1、2006年全國高中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準說明：1.評閱試卷時，請依據本評分標準 .選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設 9分和0分兩檔;其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時可參照本評分標準適當劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1.已知 ABC ,若對任意t R, BA tBCAC ,則 ABC 一定為A.銳角三角形B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.答案不確定【答】（C【解】令 ABC ，過A作ADBC 于 D。由 |bA t

2、BCaC| ,推出BA2 2tBA|BC t2.BCi2 -AC.2人 B，令t，代入上式,B2,即BA2 2 BA2 cos22 cos22,也即 BA sinBA： sin2o從而有O由此可得2xACB2.設 logx(2x1)logx2x的取值范圍為B.C.1 D. 0【答】（B【解】因為x2x20,x x 11一，x22由 logx(2x1)logx23.logx(2 xx)logx202x3解得x 1322x x x解得1 ,所以x的取值范圍為x2,且1.已知集合Ax5xx6x0 ,a,b N ,且 A2,3,42a,b的個數為A. 20 B.25C. 30D. 42【解】 5x a

3、a x ； 6x5b一。要使A B N62,3,4b26,即a 5520b 12。所以數對a,b共有C6c5a 2530。4.在直三棱柱ABCiABC中， BAC , AB AC AA 1.已知G與E分別為 AB1和 2CCi的中點，D與F分別為線段 AC和AB上的動點（不包括端點）.若GD EF ,則線段DF的長度的取值范圍為A.，1 B. -, 255C. 1, .2 D.【答】（A ）【解】建立直角坐標系，以A為坐標原點，AB為 X軸,AC為y 軸，AA 1為 z 軸，則 F(t1,0,0)(0gD1- 1t1 1),皿噌，叱Q1), D(0,t2,0)(0 t21(-,t2, 1)。因

4、為GD EF,所以t1 2t2 1,由此推出 2。所以EF 1t2 1。又以21(t1, 1, 小(tl, t2,0)，5.設f(x) x3 log2 x x2 1A.充分必要條件C.必要而不充分條件【解】顯然f (x) x3 log2 x5(t22)2 1 ,從而有55,則對任意實數a, b , ab 0是 f(a)B.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件 xx2 1為奇函數，且單調遞增。于1。f(b)若 a b 0,則 a b,有 f(a) f( b),即 f(a) f (b),從而有 f (a)f(b)0.b 0。反之，若 f(a) f (b) 0,則 f(a) f(b) f(b),

5、推出 a b,即 aa2006的個數為6.數碼a1,a2,a3,H|,a2006中有奇數個9的2007位十進制數2a1a2a31n 1200620061200620062006200620062006A. -(108) B. -(108) C. 108 D. 108【答】(B )22【解】出現奇數個9的十進制數個數有AC2006 9C30069"I C歌59。又由于200620062006k -2006 k2006k /,、卜-2006 k(9 1) C2006 9 以及(9 1)C2006 ( 1) 9,從而得k 0k 012005 C 320032005120062006、AC2

6、006 9C2006 9 川 C2006 9 -(108)。二、 填空題(本題滿分54分，每小題9分)10 -f(x)的值域是 0,-8【解】 f （x）.4.4sin x sin x cosx cos x,1 . c 1 . 2c1 -sin 2x -sin 2x 。令 t sin2x ,則f(x) g(t) 1maxg(t) g(212)1t 1t2 929 1 08 2N 2)2。即得08.若對一切R,復數z (a cos )【解】依題意，得 z 2因此 min g(t) g(1)1 t 1f(x)(2 asin）i的模不超過2,119 八 0,2M則實數a的取值范圍為/、222(a c

7、os )(2a sin )42a(cos2sin ) 3 5a2>/5asin() 3 5a2( arcsinf )(對任意實數成立)2、5 a 3 5a2.故a的取值范圍為'.5.5,55229.已知橢圓 y-1的左右焦點分別為Fi與F2,點P在直線l： xJ3y82、/30上.當164一一 .PFi ,廣.F1PF2取最大值時，比 1的值為V3 1.PF2【解】 由平面幾何知，要使F1PF2最大，則過Fi,F2, P三點的圓必定和直線l相切于P點。設直線 l 交 x軸于 A（ 8 2點,0）,則 APF1AF2P ,即 APF1 1 AF2P ,即PF1IAP-L（1）pf2

8、| |af2又由圓哥定理，Ap2 |AF1| |AF2（2）而 Fi（ 2 由,0） , F2（2 石,0） , A（ 8 2 出,0）,從而有 |AFj 8, |aF2 8 4后。AFi一 pfI代入(1), (2)得一4,PF2I VIAF2I88 4.310.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個半徑為1-cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底 24.47.設 f(x) sin x sin xcosx cos x ,則1.23(一)cm3.32A,B,C,D分別為四個球心在底面的射影。則ABCD是一個邊長為的正方形。所以注水高為21 。故應注水2(1£)4(3200611.萬程

