1、橢圓中的常見最值問題1、橢圓上的點P 到二焦點的距離之積 | PF1 | PF2 |取得最大值的點是橢圓短軸的端點，取得最小值的點在橢圓長軸的端點。例 1、橢圓 x 2y 21上一點到它的二焦點的距離之積為m ，則 m 取得的259最大值時， P 點的坐標是。 P（0，3）或（ 0，-3）例 2、已知橢圓方程x2y 21222）p 為橢圓上一點， F1, F2a2b2（ ab0, abc是橢圓的二焦點，求 | PF1|PF2 |的取值范圍。分析： | PF1 | PF2| ( aex)( a ex)a2e2 x2 ， (| x | a)當 xa 時， | PF1 | PF2|min = a 2

2、c 2b2 ，當 x0時， | PF1| PF2 |max a 2即 b 2| PF1 | PF2 | a 22、橢圓上到的橢圓內一個定點的距離與它到焦點距離之差取得最大值或最小值的點是這個定點與焦點連線延長線或反向延長線與橢圓的交點,最大值、最小值分別是定點到該焦點的距離和其相反數。例 3、已知 A(1,1) ， F1 、 F2是橢圓 x 2y 21 的左右焦點， P 為橢圓上一動95點，則|PA| PF2 |的最大值是，此時 P 點坐標為。| PA | | PF2 |的最小值是，此時 P 點坐標為。3、橢圓上到橢圓內定點的距離與它到橢圓的一個焦點的距離之和取得最小值或最大值的點是另一焦點與

3、定點連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點。例 4、已知 A(1,1) ， F1是橢圓 x2y 21的左焦點， P 為橢圓上一動點，則95| PA | | PF1 |的最小值是，此時 P 點坐標為。| PA | | PF1 |的最大值是，此時 P 點坐標為。分析： |PA| |PF1 | |PF2 |PF1| AF2 |，當 P 是 AF2的延長線與橢圓的交點時取等號。 | PA | | PF1 | | PF2| |PF1| | AF2 | ，當 P 是 AF2 的反向延長線與橢圓的交點時取等號。4、橢圓上的點 P 到定點 A 的距離與它到橢圓的一個焦點F的距離的 1倍e的和|PA|1 | PF

4、 | 的最小值（ e為橢圓的離心率），可通過 | PF |e 轉化為 | PA | ded（ d 為 P 到相應準線的距離）最小值，取得最小值的點是A 到準線的垂線與橢圓的交點。例 5、已知定點 A( 2,3)，點 F 為橢圓 x2y21的右焦點，點 M 在該橢圓1612上移動，求 | AM | 2 | MF |的最小值，并求此時M 點的坐標。例 6、已知點橢圓x2y 21及點，為橢圓上一個動點，259A(2,2), B( 3,0)P( x, y)則3|PA|5 | PB |的最小值是。5、以過橢圓中心的弦的端點及橢圓的某一焦點構成面積最大的三角形是短軸的端點與該焦點構成的三角形。例 7、過橢

5、圓 x222y21（ ab0, a 2b 2c2 ）的中心的直線交橢圓于 A, Bab兩點，右焦點 F2 (c,0) ，則 ABF2 的最大面積是。例 8、已知 F 是橢圓 9x225y2225 的一個焦點， PQ 是過原點的一條弦，求 PQF 面積的最大值。6、橢圓上的點與橢圓二焦點為頂點的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個端點與橢圓二焦點為頂點的三角形。9、P 為橢圓 x2y20, a2b2c 2 ）一點，左、右焦點為例221（ a babF1 ( c,0) F2 (c,0) ，則 PF1 F2 的最大面積是。7、橢圓上的點與橢圓長軸的端點為頂點的面積最大的三角形是短軸的一個端點和長軸兩個

6、端點為頂點的三角形。例 10、已知 A 是橢圓 9x2 25 y2 225 的長軸一個端點， PQ 是過原點的一條弦，求 PQA 面積的最大值。8、橢圓上的點到坐標軸上的定點的距離最大值、最小值問題可利用兩點間的距離公式及橢圓方程聯立化為求函數最值問題。例 11、設 O 為坐標原點， F 是橢圓 x2y 21的右焦點， M 是 OF 的中點，259P 為橢圓上任意一點，求 | MP |的最大值和最小值。例 12、橢圓中心在原點，長軸在 x 軸上， e3 ，已知點 P( 0, 3 )到這個橢22圓上的最遠距離是7 ，求橢圓方程。9、橢圓的焦點到橢圓上的距離最近和最遠點是橢圓長軸的兩個端點。r1

7、aex (| x |a) 為 x 的增函數， r2 aex (| x | a) 為 x 的減函數， xa時， r 2 , r2分別取得最大值 a c 和最小值 ac 。例 13、橢圓 x2y21上的點到右焦點的最大值，最小值。25910、橢圓上的點到定直線的距離最近及最遠點分別是與定直線平行的橢圓的兩條切線的切點。例 14、已知橢圓 x 28y 28 ，在橢圓上求一點P，是 P 到直線 l : xy40的距離最小，并求最小值。11、橢圓上的點到與它的兩個焦點連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。范圍大于等于00 ，小于它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。分析： | PF1

