1、一、連續型隨機變量的概念一、連續型隨機變量的概念二、常見連續型隨機變量的分布二、常見連續型隨機變量的分布三、小結三、小結第四節連續型隨機變量及其概率第四節連續型隨機變量及其概率密度密度定義定義 設設 X X 是一隨機變量，若存在一個非負是一隨機變量，若存在一個非負 可積函數可積函數 f ( x ), f ( x ), 使得使得xttfxXPxFxd)()(其中其中F ( x )F ( x )是它的分布函數是它的分布函數則稱則稱 X X 是連續型隨機變量，是連續型隨機變量，f ( x )f ( x )是它的是它的概率密度函數，簡稱為密度函數或概率密度概率密度函數，簡稱為密度函數或概率密度一、連續

2、型隨機變量及其概率密度一、連續型隨機變量及其概率密度-10-550.020.040.060.08x xf ( x)f ( x)x xF ( x )F ( x )分布函數分布函數F ( x )F ( x )與密度函數與密度函數 f ( x ) f ( x )的幾何意義的幾何意義)(xfy 概率密度函數概率密度函數f ( x )f ( x )的性質的性質1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續性隨機變量的密度函數，或求其中的未知續性隨機變量的密度函數，或求其中的未知參數參數3 3、在在 f ( x ) f ( x

3、) 的連續點處，的連續點處，)()(xFxff ( x ) f ( x ) 描述了描述了X X 在在 x x 附近單位長度的區間內附近單位長度的區間內取值的概率取值的概率4 4 對于任意可能值對于任意可能值 a , a ,連續型隨機變連續型隨機變量取量取 a a 的概率等于零的概率等于零. .即即. 0 aXP)(aX )(aXxa0 x事實上事實上)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP由此可得：由此可得：)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf ( x)f ( x)-10-550

4、.020.040.060.08a a連續型隨機變量取值落在某一連續型隨機變量取值落在某一區間的概率與區間的開閉無關區間的概率與區間的開閉無關)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a. 0 aXP若若X是連續型隨機變量，是連續型隨機變量， X=a 是不是不可能事件，則有可能事件，則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP假設假設 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, （3 3）連連續續型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .1)2(;) 1 (., 0, 20),2

5、4()(2XPcxxxcxfX求確定常數其它具有概率密度隨機變量設解解, 1d)()1( xxf由由例例1 1, 1d)24(202xxxc得.83c解之得的概率密度為知由Xc83)2(., 020),24(83)(2其它xxxxf 2102483122121dxdxxxdxxfXP例例 設連續性隨機變量設連續性隨機變量X的分布函數為的分布函數為 解：由F(x)的連續性，有xfAxxAxxxF及概率密度求常數1,110,0,02 1110121limAFAxFx 其他, 010 ,2xxxFxf二、常見連續型隨機變量的分布二、常見連續型隨機變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaX

6、bxaabxfX記為記為區間上服從均勻分布區間上服從均勻分布在區間在區間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數圖形函數圖形均勻分布概率密度函數演示均勻分布概率密度函數演示均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機上服從均勻分布的隨機在區間在區間.),(性性是是相相同同的的內內的的可可能能中中任任意意等等長長度度的的子子區區間間落落在在區區間間baxo)(xf a bab 1 lablp l即即 X X 的取值在的取值在(a,b)(a,b)內任何長為內任何長為 d

7、 c d c 的小區間的小區間的概率與小區間的位置無關的概率與小區間的位置無關, , 只與其長度成正只與其長度成正比比. . 這正是幾何概型的情形這正是幾何概型的情形. . ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數分布函數xo)(xF a b 1均勻分布分布函數圖形演示均勻分布分布函數圖形演示 例例2 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班分鐘來一班車，即車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達此等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間站，如果乘客到達此站時間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻隨機變量均勻隨

8、機變量, 試求他候車時間少于試求他候車時間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為起點為起點0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf 為使候車時間為使候車時間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達車站之間到達車站.所求概率為：所求概率為：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候車時間少于即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班

