.5 130 130 x 解得 x 300知能點6:行程問題基本量之間的關系：路程=速度刈寸間時間=路程 刊（度 速度=路程幫寸問（1）相遇問題

26、（2）追及問題快行距+慢行距=原距快行距-慢行距=原距（3）航行問題順水（風）速度=靜水（風）速度+水流（風）速度逆水（風）速度=靜水（風）速度水流（風）速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜水速）不變的特點考慮相等關系.例8.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲立副F出，每小時行 90公里， 一列快車從乙站開出，每小時行140公里。（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時 后兩車相遇（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，

27、多少小時后快車追上慢 車（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少 小時追上慢車此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結 合圖形分析。(1)分析：相遇問題，回圖表小為:Al乙等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480 公里。解：設快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480這個方程，230x=39016x 1 ,2360012 x=23+480公里=600公答：快車開出1"小時兩車相遇23；分析：相背而行，畫圖表示為：等量關系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。解：設x小時后兩車相距600公里,由

28、題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230x=12012答：12小時后兩車相距600公里。23(3)分析：等量關系為：快車所走路程-慢車所走路程里。解：設x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140 90)x+480=60050x=120x=答：小時后兩車相距600公里。分析：追及問題，畫圖表示為： 八等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480 甲乙公里。解：設x小時后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480 解這個方程，50x=480 x=答：小時后快車追上慢車。分析：追及問題，等量關系為：快車的路程 =慢車走的路程+480公里。解：設快車開出x小時后追上慢車。

29、由題意得，140x=90(x+1)+48050x=570x=答：快車開出小時后追上慢車。例9.甲乙兩人在同一道路上從相距 5千米的A、B兩地同向而行，甲的速 度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當甲追乙時，狗先 追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復，直至甲追上乙為止，已知狗 的速度為15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少分析追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉化成甲乙兩人 的追擊問題。狗跑的總路程=它的速度刈寸問，而它用的總時間就是甲追上乙的 時間解：設甲用X小時追上乙，根據題意列方程5X=3X+5 解得X=,狗的總路程：15>=答：狗的總

30、路程是37.5千米。例10.某船從A地順流而下到達B地，然后逆流返回，到達 A、B兩地之 間的C地，一共航行了 7小時，已知此船在靜水中的速度為 8千米/時，水流速 度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。分析這屬于行船問題，這類問題中要弄清：(1)順水速度=船在靜水中的速度+水流速度；(2)逆水速度=船在靜水中的速度-水流速度。相等關系為：順流航行的時 間+逆流航行的時間=7小時。解：設A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米, 由題意得，圣0 7解這個方程得x 32.52 88 2答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。28.有一火

31、車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵 橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的 2倍短50米, 試求各鐵橋的長.解：設第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為(2x-50)米，？過完第一 鐵橋所需的時間為 工分.過完第二鐵橋所需的時間為 主一50分.依題意，可600600列出方程x 5 2x 5n裔 + 言=2x_5n解方程 x+50=2x-5n 得 x=inn2x-5n=2xinn-5n=i5n答：第一鐵橋長inn米，第二鐵橋長i5n米.29.已知甲、乙兩地相距12n千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從 A地出發2小時后，乙從B地出發，與甲相向而行經過in小時后相遇，求甲乙 的速度設甲的速度為x千米/小時，則乙的速度為（x i）千米/小時，依題意得，2x in（x x i） i2n x 5 x i 63n. 一隊學生去軍事訓練，走到半路，隊長有事要從隊頭通知到隊尾，通訊 員以i8米/分的速度從隊頭至隊尾又返回，已知隊伍的行進速度為i4米/分。問:若已知隊長32n米，則通訊員幾分鐘返回若已知通訊員用了 25分鐘，則隊長為多少米（D 設通訊員t分鐘后返回，依題意得t衛in 8。9。分鐘i8 i4 i8 i4x x25（2）設隊長x米，則有i8 i4 i8 i48nnx 931. 一架飛機在兩個城市之間飛行，風速為