8、 | PF2|2a| PF1 | PF2 |a2| PF1 |2| PF2|24c 24a24c 22| PF1| PF2 |2a22c22a 22c2cos|2 | PF1 | PF2| PF1| PF2|122 | PF1 | PF2a等號成立的條件： | PF1 |PF2 |a ，即 P 點為短軸的端點。例 15、已知橢圓 C： x222y21 (ab 0) ，兩個焦點為 F2 , F2，如果 C上ab有一點 Q，使F1QF21200 ，求橢圓的離心率的取值范圍。例 16、如圖所示，從橢圓 x2y2b 0) 上一點 M 向 x 軸作垂線，恰221 ( aab好通過橢圓的左焦點 F1 ，且

9、它的長軸的端點A 短軸的端點 B 的連線 AB 平行于 OM。（1）求橢圓的離心率（2）設Q 為橢圓上任意一點，F2 為橢圓的右焦點，求F1QF2 的范圍。（ 3）當QF2AB 時，延長QF2與橢圓交于另一點P ，若F1 PQ 的面積為20 3 ，求此橢圓方程。12、橢圓上的點與它長軸的兩個端點的連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和長軸的二端點的連線的夾角。范圍為大于，小于它的短軸的一個2端點和長軸的二端點的連線的夾角。例 17、已知橢圓 C： x2y21 ( a b 0) ，長軸的兩個端點為A、B，如22ab果 C 上有一點 Q，使 AQB1200 ，求橢圓的離心率的取值范圍。13、點 P

10、在橢圓上， u mx ny （ m, n 為常數）的最大值或最小值分別是直線 mx ny u 0 與橢圓相切時 u 的值。例 18、已知點 P( x, y) 在 x 2y 21上的點，則 uxy 的取值范圍是。1442514、點 P 在橢圓上， uym （ m, n 為常數）的最大值或最小值分別是xn直線 yu(x n) m與橢圓相切時的斜率。例19、點 P( x, y) 在橢圓 4( x2)2y 24 上，則 y 的最大值，最小x值。例20、點 P( x, y) 在橢圓 x 2y 21 上，則 tx6 的最大值，最小259y4值。15 、 yx0a cosx 的 最大 值或最小值 是直線 y

11、 k(x x0 )y0 與橢 圓y0b sin xx a cos 相切時切線的斜率。y b sin例 21、求 y3sin x 的最大值、最小值42 cos x16、橢圓的平行弦、過定點弦等弦長最值問題及有關弦長的最值問題：例 22、求直線 y kx 1被橢圓 x 2y 21 所截得弦長的最大值。4例 23、P, Q, M , N 四點均在橢圓上， 橢圓方程為： y 2x 21，F 為橢圓在 y2軸正半軸的焦點，已知 PF , FQ 共線， MF , FN 共線，且 PF1 PF20，求四邊形 PMQN 面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關最值問題：例 24、已知橢圓方程為 x 2y 2

12、1，求過點 P（0，2）的直線交橢圓于不2同兩點 A、B， PAPB ，求的取值范圍。（ 1，3）318、其它有關最值例 24、x2y21( a b 0) 上一動點，若 A 為長軸的一個端點，P為橢圓： a2b 2B 為短軸的一個端點，當四邊形OAPB 面積最大時，求 P 點的坐標。例 25、已知橢圓 x2y21 和直線 l : x y 9 0 ，在 l 上取一點 M ，經過點123M 且以橢圓的焦點F1 , F2 為焦點作橢圓，當M 在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。x2y21 ( a0) 的兩個頂點為 A(0, b), B( a,0) ，右焦點為 F ，例 26、設橢圓2b2ba

13、且 F 到直線 AB 的距離等于它到原點的距離，求離心率的取值范圍。例 27、已知橢圓 C： x2y21( a b0) ，F1, F2 為其左右焦點， P 為橢22ab圓 C 上一點， PF2x 軸，且PFF12的正切值為 34（ 1）求橢圓 C 的離心率。（ 2）過焦點 F2 的直線 l 與橢圓 C 交于點 M、 N ，若 F1 MN面積的最大值為 3，求橢圓 C 的方程。解：xc代入x 2y 21(a b0)得：yb 2a 2b 2a又 PF1F2 的正切值為3 ，所以 P( c , b 2) ，即 b 23a 2c 234a2ac42ac4注意到 0c1 ，所以 c1aa2（2）設 M( x 1 , y 1 ), N( x 2 , y 2 ) ，過焦點 F2的直線 l的方程為 xmyc ，代入橢圓方程得：( my c)2y 21( my c )2y 21( 324) 26mcy920a2b2423 2mycccy 1 y 2692mc , y1y 2c43m243m2SFMN1 2c(| y1 | y2 |)c | y1 y2 | c (y1y2 )24y1y212c (6mc)2336c246c24m2412c2m211632