9、(xi）（iIH2004、x )2006x2005的實數解的個數為 12006【解】（xi）（i2004、x )2006x200520062005 )(1III2005xIII12004)2006要使等號成立,必須2005x2003xHI2005x12001x12005x21100312006200613x ,xx12005F ,x x但是x 0時,不滿足原方程。所以x 1是原方程的全部解。因此原方程的實數解個數為12.袋內有8個白球和2個紅球，每次從中隨機取出一個球，然后放回 完所有紅球的概率為0.0434.【解】第4次恰好取完所有紅球的概率為1個白球，則第4次恰好取22918 2 9110

10、 1010 10 10 10 10281010 101一=0.0434.層兩球與容器底面相切.現往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水【解】設四個實心鐵球的球心為O1,O2,O3,O4 ,其中O1,O2為下層兩球的球心,.解答題（本題滿分60分，每小題20分）13.給定整數n 2,設 M0（x0,y0）是拋物線y2nx1與直線y x的一個交點.試證明對于任意正整數m ,必存在整數k2,使(x°m,y0m2）為拋物線y kx 1與直線yx的一個交點.【證明】因為y2 nx 1與yx的交點為x0n - n2 4 y0一一 1.顯然有x0 x0n o(5分)芳/ m右（x

11、6; , V。）為拋物線y2 kx1與直線yx的一個交點，則kmx01m x0（10分）m 記 kmx01,F,則 x0km 1、，1、kmd ) x0km 1 nkm km 1 ,(m2)(13.1)211 22由于ki n是整數，k2 xo (xo )2 n 2也是整數，所以根據數學歸納法，通XoXo1過(13.1)式可證明對于一切正整數m , km xom 是正整數.現在對于任意正整數m ,取Xo12m mk Xom ,使得 y kx 1與 y x的交點為(x° ,y° ). (2。分)Xo14.將2oo6表示成5個正整數x1，x2, x3, x4, x5之和.記Sx

12、ixj .問:1 i j 5(1) 當X1,X2, X3,X4, X5取何值時，S取到最大值;(2) 進一步地，對任意1 i,j 5有x Xj2 ,當X1,X2,X3,X4,X5取何值時，S取到最小值.說明理由.【解】(1 ) 首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值。 若x1 x2 x3 x4 x5 2oo6,且使Sxi Xj取到最大值，則必有1 i j 5XiXj1,(1 i, j 5) (5 分) (*)事實上，假設(*)不成立，不妨假設x1x22。則令x1x11 ,x2x21, xxi(i3,4,5)有 XX2X1X2, X1 X2X1X2X,X21 XIX2。將 S改寫成SX

13、iXjX1X2X1X2X3X4X5X3X4X3X5X4X51 i j 5同時有 Sx1x2(x1x2)x3x4Xsx3x4x3x5x4x5。于是有 S Sx1x2x1x2o。這與S在X1, X2,X3,X4,X5時取到最大值矛盾。所以必有Xi Xj1, (1 i, j 5).因此當(1o 分)(2)當 x1x2X3X4X2oo6 且XiXj2時，只有(I)4o2,4o2,4o2,4oo,4oo；(II)4o2,4o2,4o1, 4o1,4oo；(III)4o2,4o1 ,4o1, 4o1,4o1 ;X5 4o1取到最大值。x1 4o2, x2 x3 x4三種情形滿足要求。而后面兩種情形是在第一

14、組情形下作(15 分)XiXi 1, Xj Xj 1調整下得到的。根據上一小題的證明可以知道，每調整一次，和式Sxixj1 i j 5變大。所以在 x1 x2 x3 402, x4 x5 400情形取到最小值。(20 分)15.設f (x) x2 a .記 f 1 (x) f (x) , f n(x)f(fn1(x) , n 2,3,HI，R對所有正整數n,fn(0)證明：M(1)如果a2,則 f1(0) |a|(5分)(2)如果 241 ga 一時,41(0) a,fn(0)(fn1(0)a,n 2,3,|.則事實上，當n1時,事實上，當|a| a(3)當 a1時,fk(0)fn(0)f1(0)fk(0)0 時，fn(0)f1(0) |a,k 12fk 1(0) aa | a |.從而有 f k(0)1 ,、 一時，記4anfn(0),對于任意n 1, an 1an所以，an 1 a an_ n 1 _f (0) 2