1、計算方法主講 岳國強 哈爾濱工程大學動力與能源工程學院計算機解決科學計算問題時經(jīng)歷的幾個過程實際問題數(shù)學模型數(shù)值計算方法程序設計上機運行求出解計算方法課的主要基礎與內(nèi)容 計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數(shù)計算1. 數(shù)值代數(shù):求解線性方程組的解法（分直接方法和間接方法），求矩陣的特征值與特征向量。2. 數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近，數(shù)值微分和數(shù)值積分。3. 方程求解：非線性方程、常微分方程。計算方法特點面向計算機。有可靠的理論分析（收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析）。要有好的計算復雜性（時間、空間）要有數(shù)值試驗。算法1.計算速度。 例如,求解一個20階線性方程組,用消元法需3000次乘法運算;而

2、用克萊姆法則要進行次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。2.存儲量。 大型問題有必要考慮。3.數(shù)值穩(wěn)定性。 在大量計算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與算法有關。 秦九韶算法 選定合適的算法是整個數(shù)值計算中非常重要的一環(huán) 對于多項式 12345xxxxxxP秦九韶算法 將多項式改寫為 該方法僅需要4次乘法，5次加法 11111xxxxxxP秦九韶算法 對于多項式 直接計算需要n次加法和 次乘法 0111axaxaxaxPnnnn21121nnnn秦九韶算法 將多項式改寫為 該方法僅需要n次乘法， n次加法 0121axaxaxaxaxPnnn誤差來源在任何科學計算中其解的精確性總是

3、相對的,而誤差則是絕對的.我們從下面這個例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因. 擺長為L的單擺運動周期22sing:gl2dtdmlmamgfmlT牛頓定律的質(zhì)量。如圖所示：由是質(zhì)點為自由落體加速度；為擺長；其中擺周期在物理學中我們知道單0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml則有令很小時當即所以：期求解過程的誤差情況現(xiàn)在我們來分析單擺周因此，故有解微分方程得，glTtcctctc22)sin(.sincos22212121開方：舍入誤差長度秒米觀察誤差：展式：由截斷誤差：點處的摩擦力忽略忽略空氣阻力模型誤差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglo

4、rsin2o10205300lg誤差的分類模型誤差模型誤差 從實際問題建立的數(shù)學模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.觀測誤差觀測誤差 一般數(shù)學問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。截斷誤差截斷誤差 在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。舍入誤差舍入誤差 在計算機上運算時受機器字長的限制，一般必須進行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。誤差和有效數(shù)字。的絕對誤差和相對誤差為近似數(shù)和稱的一個近似數(shù)為準確數(shù)設*)0()()()(,xxxxexxxxx

5、xr精度的好壞更合理。衡量也稱百分比誤差而用相對誤差。但無法衡量精度的好壞比較直觀的精度高低絕對誤差是做為衡量為盈（強）近似值。稱時當為虧（弱）近似值稱時當,0)(;,0)(*xxxxx誤差估計由于準確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的，但有可能給出估計。誤差限就是用于誤差估計的。誤差估計差限。的絕對誤差限和相對誤為近似數(shù)和則稱滿足和若有正數(shù)的一個近似數(shù)是精確數(shù)設*r*r*| )(| )(|:,xxxxxxxxxxr 2*22*2*)()(rrrOxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx有效數(shù)字在工程上，誤差的概念就轉化為有效數(shù)字。似數(shù)。具有五位有效數(shù)字的近稱

6、則的近似數(shù)例如3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*在計算機中表示為：均為有效數(shù)。為有效數(shù)字，且則若設121321.,1021.,. 010nnnmnmaaaaaaaaxmfa1a2 an位有效數(shù)的近似數(shù)。的具有為則稱的絕對誤差滿足。如果是整數(shù)且和其中有規(guī)格化形式設近似數(shù)nxxxxxxaaniamaaaaxxnmiinm*1321*1021| )(|90 , 0,.),.,2 , 1(.010絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實際計算時最終結果均以有效數(shù)給出。同時也就隱含了絕對誤差和

7、相對誤差限。4*10215, 1,4142. 1,2的絕對誤差限則如xnmxx554*1041044142. 11021rx即而相對誤差限估計為解解由于由于,5204 所以所以,41 a由定理有由定理有,%1 . 0102111 na即即,81104 n得得4 n要使要使 的近似值的相對誤差限小于的近似值的相對誤差限小于0.1% ,要取幾位有效數(shù)字。要取幾位有效數(shù)字。20故只要對故只要對 的近似數(shù)取的近似數(shù)取4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字,20472. 420 因此因此,可取可取其相對誤差就可小于其相對誤差就可小于0.1%,例題。的絕對誤差和相對誤差面積試估計觀測數(shù)據(jù)為設例SABC,)02.060(

8、,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb2*57.1018002. 0cos211 . 0sin211 . 0sin21)()()()(sin21mAcbAbAcAeAScecSbebSSeAbcS則由解253*33*10211021| )(|10010. 01010.100:10035. 2sin2157.10|)(| )(|bebAcbsseser則對誤差界。如出，則知道絕若數(shù)據(jù)以規(guī)格化形式給注意1.3算法的優(yōu)化算法優(yōu)劣的標準從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小,收斂斂速要快。即運算量小,機器用時少.從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數(shù)

9、值要穩(wěn)定.從實現(xiàn)算法的觀點看,算法的邏輯結構不宜太復雜，便于程序編制和上機實現(xiàn).設計算法時應遵循的原則要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播.避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時,防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失.避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.例題.1)1(.312112ln1.)1(.32)1ln(解2ln例1.3.11132nxnxxxxxTaylornnn有令展式有算法一：由的值。計算慢。顯然項數(shù)大，收斂速度時，則若要收斂。所以且由級數(shù)判別，交錯級數(shù)55102102111|2ln0limnnann得：并取則令則而由于算法二1031211.)1

10、2.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnnnn差距很大。，計算精度及速度兩種算法，同樣計算其截斷誤差為2ln109123112191119123132.)9125191231(32)31(211.3151311 (322ln12101112112042T。則時同理若要算法一：由定積分解的值。計算圓周率例55110210,1021121|.121)1(.513111142 .3 .1nnndxxn141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611

11、)(,2122*22SffffhSsimpsonxxfhn所以公式有的，算法二：取算法二表明,僅用不多的五次函數(shù)值的計算,已獲得的具有五位有效數(shù)字的近似值。,.2 , 11|555,.)1 , 0(5例1.3.310101101110nnnxdxxdxxxxIIndxxxInnnnnnnn解：由于計算定積分計算如下：得遞推公式18232155. 056ln,.2 , 15101InInInnn InnIn0 0.1823215590.0170566241 0.088392216100.0147168762 0.058039818110.0173247103 0.04313874212-0.0032902194 0.03430628713-0.0933741725 0.02846856014-0.3954422906 0.024323864152.0438781007 0.02123782016-10.156890008 0.0188108971750.84327600錯。的絕對值越大，顯然出越大，且時從表中看到，當。且即，所以由于nnnnnnInInIIdxxxxxx0120lim, 10150) 1 , 0(1501041)5(.)(5,.2 ,