1、數列基本知識點1.等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質等差數列等比數列定義an為APan1and(常數).一an1,an為GPq(常數)an通項公式an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)d=dn+a1-dn1nkanaqakq求和公式n(a1an)n(n1)snna1d22d2d2n(a12)nna(q1)sna(1qn)a1anq(q1)1q1q中項公式A=a-b推廣：22an=anmanmG2ab。推廣：an2anmanm性質1若m+n=p+q貝Uamanapaq若m+n=p+q,貝Uamanapaq。2若(成A.P(其中knN)則akn也為A.P。若kn成等差數列（其中knN）,

2、則a%成等比數列。3.Sn,S2nSn,S3nS2n成數列。Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數列。4ana1aman/、d(mn)n1mnn1annman/、q-,q-(mn)a1am2判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：（1）定義法:對于n>2的任意自然數，驗證anan1（皿）為同一常數。（2）通項公式法。（3）中項公式法：驗證an12an1anan2(a21anan2)nN都成立。3 .在等差數列an中，有關Sn的最值問題：（1）當a1>0,d<0時，滿足amam 100的項數m使得Sm取最大值.（2）當a1 <0,d>0時，滿足am0am 10

3、的項數m使得sm取最小值4 Sn與an之間的關系Sin1anSnSn1n2(所以在有Sn與烝關系的時候，我們應該盡量只留其中的一個，一般題目要我們求那一個我們就保留那一個，如若不會就兩個都試一下)1aia2a3.anf(n)(1)像這種“連和”的形式我們要求an,就必須消掉它前面的。我們可以取nn1相減即：aa2a3.an1f(n1)(2)(1) (2)式我們就可以只有小的表達式了。anf(n)f(n1)2a1a2a3.anf(n)(1)像這種“連乘的形式”的形式我們要求an,就必須消掉它前面的。我們可以取nn1相除即：a1a2a3a1f(n1)(2)(1)一后f(n)j式有：an(2)f(n

4、1)5求通項公式通項公式(一般的方法都是關于通項的遞推關系，即后一項與前一項的關系，即an1與an的關系，因此我們在處理問題的時候應該先將題目中的條件轉化為an1與an的這種遞推關系)1、已知anan1f(n)(n2),則求an可用累加法.1 -例1在數列an中，a12,an1anln(1一)，則annA.2InnB.2(n1)lnnC.2nInnD.1nInnan2已知f(n)(n2),求an用累乘法.an13 anpan1q(p1)用待定系數法4 an1dane倒數的關系。(取不動點法)banc225 an1ban(指數型的關系取對數的方法)6 an1bancan1(二階線性關系)6求和(

5、1)裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有： 11n(n1)nn1 11(1，)；n(nk)k'nnk，1 1,- (k0)(nk.n)nnkk61111111 _.kk1(k1)kk(k1)kk1k(2)錯位相減法：Cnanbnan為等差數列，bn為等比數列。即一個等差數列乘以一個等比數列可以采用乘公比錯位相減法。如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數列前n和公式的推導方法).設an是等差數列，且公差為d,bn是等比數列，且公比為q,記S=a1b1

6、+a2b2+anbnSna1bla2b2 a3 b3an 2bn 2 an 1 bn 1anbnqSnab2a2 b3an 3bn 2 an 2> 1 an han bn 1(1q)Snahd(b2b3.bn2bn1bn)anbn1(3)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.(4)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和(這也是等差數列前n和公式的推導方法).等差數列重點等差數列的概念、等差數列的通項公式、等差數列的前n項和公式。1 .定義：數列

7、an若滿足an+i-an=d(d為常數)稱為等差數列，d為公差。它刻劃了“等差”的特點。2 .通項公式：an=a+(n-1)d=nd+(ai-d)。若d0,表示an是n的一次函數；若d=0,表示此數列為常數列。3 .前n項和公式：Sn=n(a1一an!=nai+_n£n_11dn2(a1)n。若d0,2222表示Sn是n的二次函數，且常數項為零；若d=0,表示Sn=nai.4 .，性質：an=am+(n-m)d。若m+n=s+t,貝Ua/an=as+a。特另U地；若m+n=2p,貝Uanm+an=2a3o5 .方程思想：等差數列的五個元素ai、d、n、圍、Sn中最基本的元素為ai和d

8、,數列中的其它元素都可以用這兩個元素來表示。函數思想：等差數列的通項和前n項和都可以認為是關于n的函數，因此數列問題可以借助于函數知識來解決。難點等差數列前n項和公式的推導，通項和前n項和的關系，能夠化歸為等差數列問題的數列的華化。如：an與Sn關系：an="1此公式適用于任何SnSn1n2數列。化歸思想：把不熟悉的問題轉化成熟悉問題的數字思想。重點等比數列的概念，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式。1 .定義：數列an若滿足亙二q(q0,q為常數)稱為等比數列。q為公比。an2 .通項公式：an=a1qn-1(a10、q0)。na13 .前n項和公式：S=a1(1qn)a1

