1、信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例 xxcossin )0(1ln xxx如如果果在在區(qū)區(qū)間間( (a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)， 定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ， 那么函數(shù)那么函數(shù))(xF就稱為就稱為)(xf 導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間( (a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， 簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：?jiǎn)栴}：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin x

2、Cxcossin （C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）那那么么在在區(qū)區(qū)間間( (a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF， 使使得得)()(xfxF . . (2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東關(guān)于原函數(shù)的定理：關(guān)于原函數(shù)的定理：（1假設(shè)假設(shè) ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2假設(shè)假設(shè) 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf那么那么( )( )G xF xC證證)()()()(xFxGxFxG0)()( xfxf( )( )G xF x

3、C（C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）（C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）( )( )G xF xC信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東積分常數(shù)積分常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量則則稱稱 F(x)C 為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間( (a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)的的 不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)，內(nèi)，F(xiàn)(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例1 1：求：求.5dxx 解：解：,656xx .665Cxdxx 解：解：例例2 2：求：求.112

4、 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 y = F(x )是函數(shù)是函數(shù)(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 稱稱 y = F(x) 的圖形是的圖形是(x)的一條積分曲線的一條積分曲線;而而 是是(x)的原函數(shù)一般表達(dá)式的原函數(shù)一般表達(dá)式, 所以它所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線稱它為積分曲線族對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線稱它為積分曲線族, 其特點(diǎn)是其特點(diǎn)是:( )f x dx (1)積分曲線族中任意一條曲積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條線可由其中某一條(如如y=F(x)沿沿y軸平行移動(dòng)軸平行移動(dòng)|c|個(gè)

5、單位而得到個(gè)單位而得到. (如圖如圖)當(dāng)當(dāng)c0時(shí)時(shí), 向上移動(dòng)向上移動(dòng); 當(dāng)當(dāng)c0時(shí)時(shí),向下移動(dòng)向下移動(dòng).oxyxy=F(x)c信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東oxyxy=F(x)( ( )( )( ) F xCF xf x(2) 即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處, 每條積分曲線每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等, 都為都為(x) .從而相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行從而相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行.注意注意:當(dāng)需要從積分曲線族中求出當(dāng)需要從積分曲線族中求出過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 的一條積分曲線時(shí)的一條積分曲線時(shí),則只須把則只須把 代入代入y = F(x) + C中解出中解出C即可即可.00(,)xy00

6、(,)xy信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例3 3：設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)：設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)1 1，2 2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程. .解：解： 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).22( ),f xxdxxC由曲線通過(guò)點(diǎn)由曲線通過(guò)點(diǎn)1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd

7、,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東實(shí)例實(shí)例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx3( )ln|;dxxCx 說(shuō)明：說(shuō)明： , 0 x,ln Cx

8、xdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東 xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx 2(8)secxdx;tanCx 2(9)cscxdx;cotCx (5)xe dx ;Cex (4)xa dx ;lnCaax 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx 21(13)arctan1dxxCx21(12)arcsin1dxxCxarccos;xC arccot;xC 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例4 4：求積分：求積分.

9、2dxxx 解：解：dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式根據(jù)積分公式2）Cxdxx 11 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證：證：( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx ).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況） dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例5 5：求積分：求積分解：解：.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dx

10、xdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例6 6：求積分：求積分解：解：.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例7 7：求積分：求積分解：解：42.1xdxx31arctan.3xxxC44221 1.11xxdxdxxx 221(1).1xdxx 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例8 8：求積分：求積分解：解：22tansin2xxdx22tansin2xxdx21(sec1)(1 cos )

11、2xdxx dx11tansin22xxxxc11tansin22xxxc信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例9 9：求積分：求積分解：解：.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說(shuō)明：說(shuō)明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東解：解：,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy例例10：已知函數(shù)：已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(x，f(x)的切線的切線斜率為斜率為 ，且過(guò)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)0，5），），求此曲線。求此曲線。xxsinsec2 信息學(xué)院信息學(xué)院 羅捍東羅捍東例例11：已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量：已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q是時(shí)間是時(shí)間t的函數(shù)，的函數(shù)，其變化率的關(guān)系為其變化率的關(guān)系為Q/(t)2t10，求此產(chǎn)品的，求此產(chǎn)品的產(chǎn)量函數(shù)產(chǎn)量函數(shù)Q(t) ？解：解：因?yàn)橐驗(yàn)镼 (t)是其變化率的原函數(shù)，依題意有是其變化率的原函數(shù)，依題意有2( )( )(210)10Q tQ t dttd