1、第十節一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致連續性三、一致連續性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 閉區間上連續函數的性質 第一章 注意注意: 若函數在開區間上連續若函數在開區間上連續,結論不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在閉區間上連續的函數在閉區間上連續的函數即: 設, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區間內有間斷 在該區間上一定有最大(證明略)點 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy11

2、21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點定理零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( 證明略 )在閉區間上連續的函數在該區間上有界. 定理定理3. ( 介值定理

3、介值定理 ) 設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數 C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數作輔助函數Cxfx)()(那么,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區間上的連續函數 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 證明方程證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據零點定理, 至少存在一點,

4、) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區間)1 ,0(的中點取1 ,0內至少有機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 那么那么0)()()(212xfxff上連續 , 且恒為正 ,例例2. 設設)(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(211

5、2xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當)()(21xfxf時, 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:小結 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 *三三. 一致連續性一致連續性已知函數)(xf在區間 I 上連續, 即:,0Ix ,0,0,0時當 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關與x,0無關時與若x就引出了一致連續的概念 .定義定義:, I, )(xxf對,0若,0存在, I,

6、21xx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續上一致連續 .顯然:上一致連續在區間 I)(xf上連續在區間 I)(xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,21時當 xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致連續 .因為, ) 10(0取點, )N(,11211nxxnn那么 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續 .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續.(證明略)考慮考慮: P73 題題 6提示提示:設)(, )(bfaf存在, 作輔助函數)

7、(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內容小結內容小結則設, ,)(baCxf在)(. 1xf上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 任給一張面積為任給一張面積為 A 的紙片的紙片(如圖如圖), 證明必可將它思考與練習思考與練習一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標系如圖.xoy則面積函數,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(S那么, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx那么, ,0)(aCx 易證0)()0(a2. 設設作業作業P73 題題 2 ; 3; 4一點習題課 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,4,0)(上連續在閉區間xf備用題備用題 13