9、anq(q1)1q1q4 .性質：(1)an=aqn-m。(2)若m+n=s+t,則anan=&at,特別地，若m+n=2p則anan=a2p,(3)記A=a+az+a,B=an+1+an+升a2n,C=a2n+1+a2n+2+&n,貝UA、BC成等比數列。5 .方程思想：等比數列中的五個元素引、q、n、an、&中，最基本的元素是a1和q,數列中的其它元素都可以用這兩個元素來表示。函數思想：等比數列的通項和前n次和都可以認為是關于n的函數。難點等比數列前n項和公式的推導，化歸思想的應用。考點十二數列求和(裂項及錯位)1等比數列an的前n項和為Sn,已知對任意的nN,點(

10、n,Sn)均在函數y bx r(b(1)求r的值；(11)當 b=2 時，記 bn這恰好需要對遞推關系式0且b 1,b,r均為常數)的圖像上.n 1(n N )，求數列bn的前n項和Tn. 4ananS,(n 1)Sn Sn 1,(n2)的正確理解1 2數列an的前n項和為Sn,若an ，則S5等于()n(n 1)A. 1B. 5C. 1D.663013 已知 an an 1 (n 2) , a1 1n(n 1)(1)寫出數列的前5項;(2)求 an-4 求 Sn=(x+1)+(x 2+工)+(xn+J )(y0)。y yy5.已知數列an中，Sn是其前n項和，并且Sn1 4an 2(n 1,

11、2,L ),a1 1,設數列 bnan 1 2an(n 1,2,)，求證：數列bn是等比數列;a設數列CnT,(n1,2,),求證：數列Cn是等差數列;2求數列an的通項公式及前n項和.6 .設數列an的各項都是正數，且對任意nCN：都有a13a；a；a；S：,記S為數列an的前n項和.(1)求數列an的通項公式；(2)若b3n(1)n12an(為非零常數，nCN+),問是否存在整數，使得對任意nN+,都有bn+i>b.28數列an的前n項和Sn與通項an滿足關系式Snnan2n2n(nN),則aioo4。(A)90(B)180(C)360(D)4009 .一個等差數列共有10項，其中奇

12、數項和為25,偶數項和為15,則這個數列的第6項是2A.3B.4C.5D.610 在數列an中，a12且3an12an3,則an一.1.n11已知an2n1,bn(-),則數列anbn的刖n項和Sn.212已知下面各數列an的前n項和Sn的公式，求數列的通項公式.Sn=2n23n(2)Sn=n2+1(3)Sn=2n+313求數列的通項公式：(1)an中,a1=2,an+1=3an+2(2)an中，a1=2，a2=5,且an+23an+1+2an=0思路：轉化為等比數列.解(I)an+1=3an+2a。*+1=3(a0+1)，an+1是等比數列.an+1=3.3n-1/.an=3n-1(2)an

13、+23an+1+2an=0an+2_an+1=2(an+1an)，an+1an是等比數歹U,即an+1an=(a2a1)，2n1=32n114已知數列annN是等比數列，且an0,a12自8.求數列an的通項公式；111(2)求證：,-a a2a3工1； an(3)設 bn2log 2 an 1,求數列bn的前100項和.15.已知數列an的相鄰兩項an,an1是關于x的方程x22nxbn0(nN*)的兩根，且a11.1(1)求證：數列an-2是等比數列；3(2)求數列bn的前n項和Sn.數列bn滿足c1cc117 .已知數列an的前n項和為Sn,a1-且SnSn1an1一42bi119一一且

14、3bnbn1n(n2且nN).4(1)求an的通項公式;(2)求證：數列bnan為等比數列(3)求bn前n項和的最小值.一、1一.1、18 設數列an滿足a1一,2an1(1)an,nN2n(1)求證：數列包為等比數列；n(2)求數列an的前n項和為Sn；若不等式a 2n 1Snan對任意*nN的恒成立,求實數a的取值范圍.2120.已知二次函數f(x)ax2bx滿足條件：f(0)f(1)；f(x)的最小值為-.8(I)求函數f(x)的解析式；,f(n)4 ，一.、一、一一,(n)設數列an的前n項積為Tn，且Tn一,求數列an的通項公式；5(m)在(n)的條件下，若5f(烝)是bn與工的等差中項，試問數列b