1、二次函數知識點總結一. 二次函數概念：1二次函數的概念：一般地，形如y ax2bxc （ a ，b ，c 是常數， a 0 ）的函數，叫做二次函數 .這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a 0 ，而 b ，c 可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數 y ax2bx c 的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量x 的二次式， x 的最高次數是 2 a ，b ，c 是常數， a 是二次項系數， b 是一次項系數， c 是常數項二 . 二次函數的圖像和性質表達式a 值圖像開口對稱軸頂點 坐最值(a 0)方向增減性標當 x 0 時，y 隨 x當 x=0 時， y的增大而增大a

2、0y 軸向上（ 0，0）有最小值，即當 x 0 時，y 隨 xy最小值 =0的增大而減小 y=ax2當 x 0 時，y 隨 x當 x=0 時， y的增大而減小a 0向下y 軸有最大值，即（ 0，0）當 x 0 時，y 隨 xy最大值 =0的增大而增大當 x 0 時，y 隨 x當 x=0 時， y的增大而增大a 0向上y 軸有最小值，即（ 0，k ）當 x 0 時，y 隨 xy最小值 =k的增大而減小 y=ax2+k當 x 0 時，y 隨 x當 x=0 時， y的增大而減小a 0y 軸向下（ 0，k ）有最大值，即當 x 0 時，y 隨 xy最大值 =k的增大而增大當 x h 時，y 隨 x當

3、x=h 時， y的增大而增大a 0向上直線 x=h有最小值，即（ h，0）當 x 0 時，y 隨 xy最小值 =0的增大而減小y=a(x-h)2當 x h 時，y 隨 x當 x=h 時， y的增大而減小a 0向下直線 x=h有最大值，即（ h，0）當 x 0 時，y 隨 xy最大值 =0的增大而增大當 x h 時，y 隨 x當 x=h 時， y的增大而增大a 0直線 x=h向上（ h，k ）有最小值，即當 x h 時，y 隨 xy最小值 =k的增大而減小2+y=a(x-h)當 x h 時，y 隨 xk當 x=h 時， y的增大而減小a 0向下直線 x=h有最大值，即（ h，k ）當 x h 時

4、，y 隨 x的增大而增大y最大值 =ka 0y=ax2+bx+c可化為：y=a(x+ 2ab )向上直線x=- 2ab當 x -b時， y當 x=- 2ba 時，（ -b，2a2 a隨 x 的增大而增大y 有最小值，4acb2）當 x -b時， yy最小值 =2a4a4ac b 2隨 x 的增大而減小4a2+a 0向下直線x=- 2ab當 x -b時， y（ -b2a，隨 x 的增大而減小2 ab4acb2）當 x -時， y4a2a隨 x 的增大而增大當 x=- 2ab 時，y 有最大值，即y 最大值 =4 ac b24a三 . 二次函數圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉化成頂點式

5、2h ，k ；y a x hk ，確定其頂點坐標 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h ，k 處，具體平移方法如下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個單位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 (h>0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0)】平移 |k|個單位平移 |k|個單位平移 |k|個單位向上 (k>0)【或下 ( k<0) 】平移 |k|個單位y=a (x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=a (x-

6、h) 2+k2. 平移規律在原有函數的基礎上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“ 左加右減（自變量），上加下減（常數項） ” 溫馨提示二次函數圖像間的平移可看作是頂點間的平移，因此只要掌握了頂點是如何平移的，就掌握了二次函數圖像間的平移 .四. 二次函數 yax2k 與 yax2bxc 的比較h從解析式上看，yax h2ax2bx c 是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得k 與 yb24 acb2b ，k4ac b 2到前者，即 y a x，其中 h2a4a2 a4a五二次函數解析式的三種表示方法名稱解析式使用范圍一般式yax2bxc( a0)已知任意三個點頂點式y