9、車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，等時刻有汽車到達汽車站，例例3 3設隨機變量設隨機變量X X服從服從(1,6)(1,6)上的均勻分布，求上的均勻分布，求一元兩次方程一元兩次方程t2+Xt+1=0t2+Xt+1=0有實根的概率有實根的概率. . 解解: :.01,0422有有實實根根時時因因為為當當 XttX故所求概率為故所求概率為: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函數為的密度函數為 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP2 2 指數分布指

10、數分布假設假設 X X 的密度函數為的密度函數為其他, 00,)(xexfx則稱則稱 X X 服從服從 參數為參數為的指數分布的指數分布)(EX記作記作X X 的分布函數為的分布函數為0,10, 0)(xexxFx 0 0 為常數為常數對于任意的對于任意的 0 a b, 0 a 0， 那么 稱 X 服從參數為 和 的正態分布. 2 2 其中:正態概率密度函數的幾何特征正態概率密度函數的幾何特征;)1(對對稱稱曲曲線線關關于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時時當當 ; 0)(,)3(xfx時時當當;)4(處有拐點處有拐點曲線在曲線在x 即，漸近線為x軸參數稱為位置軸作平移變換著

11、只是沿圖形的形狀不變的大小時改變當固定xxf;,)(,)5(稱為形狀參數圖形越矮越胖越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變不變圖形的對稱軸的大小時改變當固定xf.,)(,)6(正態分布密度函數圖形演示正態分布密度函數圖形演示正態分布由它的兩個參數和唯一確定， 當和不同時，對應的是不同的正態分布。標準正態分布下面介紹一種最重要的正態分布標準正態分布其密度函數和分布函數常用 和 表示：( )x ( )x 221( ),2xxex 221( )2txxedt 01, 的正態分布為標準正態分布.稱其圖形為:( ) x ( ) x 密度函數( )x ( )x 分布函數教材P439附表2為標準正態分布函數數值表

12、，借助于附表2 ，可以查表計算一般正態分布的概率問題。關于正態分布表()1( )xx 221( )2txxedt xx表中給出的是 時, (x)的值.0 x 當 時有：0 x例題例題 設連續性隨機變量設連續性隨機變量XN(0，1),求求1P1X2; 2)P-1X2 1P1X2=2）-1） =0.97725-0.8413=0.13595 2)P-1X80=1-F(80)=1-(80-72/12)=1-0.7486=0.25142)P60X84=(84-72/12)-(60-72/12)=0.68263)PX60=(60-72/12)=(-1)=1-(1)=0.1587已知自動車床生產的零件的長度

13、X(毫米)服從正態分布)75. 0 ,50(2N,如果規定零件的長度在5 . 150 毫米之間為合格品.求:生產零件是合格品的概率解:)75. 0 ,50(2NX例.)5 . 150( XP)5 .515 .48( XP51.550()0.75 所求的概率為：48.550()0.75 )2()2( )2(1()2( 1)2(2 19772. 02 9544. 0 查附表2例.),5 ,27(2NX從旅館到飛機場沿 A 路走(路程斷，交通擁擠)所需時間(分鐘)沿 B 路走路程)2 ,30(2NY長，阻塞少)所需時間(分鐘)若現在只有 30分鐘.問：分別選擇哪一條路為好? 解:依題意，選擇所需時間

14、超過規定時間的概率較小的路線為好.當只有30分鐘可用時:A 路: )30(XP)30(1 XP30271()5 1(0.6)7257. 01 2743. 0 B 路:)30( YP)30(1 YP30301()2 5 . 01 5 . 0 結論：此時應選擇A路液體的溫度X)5 . 0 ,(2dNX(以計)是一個隨機變量，且將一溫度調節器放置在貯存著某種液體的容器內，調節器調整在0d C例.(1) 假設90 d, 求 X 小于89的概率.(2) 若要求保持液體的溫度至少為80的概率 不低于0.99，問 d 至少為多少?解:(1)(89)P X )5 . 090895 . 090( XP)5 . 0805 . 0(1dd