1、圖形的相似圖形的相似【知識樹】【知識樹】比例線段比例線段比例的基本性質比例的基本性質平行線分線段成比例平行線分線段成比例黃金分割黃金分割考查重點考查重點 比例的基本性質及定理：比例的基本性質及定理： 平行線分線段成比例定理 相似三角形的判定和性質 圖形的位似 相似三角形的判定和性質應用考題分析考題分析 從2008到2015這幾年中只有2013年是一道簡單的解答題，其余年年都是在12分以上的大型題中出現一小份命題方式：1、利用比例的基本性質、比例線段進行計算和證明 2、判定三角形相似，利用三角形相似，證明線段成比例、計算線段的長度、計算圖形的面積，能解決實際問題 3、以填空、選擇題為主，附帶計算

2、復習策略復習策略第四比例項第四比例項 比例中項比例中項 黃金分割黃金分割 ABBC ABBC 0.618 0.618 考點一、比例線段考點一、比例線段 （5分）分）_ 圖1_ B_ C_ A注意注意（1 1）求兩條線段的比時，對兩條線段要采用同一長度）求兩條線段的比時，對兩條線段要采用同一長度單位單位. .如果單位不同，那么必須先化成同一單位，然后如果單位不同，那么必須先化成同一單位，然后再比，且兩條線段的比是一個實數，沒有單位再比，且兩條線段的比是一個實數，沒有單位. .（2 2）四條線段成比例與它們的排列順序有關，線段）四條線段成比例與它們的排列順序有關，線段a a，b b，c c，d d

3、成比例表示成成比例表示成 ，而線段，而線段b b，a a，c c，d d成比成比例則表示成例則表示成 . . dcbadcab 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。 推論： （1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。 逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。 （2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。考點二、平行線分線段成比例定理 （5分）相似三角形相似三角形 相似比相似比 考點三、相似三角形考點三、相似三角形 （512分）AAABB

4、BCCCDDDEEE二二.ABCABCBCABCA3.三三.相似三角形（多邊形）的性質：相似三角形（多邊形）的性質： 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。 性質：每一組對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。 由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小。四、圖形位似的定義及性質四、圖形位似的定義及性質五、相似三角形的應用與綜合五、相似三角形的應用與綜合“平行線平行線”型型“相交線型相交線型” （1=2）“雙垂直雙垂直”型型

5、“旋轉旋轉”型型“一線三等角一線三等角”型型相似中常用基本圖形：相似中常用基本圖形：A字型字型X字型字型三垂直型三垂直型雙垂直型雙垂直型公共邊角型公共邊角型常見題型方法點撥方法指導方法指導方法指導方法指導方法指導方法指導方法指導方法指導 典型例題解析典型例題解析【例【例1】如果】如果 2x3y4z=0，那么，那么 zyxzyx的值是的值是( )A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】方法【解析】方法1：設：設x=2k，y=3k，z=4k，代入求值，這種，代入求值，這種方法比較適用，故選方法比較適用，故選C. 方法方法2：利用比例的性質，：利用比例的性質， 2 3 4992 3 41xyzxy

6、z C 2、把一個矩形剪去一個正方形，若剩下的矩形與原矩形相似，則原矩形的長邊與短邊之比為 ( ) 25123215 A、 B、 C、 D、以上都不對 3、下列說法中不一定正確的是 （ ） A、相似的圖形大小可以相等 B、所有等邊三角形均相似 C、所有正方形均相似 D、所有菱形均相似 典型例題解析典型例題解析 4、如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與ABC相似的是（ ） 典型例題解析典型例題解析下列每組圖形中各有幾對相似的三角形？請指出來下列每組圖形中各有幾對相似的三角形？請指出來. .(1).(1).已知如圖已知如圖: :四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，則相

7、似三是平行四邊形，則相似三角形有角形有_對對. .即即: :(2).(2).已知如圖已知如圖BDAC, CEAB,BDAC, CEAB,則相似三角形有則相似三角形有_對對. .即即: :ABCDEO3ABE FCE, FCE FDA ,ABE FDA ABEDCF6BOE BAD, BOE COD,BOE CAE, COD CAE,COD BAD, BAD CAE.注意：注意：在復雜的圖形中找相似三角在復雜的圖形中找相似三角形，一般方法是形，一般方法是“分解分解” ” 為基本圖為基本圖形。形。(A(A型型,X,X型，重疊型型，重疊型) ) 典型例題解析典型例題解析【例【例2】ABDCE圖4益陽