7、a( xh) 2k( a0)已知頂點（ h， k）及另一點交點式ya( xx1 )( xx2 )( a0)已知與 x 軸的兩個交點及另一個點溫馨提示任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 b2 4ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化，將頂點式、交點式去括號、合并同類項就可轉化為一般式，把一般式配方、因式分解就可轉化為頂點式、交點式.六二次函數的圖象與各項系數之間的關系1. 二次項系數a 【a 決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線開口的大小】 當 a0 時，拋物線開口向上，a

8、 的值越大，開口越小，a 的值越小，開口越大； 當 a0 時，拋物線開口向下，a 的值越大，開口越大，a 的值越大，開口越大注： |a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線開口越大拋物線的形狀相同，即|a|相同 .2. 一次項系數 b 【由 a 和對稱軸共同決定】對稱軸在y 軸的左側， a， b 同號；對稱軸在y 軸的右側， a， b 異號 .（左同右異b 為 0 時，對稱軸為y 軸）3. 常數項 c 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0 ； 當 c0 時，拋

9、物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負總結起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置七二次函數圖象（拋物線）與x 軸交點情況的判斷：y ax2+bx+c （ a0， a、 b、c 都是常數）1. =b2-4ac 0拋物線與 x 軸有兩個交點2. =b2-4ac=0拋物線與 x 軸有一個交點3. =b2-4ac 0拋物線與 x 軸沒有交點 當 a 0 時，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數，都有 y 0 ；當 a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數，都有y0 八 . 二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的解之間的關系：1. 二次函數 y ax2+

10、bx+c 的圖象與x 軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解 . 因此利用二次函數圖象可求以x 為未知數的一元二次方程ax2+bx+c 0 的解（從圖象上進行判斷）.2. 二次函數yax2+bx+c 在 x 軸上方的圖象上的點的橫坐標是一元二次不等式ax2+bx+c 0 的解；在 x 軸下方的圖象上的點的橫坐標是一元二次不等式ax2+bx+c 0 的解 .九 .二次函數的應用剎車距離二次函數應用何時獲得最大利潤最大面積是多少二次函數拋物線簡單的圖形變換（ 1）頂點式【ya( xh) 2k （ a 0）】名稱a頂點（ h， k）平移a(h ，k)左加右減上加下減對關于 x 軸對稱

11、-a(h ， -k)稱關于 y 軸對稱a(-h ， k)關于原點對稱-a(-h ， -k)旋轉（繞頂點旋轉180°）-a(h ， k)（ 2）一般式【 yax2bx c （ a 0）】平移 ：如將二次函數yax2bx c 向右平移 m(m 0)個單位，再向下平移n（n 0）個單位，得到222yax m bx m c n axam b x am bm c n()()(2)對稱名稱a、 b、 c 的變化解析式變化關于 x 軸對稱a -a;b -b; c -cy=ax 2+bx+c y=-ax 2-bx-c關于 y 軸對稱a 不變； b -b ；c 不變 y=ax 2+bx+c y=ax

12、2-bx+c關于原點對稱a -a ； b 不變； c -cy=ax 2+bx+c y=-ax 2+bx-c注： 無論是平移、軸對稱還是旋轉，最好先把二次函數化成頂點式，然后再根據需要進行求解.二次函數對應練習試題一. 選擇題1. 二次函數 y x2 4x 7 的頂點坐標是 ( )A.(2, 11)B.（ 2， 7）C.（ 2， 11）D.（ 2， 3）2. 把拋物線 y2x2 向上平移1 個單位，得到的拋物線是（）A. y2(x1)2B.y2(x 1)2C. y2x2 1 D.y2x2 13. 函數 ykx2k 和 yk (k 0) 在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的()x4. 已知二次函數

13、yax2bxc( a0) 的圖象如圖所示, 則下列結論 : a,b同號;當 x 1 和 x3 時 ,函數值相等 ; 4a b0 當 y2 時 ,x 的值只能取0. 其中正確的個數是 ()A.1個B.2個C. 3個D. 4個5. 已知二次函數 yax2bxc( a0) 的頂點坐標（ -1 ，-3.2）及部分圖象 ( 如圖 ), 由圖象可知關于x 的一元二次方程ax 2bxc0 的兩個根分別是 x1 1.3和 x2（ ） A.-1.3 B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函數 yax2bxc 的圖象如圖所示，則點( ac, bc) 在（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.

