1、現(xiàn)代控制理論第五章 李雅譜諾夫穩(wěn)定性分析 2022-2-5控制科學(xué)與工程系25.1李雅譜諾夫意義下穩(wěn)定性的基本概念李雅譜諾夫意義下穩(wěn)定性的基本概念 000000( , ); ( ;, ),( ;, )xf x tx t x txx tx t1平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 0),(txfxe則稱(chēng)xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。對(duì)線性定常系統(tǒng)，則有 Axtxfx),(2李雅譜諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅譜諾夫意義下的穩(wěn)定性 exxk1222e11ee()() nnxxxxxxxe為球心，為球心，k為半徑的球域?yàn)榘霃降那蛴騟xx0初始狀態(tài)域00e( ;, )x t x tx狀態(tài)軌跡域如果對(duì)應(yīng)于每一個(gè)狀態(tài)的閉球域( )s，總存在

2、著一個(gè)初始狀態(tài)的閉球域( )s使得當(dāng)t無(wú)限增加時(shí)，從出發(fā)的軌跡不離開(kāi)( )s，系統(tǒng)平衡狀態(tài)ex在李雅譜諾夫意義下稱(chēng)為穩(wěn)定的。 ( )s2022-2-5控制科學(xué)與工程系3李雅譜諾夫意義下的穩(wěn)定李雅譜諾夫意義下的穩(wěn)定3漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性 如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài)ex在李雅譜諾夫意義下穩(wěn)定，且滿(mǎn)足在李雅譜諾夫意義下穩(wěn)定，且滿(mǎn)足 00lim( ;, )0etx t x tx漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定 2022-2-5控制科學(xué)與工程系44大范圍漸近穩(wěn)定性大范圍漸近穩(wěn)定性 對(duì)所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間的所有各點(diǎn)），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都對(duì)所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間的所有各點(diǎn)），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，那

3、么平衡狀態(tài)就叫做在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。保持漸近穩(wěn)定性，那么平衡狀態(tài)就叫做在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。 5不穩(wěn)定性不穩(wěn)定性 如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)0和任意一個(gè)實(shí)數(shù)和任意一個(gè)實(shí)數(shù)0，不管這二個(gè)實(shí)數(shù)有多么小不管這二個(gè)實(shí)數(shù)有多么小( )s內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài)內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài)0 x，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡脫離開(kāi)，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡脫離開(kāi)( )s那么平衡狀態(tài)那么平衡狀態(tài)ex就稱(chēng)為不穩(wěn)定的。就稱(chēng)為不穩(wěn)定的。 在在，以上所述穩(wěn)定性概念，若與t0無(wú)關(guān)，即狀態(tài)的具體初始時(shí)刻與平衡態(tài)是否穩(wěn)定無(wú)關(guān)，所涉及的穩(wěn)定性則為一致穩(wěn)定性。如一致李雅譜諾夫意義下的穩(wěn)定、一致漸進(jìn)穩(wěn)定及一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定等。 2022-

4、2-5控制科學(xué)與工程系56.2 李雅譜諾夫穩(wěn)定性判別方法李雅譜諾夫穩(wěn)定性判別方法 1李雅譜諾夫第一方法李雅譜諾夫第一方法 基本思路：求出系統(tǒng)的狀態(tài)方程，根據(jù)狀態(tài)方程的解判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，只要求出系統(tǒng)的特征值就可判別其穩(wěn)定性對(duì)于非線性系統(tǒng)，必須首先將系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性化，然后用線性化方程(即一次近似式)的特征值來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2022-2-5控制科學(xué)與工程系62.李雅譜諾夫第二方法李雅譜諾夫第二方法 李雅譜諾夫第二方法的基本思想是用能量變化的觀點(diǎn)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨著時(shí)間的推移逐漸減少，則系統(tǒng)就能穩(wěn)定；反之，若系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不斷地從外界吸

5、收能量，使其儲(chǔ)存的能量越來(lái)越大，則系統(tǒng)就不能穩(wěn)定。例如日常生活中的單擺，當(dāng)考慮空氣的阻尼，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；如果在理想真空中，甚至于因勢(shì)能給它不斷補(bǔ)充能量，系統(tǒng)就不能穩(wěn)定。 2022-2-5控制科學(xué)與工程系7（1） 標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)標(biāo)量函數(shù)的符號(hào) 標(biāo)量函數(shù)的正定性標(biāo)量函數(shù)的正定性 如果對(duì)所有在域如果對(duì)所有在域中的非零狀態(tài)中的非零狀態(tài)x，有，有V(x)0，而且在而且在x=0處有處有V(0)=0，那么在域，那么在域（域（域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)V(x)稱(chēng)為是正定的。稱(chēng)為是正定的。TxxxxxxV),(,)(21222122212)(xxxV22222112)(

6、xxxxV 標(biāo)量函數(shù)的正半定性標(biāo)量函數(shù)的正半定性 如果對(duì)所有在域如果對(duì)所有在域中的非零狀態(tài)中的非零狀態(tài)x，有，有V(x)0，而且在而且在x=0處有處有V(0)=0，那么在域，那么在域（域（域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的標(biāo)包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)量函數(shù)V(x)稱(chēng)為是正半定的。稱(chēng)為是正半定的。TxxxxxxxxV),(,)()(32123221TxxxxxxxV),(,)(3212221221)()(xxxV2022-2-5控制科學(xué)與工程系8 標(biāo)量函數(shù)的負(fù)定性標(biāo)量函數(shù)的負(fù)定性 如果對(duì)所有在域如果對(duì)所有在域中的非零狀態(tài)中的非零狀態(tài)x，有，有V(x)0. a若若0)(xV則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（如果隨

