1、第一章:緒論§1.1 信號與系統(tǒng)(信號與系統(tǒng)第二版(鄭君里1.1 圖1-1消息(Message:信源的輸出+語義學(xué)上的理解。信號(Signal:Information Vector(Signum,它攜帶或蘊(yùn)含或本身即為信息。信息(Information:消息,內(nèi)容,情報(bào)(牛津英文詞典。語用層次上的信息:效用信息 語義層次上的信息:含義語法層次上的信息:形式(狹義信息Shannon信息論系統(tǒng)(System:由若干個(gè)相互作用的物理對象和物理?xiàng)l件(統(tǒng)稱為系統(tǒng)元件組成的具有特定功能的整體。本課程要解決的兩個(gè)問題:信號表示(分析:把信號分解成它的各個(gè)組成分量或成分的概念、理論和方法,即用簡單表

2、示復(fù)雜。信號通過系統(tǒng)的響應(yīng):9系統(tǒng)分析:在給定系統(tǒng)的條件下,研究系統(tǒng)對于輸入激勵(lì)信號所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。9系統(tǒng)綜合:按某種需要規(guī)定出系統(tǒng)對于給定激勵(lì)的響應(yīng),并根據(jù)此要求設(shè)計(jì)系統(tǒng)。§1.2 信號分類與典型確定性信號(信號與系統(tǒng)第二版(鄭君里1.2,1.4 確定性信號:由確定系統(tǒng)產(chǎn)生、具有確定參數(shù)、按確定方式變化的信號。隨機(jī)信號:具有不可預(yù)知的不確定性的信號。非確定性信號模糊信號:(例:高矮,胖瘦。周期信號:f(t = f(t + nT,n Z非周期信號:f(tf(t + nT, n Z偽隨機(jī)信號:具有周期性的隨機(jī)信號。周期無窮大則為隨機(jī)信號。 連續(xù)時(shí)間信號:在所討論的時(shí)間區(qū)域內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)

3、上都有定義(給出確定但可能不唯一的信號取值的信號。 模擬信號:時(shí)間和取值都連續(xù)的信號。 階梯信號:時(shí)間連續(xù)、取值離散的信號。離散時(shí)間信號:只在某些不連續(xù)的時(shí)間點(diǎn)或區(qū)間上有定義(給出信號取值的信號。抽樣信號:幅值具有無限精度的離散時(shí)間信號。 數(shù)字信號:幅值具有有限精度的離散時(shí)間信號。 圖1-2典型確定性信號: 指數(shù)信號:(t f t K e =(1-1其中,K 、為實(shí)數(shù)。 正弦信號:(sin f t A t =+ (1-2其中,A 為幅度,為角頻率,為初相位。 單邊衰減正弦信號:(00sin 0t t f t Ke t t <=,(1-3其中, >0。復(fù)指數(shù)信號:(st f t Ke

4、 =(1-4其中:(j ,s t =+則有:(cos j sin st t t f t Ke Ke t Ke t =+ 采樣函數(shù):(sin Sa tf t t t=(1-5 圖1-3采樣函數(shù)的性質(zhì):9 采樣函數(shù)(Sa t 為偶函數(shù),在t 的正、負(fù)兩方向振幅都逐漸衰減,當(dāng),2,t n =±±± 時(shí),信號值為零。 9(0Sa d 2t t =(1-69(Sa d t t = (1-79(Sa d t t =(1-8高斯函數(shù):(2t f t E e=(1-9 圖1-4高斯函數(shù)的性質(zhì):9 高斯函數(shù)比任何一個(gè)多項(xiàng)式的倒數(shù)衰減都快,(n ii i f t t=是一個(gè)高階無窮小