14、第四象限7. 方程 2xx22的正根的個數為（）xA.0 個B.1個C.2個 .3個8. 已知拋物線過點 A(2,0),B(-1,0),與 y 軸交于點C, 且 OC=2.則這條拋物線的解析式為A. y x2x 2B.yx2x 2C. y x2x 2 或 yx2x 2D.yx2x 2 或 y x2x 2二填空題9二次函數 yx2bx3 的對稱軸是 x2 ，則 b _.10已知拋物線 y=-2 （ x+3）2+5，如果 y 隨 x 的增大而減小，那么 x 的取值范圍是 _.11一個函數具有下列性質：圖象過點（1，2），當 x0 時，函數值 y 隨自變量 x 的增大而增大；滿足上述兩條性質的函數的

15、解析式是（只寫一個即可） .12拋物線 y2( x2)26的頂點為 C，已知直線 ykx3 過點 C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為.13. 二次函數22y2x 4x1y2xbxc的圖象向左平移1 個單位 , 再向下平移2 個的圖象是由單位得到的 , 則 b=,c=.14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16 米，跨度是40 米，在線段 AB上離中心 M處 5 米的地方，橋的高度是( 取 3.14).三解答題：15. 已知二次函數圖象的對稱軸是x30 , 圖象經過 (1,-6),且與 y 軸的交點為 (0,5).2(1) 求這個二次函數的解析式 ;(2)當 x 為何值時 , 這個

16、函數的函數值為 0?(3)當 x 在什么范圍內變化時 , 這個函數的函數值y 隨 x 的增大而增大 ?第 15題圖16. 某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t （秒）符合關系式 h v0t1 gt 2（ 0<t 2），其中重力加速度 g 以 10 米 / 秒 2 計算這種爆竹點燃后以2v0=20 米 / 秒的初速度上升，（ 1）這種爆竹在地面上點燃后，經過多少時間離地15 米？（ 2）在爆竹點燃后的 1.5 秒至 1.8 秒這段時間內，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17. 如圖，拋物線 yx2bx c 經過直線 y x 3 與坐標軸的兩個交點 A、B，此拋物線與x 軸的另一

17、個交點為C，拋物線頂點為D.（ 1）求此拋物線的解析式；（ 2）點 P 為拋物線上的一個動點，求使SAPC：S ACD5：4的點 P的坐標。(3) 點 M為平面直角坐標系上一點，寫出使點 M、A、B、D為平行四邊形的點 M的坐標18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）當每噸售價為260 元時，月銷售量為45 噸該建材店為提高經營利潤， 準備采取降價的方式進行促銷經市場調查發現：當每噸售價每下降10 元時， 月銷售量就會增加 7.5 噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100 元設每噸材

18、料售價為x（元），該經銷店的月利潤為y（元）（ 1）當每噸售價是240 元時，計算此時的月銷售量；（ 2）求出 y 與 x 的函數關系式（不要求寫出x 的取值范圍）；（ 3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？（ 4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大”你認為對嗎？請說明理由19. 某商場試銷一種成本為 60 元/ 件的 T 恤，規定試銷期間單價不低于成本單價，又獲利不得高于 40%，經試銷發現，銷售量 y（件）與銷售單價 x（元 / 件）符合一次函數 y=kx+b ，且x=70 時， y=50； x=80 時， y=40 ；（ 1）求出一次函數y=kx+b 的解析式（ 2）