7、著則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（如果隨著x，有，有)(xV，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的）。，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的）。0)(xV，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。0)(xV，但，但)(xV不恒等于零（除了不恒等于零（除了0)0(V則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；但是，若則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；但是，若 )(xVb若若c若若以外），以外），恒等于零則按照恒等于零則按照李雅譜諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但不是李雅譜諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但不是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定的。示例2022-2-5控制科學(xué)與工程系113 李雅譜諾夫第二方法在線性定常系統(tǒng)中應(yīng)用李雅譜諾夫第二方法在線性定常系統(tǒng)中應(yīng)用 PxxxV

8、T)(1) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅譜諾夫穩(wěn)定性分析 Axx 假設(shè)假設(shè)A是非奇異矩陣，那么唯一的平衡狀態(tài)是在原點(diǎn)是非奇異矩陣，那么唯一的平衡狀態(tài)是在原點(diǎn)x = 0處處。 PxxxVT)(P0, PT=PxPxPxxxVTT)(PAxxPxAxTT)(PAxxPxAxTTTxPAPAxTT(QxxT()TQA PPA 正定李雅譜諾夫方李雅譜諾夫方程程 P0, PT=P( )TV xx Qx Q0Q0, QT=QP02022-2-5控制科學(xué)與工程系12定理定理 設(shè)描述系統(tǒng)的方程為：設(shè)描述系統(tǒng)的方程為：Axx 上式中，上式中，x為為n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；A為為nxn維常系數(shù)非奇異矩陣。維常系數(shù)非奇

9、異矩陣。平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)xe=0在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定一在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣Q，則存在著一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣，則存在著一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣P，使得使得 QPAPATQ0, QT=QP0PxxxVT)(是系統(tǒng)的一個(gè)李雅譜諾夫函數(shù)。是系統(tǒng)的一個(gè)李雅譜諾夫函數(shù)。 2022-2-5控制科學(xué)與工程系13幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意如果如果QxxxVT)(沿任意一條軌跡不恒等于零，那么沿任意一條軌跡不恒等于零，那么Q可取為可取為正半定的。正半定的。如果我們?nèi)∫粋€(gè)任意的正定矩陣（或者，如果如果我們?nèi)∫粋€(gè)任意的正定矩陣（或者，如果)(xV不恒等于零，則可取一個(gè)任

10、意的正半定矩陣不恒等于零，則可取一個(gè)任意的正半定矩陣Q），并解矩陣方程），并解矩陣方程 沿任一軌跡沿任一軌跡QPAPAT確定確定P。對(duì)于平衡狀態(tài)。對(duì)于平衡狀態(tài)x=0的漸近穩(wěn)定性，的漸近穩(wěn)定性，P的正定性是充要條件。的正定性是充要條件。 只要特殊的矩陣只要特殊的矩陣Q選成是正定的（或根據(jù)情況選為正半定的），選成是正定的（或根據(jù)情況選為正半定的），那么最終結(jié)果與矩陣那么最終結(jié)果與矩陣Q選擇無(wú)關(guān)。選擇無(wú)關(guān)。 在確定是不是存在一個(gè)正定的赫米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣在確定是不是存在一個(gè)正定的赫米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣P時(shí)，取時(shí)，取Q = I是很方便的，其中是很方便的，其中I是單位矩陣。于是，是單位矩陣。于是，P的各元素可

11、按下式確定：的各元素可按下式確定： TA PPAI 而后檢驗(yàn)矩陣而后檢驗(yàn)矩陣P是不是正定的。是不是正定的。 示例2022-2-5控制科學(xué)與工程系14(2) 線性定常離散系統(tǒng)的李雅譜諾夫穩(wěn)定性分析 設(shè)離散線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )() 1(kGxkx式中，x為n維狀態(tài)向量；G為n x n常系數(shù)非奇異矩陣。原點(diǎn)xe= 0是平衡狀態(tài)。 假設(shè)取一個(gè)正定的二次型函數(shù)（李雅譜諾夫函數(shù)）為 )()()(kPxkxkxVTP0, PT=P在離散系統(tǒng)中，我們采用Vx(k+1)和Vx(k)之差來(lái)代替)(xV，即 )()1()(kxVkxVkxV)()() 1() 1()(kPxkxkPxkxkxVTT)()()

12、()(kPxkxkPGxkGxTT)()()()(kPxkxkPGxGkxTTT)()(kxPPGGkxTT2022-2-5控制科學(xué)與工程系15定理定理 設(shè)描述系統(tǒng)的方程為：設(shè)描述系統(tǒng)的方程為：(1)( )x kGx k上式中，上式中，x為為n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；G為為nxn維常系數(shù)非奇異矩陣。維常系數(shù)非奇異矩陣。平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)xe=0在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定一在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣Q，則存在著一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣，則存在著一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)的矩陣P，使得使得 TG PGPQ Q0, QT=QP0PxxxVT)(是系統(tǒng)的一個(gè)李雅譜諾夫函數(shù)。是系統(tǒng)的一個(gè)李雅譜諾夫函數(shù)。 QPPGGT)()()(kQxkxkxVT示例2022-2-5控制科學(xué)與工程系16（3）利用李氏第二方法進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì) 利用李氏第二方法還可以對(duì)線性定常系統(tǒng)做結(jié)構(gòu)穩(wěn)定設(shè)計(jì)，以及選擇狀態(tài)反饋矩陣使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定