5、量。 9 高斯函數(shù)的傅里葉變換仍為高斯的。9 高斯函數(shù)為正實(shí)函數(shù)。光滑函數(shù)(1L :上任意階導(dǎo)數(shù)都存在的函數(shù)的集合。 奇異函數(shù):單位斜變函數(shù):(,00,0t t R t t =<(1-10單位階躍函數(shù):(1,00,0t u t t >=< (1-11或(1,00,012,t u t t t >=<= (1-12 圖1-5 圖1-6 符號函數(shù):(1,0sgn 1,0t t t >=<(1-13或(1,0sgn 1,00,0t t t t >=<=(1-14門函數(shù):(00,0G t u t u t t t =>(1-15 圖1-7 圖1-

6、8§1.3 沖激函數(shù)與廣義函數(shù)(信號與系統(tǒng)第二版(鄭君里1.4,2.9沖激函數(shù)的三種常規(guī)定義:沖激函數(shù)的狄拉克(Dirac 定義:(d 10,0t t t t += (1-16 圖1-9沖激函數(shù)的廣義極限定義:沖激函數(shù)是面積(強(qiáng)度為1,等效寬度趨于0的函數(shù)的極限。這樣的函數(shù)可以有多種,以下列出八種: a 矩形逼近(01lim 22t u t u t +(1-17 圖1-10b 金字塔逼近(01lim 1|t t u t u t +(1-18 圖1-11c 負(fù)指數(shù)逼近(|01lim ,02t t e >(1-19 圖1-12 d 采樣函數(shù)逼近(sin lim Sa lim k k

7、 kt kk t kt kt =(1-20 圖1-13e 復(fù)指數(shù)逼近(j j 11lim d d 22k t tk k t e e = (1-21f 高斯逼近(201lim t t e (1-22g(22sin lim k kt t kt (1-23h(22lim1n nt n t +(1-24檢驗(yàn)函數(shù)定義:9 定義(檢驗(yàn)函數(shù)的通俗定義,test function :區(qū)間(a , b 上的光滑函數(shù)(t 稱為檢驗(yàn)函數(shù),a b <<<。檢驗(yàn)函數(shù)的全體記為(D 。 9 沖激函數(shù)的檢驗(yàn)函數(shù)定義:對于(t (D ,若有:(d 0f t t f t t t = ,(1-25,則(f t

8、t (1-26沖激函數(shù)的性質(zhì):取樣(篩選:若(f t 有界,且在t = 0連續(xù),則有:(0f t t f t =(1-27尺度變換:(1t t =(1-28偶函數(shù):(t t =(1-29積分:(d tu t t t =(1-30定義(積分算子:1d p t (1-31為積分算子,則(1pu t t =(1-32(d d u t t t =(1-33定義(微分算子:d p d t(1-34為微分算子,則:(p t u t =(1-35(d 0t t t t t =,(1-36其中(t 有界,且在t = 0處連續(xù)。 篩選特性:(000d t t t t t t t t =,(1-37(100f t

9、 f t t t =(1-38其中,(f t 是t 的單調(diào)函數(shù),(0000f t f t =,。證明:(t (D ,考慮(d f x x f x x x =,令(00,d d y f x y f x y f x x =,上式=(1d f a f b y x y f x (d f a f b y y y (000x f x =(00x x f x x =/,(100f t f t t t = #證畢若光滑函數(shù)(f t 滿足:(12,|0t t t f t =,且(01,2,.i f t i =,則:(1i i if t f t t t =(1-39廣義函數(shù)(簡稱廣函:定義(supp suppor

10、t 承托/支撐:稱supp (|0n f x X R f x =(1-40即(f x 的非零點(diǎn),為(f x 的支撐。即把函數(shù)“支撐”起來的那些點(diǎn)集。其中,(|0n X R f x 為集合(|0n X R f x 的閉包。定義(檢驗(yàn)函數(shù)的嚴(yán)格定義:設(shè) R n 為開域,是上的實(shí)(復(fù)函數(shù),具有以下性質(zhì):1 是上的光滑函數(shù)(各階導(dǎo)數(shù)處處存在; 2 supp是上的有界閉集(稱為緊集。則稱是上的檢驗(yàn)函數(shù)。檢驗(yàn)函數(shù)的全體記為D (。 例:(1,1 0 ,1x x f x x <= 圖1-13(,+ ,supp 1,1f =有界閉,但在0x =處(f x 的左、右 導(dǎo)數(shù)不等,導(dǎo)數(shù)不存在,所以(f x 不

