1、第1頁 2.3.2 雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)1上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班自自 學(xué)學(xué) 導(dǎo)導(dǎo) 引引( (學(xué)生用書學(xué)生用書P P4343) ) 1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)掌握雙曲線的幾何性質(zhì).2.了解雙曲線的一些應(yīng)用了解雙曲線的一些應(yīng)用.2上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班課課 前前 熱熱 身身(學(xué)生用書學(xué)生用書P43) 3上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班1.雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方標(biāo)準(zhǔn)方程程圖形圖形22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab4上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班性性質(zhì)質(zhì)焦點焦點焦距焦距范圍范圍對稱性

2、對稱性頂點頂點軸軸離心率離心率漸近線漸近線F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2cx-a,或或xay-a,或或ya關(guān)于關(guān)于x軸軸 y軸軸 坐標(biāo)原點都對稱坐標(biāo)原點都對稱A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)實軸長實軸長2a,虛軸長虛軸長2b(1)ceeabyxa ayxb 5上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班 2.等軸雙曲線的定義等軸雙曲線的定義_和和_等長的雙曲線叫做等軸雙曲等長的雙曲線叫做等軸雙曲線線.3.離心率的意義離心率的意義雙曲線的離心率反映了雙曲線的離心率反映了_的大小的大小,_,雙曲雙曲線的開口越大線的開口

3、越大,_,雙曲線開口越小雙曲線開口越小.實軸實軸虛軸虛軸雙曲線開口雙曲線開口e越大越大e越小越小6上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班名名 師師 講講 解解(學(xué)生用書學(xué)生用書P43) 7上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班1.1.雙曲線與橢圓的區(qū)別雙曲線與橢圓的區(qū)別(1)(1)雙曲線有兩條漸近線雙曲線有兩條漸近線, ,而橢圓沒有而橢圓沒有. .雙曲線在直線雙曲線在直線x=x=a,y=a,y=b b圍成的矩形內(nèi)無圖象圍成的矩形內(nèi)無圖象, ,而橢圓在這個矩形內(nèi)而橢圓在這個矩形內(nèi). .(2)(2)雙曲線有兩個頂點雙曲線有兩個頂點, ,離心率離心率e1;e1;而橢圓有四個頂點而橢圓有四個頂

4、點, ,離心離心率率0e1.0e0,b0,a,a0,b0,a不一定大于不一定大于b.b.這些這些和橢圓有明顯不同和橢圓有明顯不同. .222222221(0,0)1(0,0)xyyxabababab和9上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班 2.2.雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線(1)(1)雙曲線的漸近線的求法雙曲線的漸近線的求法, ,最簡單實用的方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方最簡單實用的方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方程中的程中的“1”1”換上換上“0”.0”.即即22222222,00.xyyxbxababaayxby或即或10上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班 ( 2 )( 2 ) 具 有 相 同 漸 近

5、線 的 雙 曲 線 方 程 為具 有 相 同 漸 近 線 的 雙 曲 線 方 程 為 (0).(0).2222xyab11上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班3.3.等軸雙曲線的特性等軸雙曲線的特性(1)(1)兩條漸近線兩條漸近線y=y=x,x,互相垂直互相垂直. .(2)(2)離心率離心率e=e=. .12上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班典典 例例 剖剖 析析(學(xué)生用書學(xué)生用書P43)13上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班題型一題型一 雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)例例1:1:求雙曲線求雙曲線4x4x2 2-y-y2 2=4=4的頂點坐標(biāo)的頂點坐標(biāo) 焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)

6、 實半軸長實半軸長 虛半軸長虛半軸長 離心率和漸近線方程離心率和漸近線方程, ,并作出草圖并作出草圖. .分析分析: :先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式, ,求出求出a a b b c c可得實可得實 虛半軸長及離心率虛半軸長及離心率. .14上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2222221,41.5.12(5,0),( 5,0)55,1:,2.,.yxyFceabyxxa 2221214xy4xa1 b2 cA1 0A1 0Fa1b2解 將變形為即因此頂點為焦點為實半軸長是虛半軸長是離心率漸近線方程為草圖如下圖15上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班規(guī)律技巧

7、規(guī)律技巧: :由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程, ,求雙曲線的有關(guān)性質(zhì)的步驟求雙曲線的有關(guān)性質(zhì)的步驟是是: :先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 再根據(jù)它確定再根據(jù)它確定a,ba,b的值的值( (注意它們的分母分別為注意它們的分母分別為a a2 2,b,b2 2, ,而不是而不是a,b,a,b,進而求出進而求出c,c,再對照雙曲線的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)的答再對照雙曲線的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)的答案案).).畫幾何圖形畫幾何圖形, ,要先畫雙曲線的兩條漸近線要先畫雙曲線的兩條漸近線( (即即: :以以2a2a 2b2b為兩鄰邊的矩形對角線為兩鄰邊的矩形對角線) )和兩個頂點和兩個頂點