19、若該商場獲得利潤為w 元，試寫出利潤w 與銷售單價x 之間的關系式，銷售單價定為多少時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？二次函數應用題訓練1. 心理學家發現，學生對概念的接受能力y 與提出概念所用的時間x（分）之間滿足函數關系： y = -0.1x2 +2.6 x + 43 (0 x30).（ 1）當 x 在什么范圍內時，學生的接受能力逐步增強？當能力逐步減弱？x 在什么范圍內時，學生的接受（ 2）第 10 分鐘時，學生的接受能力是多少？（ 3）第幾分鐘時，學生的接受能力最強？2. 如圖 , 已知 ABC是一等腰三角形鐵板余料 , 其中 AB=AC=20cm,BC=24cm若.在 ABC上

20、截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC上 , 點 D、 G分別在邊 AB、 AC上 . 問矩形 DEFG的最大面積是多少 ?ADGBEFC3. 已知銳角 ABC中，邊 BC長為 12，高 AD長為 8(1)如圖，矩形EFGH的邊 GH在 BC邊上，其余兩個頂點E、 F 分別在 AB、AC邊上， EF交 AD于點 K 求EF的值AK 設，矩形的面積為，求S與x的函數關系式，并求S的最大值EH xEFGHS(2) 若 ABAC，正方形 PQMN的兩個頂點在 ABC一邊上，另兩個頂點分別在 ABC的另兩邊上，直接寫出正方形 PQMN的邊長4. 如圖 , ABC中 , B=90°,AB

21、=6cm,BC=12cm.點 P 從點 A 開始 , 沿 AB邊向點 B 以每秒 1cm的速度移動 ;點 Q從點 B 開始 , 沿著 BC邊向點 C 以每秒 2cm的速度移動 . 如果 P,Q 同時出發 , 問經過幾秒鐘 PBQ的面積最大 ?最大面積是多少 ?CQAPB5. 如圖 , 隧道的截面由拋物線 AED和矩形 ABCD構成 , 矩形的長 BC為 8m,寬 AB為 2m,以 BC所在的直線為x 軸 , 線段 BC的中垂線為 y 軸 , 建立平面直角坐標系 .y 軸是拋物線的對稱軸 , 頂點 E 到坐標原點 O的距離為 6m.(1) 求拋物線的解析式 ;(2) 一輛貨運卡車高 4.5m,

22、寬 2.4m, 它能通過該隧道嗎 ?(3) 如果該隧道內設雙行道 , 為了安全起見 , 在隧道正中間設有 0.4m 的隔離帶 , 則該輛貨運卡車還能通過隧道嗎 ?【舉一反三 】如圖 , 隧道的截面由圓弧 AED和矩形 ABCD構成 , 矩形的長 BC為 12m,寬 AB 為 3m,隧道的頂端 E(圓弧 AED的中點 ) 高出道路 (BC)7m.求圓弧 AED所在圓的半徑 ;如果該隧道內設雙行道, 現有一輛超高貨運卡車高6.5m, 寬 2.3m, 問這輛貨運卡車能否通過該隧道.6. 如圖，一位運動員在距籃下4 米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度 3.

23、5 米，然后準確落入籃圈. 已知籃圈中心到地面的距離為3.05 米 .(1)建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式;(2)該運動員身高 1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少.y(0,3.5)3.05 mO x4 m7. 如圖，要建一個長方形養雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養雞場，設它的長度為x m.(1) 要使雞場面積最大，雞場的長度應為多少m？(2) 如果中間有 n( n 是大于 1 的整數 ) 道籬笆隔墻，要使雞場面積最大， 雞場的長應為多少 m？比較 (1)(2) 的結果，你能得到什么結論？x8. 某商場以每件20 元的價格購進一種商品，試銷中發現， 這種商品每天的銷售量m(件 ) 與每件的銷售價 x( 元 ) 滿足關系： m=140 2