11、是一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)。例:(1exp ,11 0 ,1x x f x x <= supp 1,1f =是(,R + 中的有界閉集,(f x 對 (,x R + 無窮可導(dǎo),(f x D 。定義(廣函:給定函數(shù)列(1m m f x =,若對于(x D (,均有:(lim m m f x x f x x =,(1-41即:(lim (d m m f x x dx f x x x =(1-42則稱(f x 是(1m m f x =的弱極限,或稱為廣義極限。反過來, 稱(1m m f x =弱收斂于(f x ,而(f x 稱為D (上的廣義函數(shù)。 亦即:廣義函數(shù)是函數(shù)序列的某種極限。沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定

12、義:對于(x D (,若有:(lim d 0m m f x x f x x f x x t =,(1-43則:(lim m m f x f x x =(1-44為沖激函數(shù)。廣函的(廣義導(dǎo)數(shù):(x D (在區(qū)間,a b 之外恒為0。考慮D (上的廣函(f x ,則有:(1nn n f x x f x x =,(1-45即:(d 1d bbnn n aaf x x x f x x x =(1-46特別地,(110nnn n n x x x x =, (1-47沖激偶(x :已知(f x 連續(xù)可微,(0101nnkn n k k k n k x f x C f x =(1-48特別地,(00f x

13、x f x f x =+(1-49,(x 稱為沖激偶。 證明:對(x D (, (,n x f x x (d n x f x x x =(01|n nx f x x =(001n nn k k k n k x C f x x =(0100nnn k k knk Cf =(010,nn kn k n k nk C f x x += (0101nnkn n k k k n k x f x C f x = 圖1-14 圖1-15 沖激偶的性質(zhì):9 奇函數(shù):(t t =(1-509(d 0t t =(1-519(d d t t t=(1-529(d d00d d t t t t t t= (1-539

14、(11t t =(1-54§1.4 信號分解(信號與系統(tǒng)第二版(鄭君里1.5直流分量與交流分量:直流分量:信號的平均值稱為信號的直流分量。直流分量=(d f t (1d baf t t b a (1-55交流分量:從原信號中去掉直流分量即得到信號的交流分量。交流分量=(a f t (f t -直流(1-56交直流分解:(f t =(d f t +(a f t(1-57奇分量與偶分量:偶分量:(12e f t f t f t =+ (1-58奇分量:(12o f t f t f t = (1-59奇偶分解:(f t =(e f t +(o f t(1-60實(shí)部分量與虛部分量:實(shí)部:(*

15、12r f t f t f t =+ (1-61虛部:(*1j 2i f t f t f t = (1-62虛實(shí)分解:(f t =(r f t +(j i f t(1-63脈沖分解: 圖1-16 (max 0limi i i i i it i iu t t u t t t f t f t t t =(max 0lim i iiit i f t t t t =(d f t =(此式即(t 的篩選特性(f t t (1-64即:信號的脈沖分解的極限形式,是信號與沖激函數(shù)的卷積。正交分解:信號可以用完備正交函數(shù)集來表示;組成信號的各分量相互正交。正交分解與脈沖分解的極限形式可以通過Fourier 變