8、市益陽市2013年普通初中畢業學業考試年普通初中畢業學業考試 典型例題解析典型例題解析【例【例3】 ( (20152015連云港連云港) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，BACBAC6060，ABCABC9090，直線，直線l l1 1l l2 2l l3 3，l l1 1與與l l2 2之間距離是之間距離是1 1，l l2 2與與l l3 3之間距離是之間距離是2 2且且l l1 1，l l2 2，l l3 3分別經過點分別經過點A A，B B，C C，則邊，則邊ACAC的長為的長為_ DEBCF :ABD3tan3ADBDABACBBEECBC233AD 3EC 7BC 在在RTBC

9、E中中在在RTABC中中0221sin603BCAC 典型例題解析典型例題解析 例4、有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知:BC8cm，高AD12cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB邊上，設HE的長為ycm、EF的長為xcm （1）寫出y與x的函數關系式； （2）當x取多少時，EFGH是正方形； （3）當矩形EFGH的長是寬的2倍時,求矩形EFGH的面積。 典型例題解析典型例題解析 例5、ABC中，C=900，BC=8厘米，ACBC=34，點P從點B出發，沿BC向點C以2厘米/秒的速度移動，點Q從點C出發，沿CA向點A以1厘米/秒的速度移動。如果P、Q

10、分別從B、C同時出發： （1）經過多少秒時CPQCBA？QCABP （2）經過多少秒時以C、P、Q為頂點的三角形恰與ABC相似？QCABP 典型例題解析典型例題解析例例1. 1. 已知已知ABCABC中中, ,點點D D在在ABAB上上. .(1).(1).補充什么條件能使補充什么條件能使ACDACDABC;ABC;點撥點撥:(1)條件探索型條件探索型解題思路是：從給定結論解題思路是：從給定結論出發，通過逆向思考尋求出發，通過逆向思考尋求使結論成立的條件使結論成立的條件(2).(2).如果如果ACAC2 2=AD=ADABAB，你能得出什么，你能得出什么結論？說明理由；結論？說明理由；(3).

11、(3).已知已知ABCABC中，中，AC=9, AB=18.AC=9, AB=18.在在ABAB上是否存在一點上是否存在一點D,D,使使ACDACDABC,ABC,如果存在，請證明你的結論，如果存在，請證明你的結論，并求出并求出ADAD的長的長; ;如果不存在，請說明理由如果不存在，請說明理由. .解解:(1)補充條件補充條件:1=B(或或2= ACB 或或AC:AB=AD:AC)ABCD12新型例題解析新型例題解析ABCD12解解:(2).如果如果AC2=ADAB，得出結論，得出結論:1=B(或或2= ACB理由理由:AC2=ADABACADABACA=AACDABC1=B(或或2= ACB

12、，點撥點撥:(2)結論探索型結論探索型解題思路是：從所給條件出解題思路是：從所給條件出發，通過分析、比較、猜想、發，通過分析、比較、猜想、尋求多種解法和結論，再進尋求多種解法和結論，再進行證明行證明. . ACADCDABACBC）ACADCDABACBC）ABC(3).已知已知ABC中，中，AC=9, AB=18.在在AB上是否存在一點上是否存在一點D,并求出并求出AD的長的長;使使ACDABC,如果存在，請證明你的結論，如果存在，請證明你的結論，如果不存在，請說明理由如果不存在，請說明理由.證明證明:AB=18,AC=9 ABAC, ACBB使使ACD=B可在可在ACB內部作一條射線內部作

13、一條射線CD與與AB相交于點相交于點D, A=A, ACDABC,解：結論解：結論:在在AB上存在一點上存在一點D, 使使ACDABCADACACAB2294.518ACADAB即 點撥點撥:(3)存在性探索型存在性探索型解解 題思路是：題思路是： 先假定所需探先假定所需探索的對象存在或結論成立，索的對象存在或結論成立，以此為依據進行計算或推理，以此為依據進行計算或推理，若由此推出矛盾，則假定是若由此推出矛盾，則假定是錯誤的，從而給出否定的結錯誤的，從而給出否定的結論，否則給出肯定的證明論，否則給出肯定的證明918D新型例題解析新型例題解析【例【例2 2】如圖所示，要判定】如圖所示，要判定AB

