1、8.4 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則引例引例32,lnarctan ,sin(21)?uvzeut vtdzdt設求?dzdt求1 1、中間變量是一元函數(shù)的情形、中間變量是一元函數(shù)的情形zuvt證證),()(tttu 則則);()(tttv ，獲獲得得增增量量設設tt zuvt1 1、中間變量是一元函數(shù)的情形、中間變量是一元函數(shù)的情形由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0

2、dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù)稱為全導數(shù). .dtdzdtdzeytxyxzt:;1,sin,.1222求求已已知知例例 2222222222222)1(sin)1(2cossin)2cos(1)2(costtttteteettyetxyxeyxytyxxdtdyyzdtdxxzdtdz 解解： 2(,ln ),.dzzf xxfdx設設可可微微，求求2 、中間變量是多元函數(shù)的情形、中間變量是

3、多元函數(shù)的情形 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數(shù)，且函數(shù)的偏導數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對應在對應點點),(vu具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏的兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算導數(shù)存在，且可用下列公式計算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .?zzxy求uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣，設類似地再推廣，設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點都在點

4、),(yx具有對具有對x和和y的偏導數(shù)，復合的偏導數(shù)，復合函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對應點在對應點),(yx兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu zuvxy 22() ,.xyzzzxyxy設設求求22.(,),.xyzzzf xyexy例例3 3 設設求求zuvxy解解),(,22vuf

5、zevyxuxy 則則設設 xzxvvfxuuf yefxfxy 212212fyexfxy yzyvvfyuuf xefyfxy 21)2(212fxeyfxy 222(sin,ln(),),.xyzzzfx yxyexy設設求求 2( , , ),xzwf x y zyew設設求求 的的偏偏導導數(shù)數(shù)),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中把把復復合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的

6、區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似zuxyxy3 、中間變量既含函數(shù)又含自變量的情形、中間變量既含函數(shù)又含自變量的情形.( , ) ,( , ),.zzzf x vvx yxy 例例4 4 設設求求vzxxy解解 xzxvvfxf yzyvvf (),wf xxyxyzw設設求求 的的偏偏導導數(shù)數(shù) ( ,),wf x xy xyzw設設求求 的的偏偏導導數(shù)數(shù)例5.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2yu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfy

7、zzf2222zyxezyxsin2yx cos2解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvttz (sincos ),yzfxyx求求z z的的偏偏導導數(shù)數(shù) 1,(sincos )zfxy求求z z的的偏偏導導數(shù)數(shù)為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例7. 設 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxw),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy那么zxw2111 f22221211)

8、(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 22 222(,),xd zzf exdx求求 2(),xyzzf exyx y求求特殊地：特殊地：( ) ,( , )( ),( )zf uuu x yzuzufufuxxyy 則則例例8y 2 22 2z zz z設設z z= =f f( (x x+ +x x y y ) ), ,且且f f( (u u) )可可微微，求求與與 x x解解2222(),zf xx yuxx y 在在中中令令則則由由復復合合函函數(shù)數(shù)求求偏偏導導的的鏈鏈式式法法則則得得 ux 2 22 22 2z z= =f f ( (u u) )= =( (

9、1 1+ +2 2x xy y ) )f f ( (x x+ +x x y y ) )x xuyy 2 22 22 2z z= =f f ( (u u) )= =2 2x x y yf f ( (x x+ +x x y y ) )例例9( ,) ,f x xy xyz 設設Q Q且且f f存存在在一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，求求函函數(shù)數(shù)Q Q的的全全部部偏偏導導數(shù)數(shù)。解解,ux vxy wxyz 設設則則( , ,)f u v w Q Q于是于是Qx fdufvfwuxvxwxQy Qz 3fxy 32fxzfx 321fyzf yf ywwfyvvfyuuf zwwfzvvfzuuf 例例

10、10( ),.yzzzxyxFxyxyzxxy 設設其其中中F F可可微微 試試證證：解解,yux 設設則則 xz yz于是于是( )( )( )zzxyx yF uuF uy xF uxy ( )yxyxFxyxyzx )()()()()(2uFuuFyxyuFxuFy)(1)(uFyxuFxx 設設函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduuzdz ;當當),(yxu 、),(yxv 時時，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變形的實質(zhì)：全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間的函數(shù)或中間變量變量 的函數(shù)，它的全微分

11、形式是的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的一樣的.zvu、vu、全微分形式不變性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 2(,ln ),.dzzf xxfdx設設可可微微，求求利用全微分形式不變性再解利用全微分形式不變性再解 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos(

12、)sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy例例2 求函數(shù)的偏導數(shù)和全微分求函數(shù)的偏導數(shù)和全微分xyxzyxxzarctan)2()2ln()1( yxxyzyxxyxxzdyyxxdxyxxyxyxdydxxdxyxyxyxdxdxyxyxxddxyxdz222)2ln(222)2ln(2)2)2ln(2)2()2ln()2ln()2ln()1( 解解222222222222222arctan)(arctanarctan)()(11arctanarctanarctan)2(yxxyzyxxyxyxzdyyxxdxyxx

13、yxyxydxxdyyxxxdxxyxydxyxdxxyxyxddxxydz 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題思考題解答思考題解答不不相相同同.而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxd

14、uufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 練習題,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 知求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf兩邊對 x 求導, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在點)1 , 1(處可微 , 且設函數(shù)設函數(shù),3) 1 , 1 (yf解解: 由題設由題設23)32( (2019考研考研)解答提示解答提示:P31 題7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)