16、換統(tǒng)一。§1.5 系統(tǒng)分類(信號與系統(tǒng)第二版(鄭君里1.6簡單/復(fù)雜系統(tǒng):簡單系統(tǒng):利用傳統(tǒng)的簡化論與還原論方法(整體等于部分和可以處理的系統(tǒng)。比如,線性系統(tǒng)是簡單系統(tǒng)。復(fù)雜系統(tǒng):由數(shù)量適當(dāng)(不多也不少且具有局部非線性.作用的個(gè)體元素(agent組成,并能夠產(chǎn)生整體涌現(xiàn).行為的適應(yīng)性系統(tǒng)。涌現(xiàn)(emergence:個(gè)體之間相互作用使整體產(chǎn)生新特征的現(xiàn)象。連續(xù)時(shí)間/離散時(shí)間/混合系統(tǒng):連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號,且其內(nèi)部信號也未轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號,則稱此系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng):若系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號,則稱此系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)。混合系統(tǒng):離散時(shí)

17、間系統(tǒng)和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)混合運(yùn)用的系統(tǒng)。即時(shí)/動(dòng)態(tài)系統(tǒng):即時(shí)系統(tǒng)(無記憶系統(tǒng):如果系統(tǒng)的輸出信號只決定于同時(shí)刻的激勵(lì)信號,與它過去的狀態(tài)(歷史無關(guān),則稱此系統(tǒng)為即時(shí)系統(tǒng),亦稱為無記憶系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(有記憶系統(tǒng):如果系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號,而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān),則稱此系統(tǒng)為動(dòng)態(tài)系統(tǒng),亦稱為有記憶系統(tǒng)。常見的有記憶元件有:電容、電感、磁芯、寄存器等。集總參數(shù)/分布參數(shù)系統(tǒng): 集總參數(shù)系統(tǒng):由集總參數(shù)元件(在元件的空間區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)信號可看作常數(shù)組成的系統(tǒng),是集總參數(shù)系統(tǒng)。描述集總參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是以時(shí)間(而非空間為自變量的微分方程/差分方程。分布參數(shù)系統(tǒng):含有分布參數(shù)元件(在元件

18、的空間區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)信號不能看作常數(shù)的系統(tǒng),是分布參數(shù)系統(tǒng)。時(shí)變/時(shí)不變系統(tǒng): 時(shí)變系統(tǒng):如果系統(tǒng)的部分或全部參數(shù)隨時(shí)間變化,則稱為時(shí)變系統(tǒng)。 時(shí)不變系統(tǒng):如果系統(tǒng)的所有參數(shù)都不隨時(shí)間變化,則稱為時(shí)不變系統(tǒng)。線性/非線性系統(tǒng): 線性系統(tǒng):具有疊加性與均勻性(也稱齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 非線性系統(tǒng):不滿足疊加性或均勻性的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。確定/非確定系統(tǒng): 確定系統(tǒng):系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵(lì)信號和系統(tǒng)狀態(tài)按確定關(guān)系變化的系統(tǒng)。非確定系統(tǒng):系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)信號和系統(tǒng)狀態(tài)之間無確定關(guān)系的系統(tǒng)。如隨機(jī)系統(tǒng)、模糊系統(tǒng)、混沌系統(tǒng)。§1.6 線性系統(tǒng)(信號與系統(tǒng)第二版(鄭君里1.7系統(tǒng)的輸入輸出描述: 圖1-

19、17定義(零狀態(tài)系統(tǒng):初始儲能為零的系統(tǒng)稱為零狀態(tài)系統(tǒng),也稱為初始松弛的系統(tǒng)。定義(沖激響應(yīng)(h t :輸入為單位沖激函數(shù)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。(T h t t (1-65因果律:9 定義(因果系統(tǒng):(y t 只與(t ,的輸入(x t 有關(guān),而與(t ,的輸入無關(guān),則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 9 初始松弛,因果律(T (,y t x t =(h t h t u t =(1-669 定義(因果信號:亦稱右邊信號(f t f t u t =(1-679 定義(逆因果信號:亦稱左邊信號(f t f t u t =(1-689 定義(截取:(x t 的截取為(x t x t x t u t u t =(1-699 定義(因果算子T :對零狀態(tài)算子T ,若(T T (x t x t =,則稱T 為因果算子。即:算子映