14、CABC的面積是的面積是PBCPBC面積的幾面積的幾倍，只用一把僅有刻度的直尺，需要度量的次數最少是倍，只用一把僅有刻度的直尺，需要度量的次數最少是 ( )( )A.3A.3次次 B.2B.2次次C.1C.1次次 D.3D.3次以上次以上 C【解析】這道題乍一看，認為同底，只要知道高之比，就知道面【解析】這道題乍一看，認為同底，只要知道高之比，就知道面積之比，故選積之比，故選B B，其實不然，只要過，其實不然，只要過APAP量一次，連接量一次，連接APAP并延長交并延長交BCBC于于D D，DPDP與與ADAD的比就等于的比就等于PBCPBC與與ABCABC的面積比，理由是：分別過的面積比，理

15、由是：分別過A A、P P作作BCBC的垂線段，根據兩三角形相似的性質知：的垂線段，根據兩三角形相似的性質知：DP/ADDP/AD= =PE/AFPE/AF. .所以正確的答案是所以正確的答案是C C. . 在第一個圖中取等邊三角形各邊的中點，連成一個等邊三角形，將其挖去，得到第二個圖形；對第二個圖形中的每個陰影三角形仿照先前的做法得到第三個圖形，如此繼續如果第一個等邊三角形的面積為，則第個圖形中所有陰影三角形面積的和是多少？新型例題解析新型例題解析 第一個 第二個 第三個類型一：相似三角形與直角三角形相結合類型一：相似三角形與直角三角形相結合例例1（2013 泰安）泰安）如圖，四邊形如圖，四

16、邊形ABCD中，中，AC平分平分DAB，ADC=ACB=90，E為為AB的中點，的中點，（1）求證：）求證：AC=ABAD；（2）求證：）求證：CEAD；（3）若）若AD=4，AB=6，求，求 的值的值ACAF常見相結合題型常見相結合題型類型二：相似三角形與平行四邊形相結合類型二：相似三角形與平行四邊形相結合例例2（2013自貢）自貢）如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，AB=6，AD=9，BAD的平分線交的平分線交BC于于E，交，交DC的延長線于的延長線于F，BGAE于于G，BG= ，則，則EFC的周長為的周長為 .4 28 21（12分）（2014益陽）如圖，在直角梯形AB

17、CD中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP=x （1）求AD的長； （2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由； （3）設ADP與PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值相似形綜合題相似形綜合題點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的性質與判定、二次函數的最值、勾股定理，關鍵是根據題意畫出圖形構造相似三角形，注意分類討論（1）過點C作CEAB于E，根據CE=BCsinB求出CE，再根據AD=CE即可求出AD；

18、 （2）若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則PCB必有一個角是直角分兩種情況討論：當PCB=90時，求出AP，再根據在RtADP中DPA=60，得出DPA=B，從而得到ADPCPB，當CPB=90時，求出AP=3，得出PCB與ADP不相似 ,ADAP ADAPPCPB PBPC點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的性質與判定、二次函數的最值、勾股定理，關鍵是根據題意畫出圖形構造相似三角形，注意分類討論 圖9-2圖9-1圖9-3益陽市益陽市2015年普通初中畢業學業考試年普通初中畢業學業考試預算與決策預算與決策(應用相似性應用相似性質解決問題質解決問題

19、)某生活小區的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上種植花木（如圖1）（1）他們在AMD和BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當AMD地帶種滿花后（圖1中陰影部分），共花了160元，請計算種滿BMC地帶所需的費用；（2）若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應選擇哪種花木，剛好用完所籌集的資金；（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請你設計一種花壇圖案，即在梯形內找到一點P，使得APBDPC且SAPD=SBPC，并說出你的理由。 會實地測量和計算會實地測量和計算拓展延伸，促進發展拓展延伸，促進發展 解：（1）四邊形ABCD是梯形，ADBC，MAD=MCB，MDA=MBC，AMDCMB， =（ ）2= 種植AMD地帶花費160元，單價為8元/m2，S三角形AMD=20（m2），S三角形CMB=80m2，BMC地帶所需的費用為880=640（元）； 主要考查你對 相似三角形的應用