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文檔簡介

1、授課章節：第一章 實數集與函數-§數集和確界原理教學目的：使學生掌握確界原理，建立起實數確界的清晰概念。教學要求：（）掌握鄰域的概念；（）理解實數確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正確地加以運用。教學重點：確界的概念及其有關性質（確界原理）。教學難點：確界的定義及其應用。教學方法：講授為主。教學程序：先通過練習形式復習上節課的內容，以檢驗學習效果，此后導入新課。引言上節課中我們對數學分析研究的關鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學了第一章 §實數的相關內容。下面，我們先來檢驗一下自學的效果如何！ 證明：對任何有（）；（）. 證明：. 設，證明：若對任何正數有，則.

2、設，證明：存在有理數滿足.引申：由題可聯想到什么樣的結論呢？這樣思考是做科研時的經常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結論：一般的方法？由上述幾個小題可以體會出“大學數學”習題與中學的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據，而非憑空想象；課后未布置作業的習題要盡可能多做，以加深理解，語言應用。提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術語和工具（至此，復習告一段落）。本節主要內容： 先定義實數集中的兩類主要的數集區間鄰域；討論有界集與無界集；由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）。一 區間與鄰域 區間（用來表示變量的變化范圍）設且。 鄰域聯想：“鄰居”。字

3、面意思：“鄰近的區域”。（看左圖）。與a鄰近的“區域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關于a的對稱區間”；如何用數學語言來表達呢？（） a的鄰域：設，滿足不等式的全體實數的集合稱為點a的鄰域，記作，或簡記為，即.（） 點a的空心鄰域.（） a的右鄰域和點a的空心右鄰域（） 點a的左鄰域和點a的空心左鄰域（）鄰域，鄰域，鄰域 （其中為充分大的正數）； 二 有界集與無界集什么是“界”？定義（上、下界）： 設為中的一個數集。若存在數，使得一切都有，則稱為有上（下）界的數集。數稱為的上界（下界）；若數集既有上界，又有下界，則稱為有界集。若數集不是有界集，則稱為無界集。注：）上（下）界若

4、存在，不唯一；）上（下）界與的關系如何？看下例：例1 討論數集的有界性。分析：有界或無界上界、下界？下界顯然有，如取；上界似乎無，但需要證明。解：任取，顯然有，所以有下界；但無上界。證明如下：假設有上界M,則M>0，按定義，對任意，都有，這是不可能的，如取則，且.綜上所述知：是有下界無上界的數集，因而是無界集。例2 證明：（）任何有限區間都是有界集；（）無限區間都是無界集；（）由有限個數組成的數集是有界集。問題：若數集有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？(答：不唯一，有無窮多個)。三 確界與確界原理、定義定義（上確界）設是中的一個數集，若數滿足：(1) 對一切有（即是的上界）; (2) 對任何，存在，使得（即是的上界中最小的一個），則稱數為數集的上確界，記作定義（下確界）設是中的一個數集，若數滿足：（）對一切有（即是的下界）；（）

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