8、, ,然后根據(jù)雙曲線的然后根據(jù)雙曲線的變化趨勢變化趨勢, ,就可畫出雙曲線的近似圖形就可畫出雙曲線的近似圖形. .2222222211 ,()xyyxabab或16上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:1:求雙曲線求雙曲線16x16x2 2-9y-9y2 2=-144=-144的實軸長的實軸長 虛軸長虛軸長 焦點焦點坐標(biāo)坐標(biāo) 頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo) 離心率及漸近線方程離心率及漸近線方程, ,并畫出草圖并畫出草圖. . 22221,435;44.3:,.;,;,;:yxceayx 22416x9y14a4 b3 c52a82b6050 5040 4解 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 得由此

9、可知實軸長虛軸長焦點坐標(biāo)為頂點坐標(biāo)離心率漸近線方程為草圖如下17上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班題型二題型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程221(3 2,2);1645:,.( ),2),(2( ).xy212P 3例根據(jù)下列條件 分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線有公共焦點 且過點過點離心率為分析分析:先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,用待定系數(shù)法求用待定系數(shù)法求a,b.18上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2222222222221.2 5,(3 2,2),(3 2):( ):,41,(2 5) ,1.128.xyabcababxy2211a12 b8解

10、方法設(shè)雙曲線方程為由題意易求得又雙曲線過點故所求的雙曲線方程為19上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2222222:,k4,11641,(3 2,2)1641.128xyxykkxy方法與雙曲線有公共焦點可設(shè)雙曲線方程為將點代入得雙曲線方程為20上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班22222222155,2( ),:,.(,)24921.4,1,xyabceaab222222xyxP 3abca1 b依題意 雙曲線的實軸可能在 軸上 也可能在 軸上 分別討論如下若雙曲線的實軸在 軸上 設(shè)為所求由得由點在雙曲線上 得又由得21上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2222222

11、222221,.,).,529,1,.417(2.yxabcabcaabb22yxx4y1若雙曲線的實軸在 軸上 設(shè)為所求同理有解之得不合題意 舍去故雙曲線的實軸只能在 軸上 所求雙曲線方程為22上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班規(guī)律技巧規(guī)律技巧: :由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程, ,常用待常用待定系數(shù)法定系數(shù)法. .首先首先, ,根據(jù)所給的性質(zhì)根據(jù)所給的性質(zhì), ,判斷焦點的位置判斷焦點的位置, ,設(shè)出雙設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程, ,再利用已知構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程求得再利用已知構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程求得. .當(dāng)當(dāng)雙曲線的焦點不明確時雙曲線

12、的焦點不明確時, ,方程可能有兩種形式方程可能有兩種形式, ,此時應(yīng)注意此時應(yīng)注意分類討論分類討論. .有時也可設(shè)有時也可設(shè)mxmx2 2+ny+ny2 2=1(mn0)=1(mn0)而直接去求而直接去求, ,不用不用討論討論. .23上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2211:,.69xy2變式訓(xùn)練求以橢圓的兩個頂點為焦點以橢圓的焦點為頂點的雙曲線方程222:,(7,0),( 7,0),22 7,7.1.79,|,.Faaxy 1121212222FA4 0A4 0A4 0A4 02cA A8c4bca1679解 橢圓的焦點頂點依題意知 雙曲線的焦點為又故所求雙曲線方程為24上海虹口

13、最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班22223:2c,l1(1,0)a,00,b ,1,0l1,0ls,45e.xyababc例雙曲線的焦距為直線 過點和且點到直線 的距離與點到直線 的距離之和求雙曲線離心率 的取值范圍分析分析:因為離心率因為離心率 所以要利用題設(shè)條件構(gòu)造出關(guān)于所以要利用題設(shè)條件構(gòu)造出關(guān)于a,c的不等式的不等式,進一步求得進一步求得e的范圍的范圍.,cea25上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班12222222:,( , )(1,(1)2,2.)xyabb adabbabababdcabab 12lbxayab0a11 0l1 0lsdd解 由題設(shè)知直線 的方程為即由點到

14、直線的距離公式及得到點到直線 的距離同理得到點到直線 的距離26上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:3:已知雙曲線的漸近線方程為已知雙曲線的漸近線方程為 , ,求雙曲線的離心率求雙曲線的離心率. .34yx 分析分析:只知漸近線方程只知漸近線方程,并不知焦點在哪個軸上并不知焦點在哪個軸上,因此應(yīng)分情況因此應(yīng)分情況解答解答.27上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班22222222:(),341691.1,69255,;1642525,99555.343xyxxyceacaee 222222222222y00 xa16b9cab25e0ya9b16cab25ee解

