1、.1常系數非齊次線性微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第 八節型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第七章 .2)(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法待定系數法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .3)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 為實數 ,)(xPm設特解

2、為, )(*xQeyx其中 為待定多項式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數多項式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .4(2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項式, 故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項式,故特解

3、形式為xmexQxy)(*2小結小結 對方程,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *( )(0,1, 2)kxmyx Qx ek.5特別地特別地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.6例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :132330

4、10 xbbxb比較系數, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .7例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxeCeCY3221設非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .8.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解

5、解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設設代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1.9例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應齊次方程通解為1CY xeC2

6、xeC23原方程通解為x211Cy xeC2xeC23由初始條件得0432CC,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .10于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .11二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將 f (x) 轉化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點ximexP)()(機動 目錄 上頁

7、 下頁 返回 結束 .12第一步第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(則令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .13 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多項式為mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexPyqypy)(111)(1y

8、這說明為方程 的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 設則 有特解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .14第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結果, 根據疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .15第四步第四步 分析的特點yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因

9、此均為 m 次實多項式 .11yyy本質上為實函數 ,11yy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .16小小 結結:xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數qpxRxRexymmxksincos*則可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .17.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是是單單根根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,

10、2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2.18例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c0

11、43ad0 cb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .19例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數, 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設非齊次方程特解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .20例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (

12、1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為)(*2baxxy)sincos(xkxdx求下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xce.21例例7.求物體的運動規律. 解解: 問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程 tphxktxsindd222 當p k 時, 齊次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtp

13、axcossin非齊次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解為第七節例1 (P323)中若設物體只受彈性恢復力 f,sin的作用ptHF 和鉛直干擾力xox代入可得: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .22當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,)(sintkAxtppkhsin22自由振動強迫振動!22將很大振幅pkh 當 p = k 時, )cossin(tkbtkatx非齊次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .23若要利用共振現象, 應使 p 與 k 盡量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2隨著 t 的增大 , 強

14、迫振動的振幅tkh2這時產生共振現象 .可無限增大,若要避免共振現象, 應使 p 遠離固有頻率 k ;p = k .自由振動強迫振動xox對機械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機機座被破壞等, 但對電磁振蕩來說, 共振可能起有利作用, 如收音機的調頻放大即是利用共振原理. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .24內容小結內容小結xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*則設特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*則設特解為sin)(cos)(x

15、xRxxRmmnlm,max3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .25思考與練習思考與練習時可設特解為 xxxfcos)() 1當xexxxf22cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設sin)(cos)(xxRxxRmm機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .262. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中為實數 ) .解解: 特征方程,0442rr特

16、征根:221 rr對應齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexCCy221)(xex221機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .273. 已知二階常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數得01baca 201ba0a1b2c故原方程為xeyy2 對應齊次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為xxeCeCy21