15、設(shè)具有漸近線的雙曲線方程為即若焦點在 軸上若焦點在 軸上或28上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班222424,55551555.4255.,2.,abcca cace22422s2c2e4e25e250e5e1ee由 得即于是得即解不等式 得 又離心率的取值范圍是29上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班技技 能能 演演 練練(學(xué)生用書學(xué)生用書P45)30上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班基礎(chǔ)強化基礎(chǔ)強化31上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班222222222.1.14444.,.1.14884,xyyxAByxxyCD1C0 2C雙曲線 的實軸長和虛軸長之和等于其

16、焦距的倍且一個頂點的坐標(biāo)為則雙曲線 的方程為()答案答案:B32上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班22:,2 ,2,1.44c ayx222ababcb2y解析 依題意又解得又焦點在 軸上雙曲線方程為33上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2222.,()13.2. 3. 2.2xybaABCD2雙曲線的兩條漸近線互相垂直那么該雙曲線的離心率為答案答案:C22:,2,2.cea 22yxabc2a解析 依題意知 雙曲線的漸近線方程為34上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班3.3.已知雙曲線已知雙曲線 和橢圓和橢圓的離心率互為倒數(shù)的離心率互為倒數(shù), ,那么以那么以a a b

17、b m m為邊長的三角形一定是為邊長的三角形一定是( )( )A.A.銳角三角形銳角三角形 B.B.直角三角形直角三角形C.C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.等腰三角形等腰三角形22221xyab22221(0,0)xyambmb答案答案:B35上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班2222122222:,(), ,.1,abmbeeamabmbam1222222222222e e1b mab0b0mab0maba b m解析 記又化簡得即以為邊長的三角形一定是直角三角形36上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班4.4.雙曲線與橢圓雙曲線與橢圓 有相同的焦點有相同的焦點, ,它的一條漸

18、近線為它的一條漸近線為y=-x,y=-x,則雙曲線方程為則雙曲線方程為( )( )A.xA.x2 2-y-y2 2=96 =96 B.yB.y2 2-x-x2 2=100=100C.xC.x2 2-y-y2 2=80 =80 D.yD.y2 2-x-x2 2=24=242211664xy答案答案:D37上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班解析解析: :由題意由題意知知, , ,2a,2a2 2=c=c2 2=48,a=48,a2 2=24,=24,故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為y y2 2-x-x2 2=24.=24.64 164 3,cab38上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)

19、輔導(dǎo)班5.5.已知定點已知定點A,B,A,B,且且|AB|=4,|AB|=4,動點動點P P滿足滿足|PA|-|PB|=3,|PA|-|PB|=3,則則|PA|PA|的的最小值是最小值是( )( )137.5222ABCD答案答案:C39上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班解析解析: :由雙曲線的定義及性質(zhì)知由雙曲線的定義及性質(zhì)知, ,動點動點P P的軌跡是雙曲線的一的軌跡是雙曲線的一支支, ,且且A A B B為焦點為焦點,c=2, ,|PA|,c=2, ,|PA|的最小值為的最小值為 . .32a 72ac40上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班22112.()_3,_.xyn

20、n6 2008n安徽已知雙曲線的離心率為則4 22222:,3,12,3.ecabnnaan222an b12nen4解析 依題意知又41上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班7.7.過雙曲線過雙曲線 左焦點左焦點F F1 1的直線交雙的直線交雙曲線的左支于曲線的左支于M M N N兩點兩點,F,F2 2為其右焦點為其右焦點, ,則則|MF|MF2 2|+|NF|+|NF2 2|-|-|MN|=|MN|=_. .22143xy8 解析解析:由雙曲線的定義知由雙曲線的定義知|MF2|-|MF1|=4,|NF2|-|NF1|=4,|MF2|+|NF2|-|MF1|-|NF1|=|MF2|+|N

21、F2|-|MN|=8.42上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班8.8.若雙曲線若雙曲線 的離心率為的離心率為2,2,則則k k的值為的值為_. .-3122149xyk222:k40,k4,2,(4)94e3 .9ek,1cacka 解析 依題意知又43上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班能力提升能力提升44上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班221(2 3, 3)169.xyA9求與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線方程22222222221169(2 3, 3)169(2 3)( 3)1.1694141.169494:().,xyxyAxyyx 0 解 設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為在雙曲線上所求雙曲線方程為即45上海虹口最好的數(shù)學(xué)暑假補習(xí)班高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班12.,( );2,10).:0;( )( ,),( ).MF MF121210F F412M 3 m3FMF 已知雙曲線的中心在原點 焦點 在坐標(biāo)軸上離心率為且過點求雙曲線方程若點在雙曲線上 求證求