1、自然指數和對數為背景的壓軸題解法注 : 本文以目前數學成績在一本線上下的學子的數學水準，進行展開講解。 根據“遺傳學規律” 明年全國乙卷再次考到的可能性極大， 打出來給學生將保準學生橫掃此類 壓軸題！源于課本：1-1 課本99頁B組1題或課本 2-2 第32頁B組1題的習題：利用函數的單調性， 證明下列不等式，并通過函數圖像直觀驗證： ex 1 x ；【探究拓展】探究 1：證明不等式 ex 1 x*變式 1：設 f (x)exxa ，其中 aR,若對于任意 xR ， f (x) 0恒成立，則參數 a的取值范圍是 _ a1變式 2：設 f (x)exax1，其中 aR，若對于任意x R， f (

2、x) 0 恒成立，則參數a 的取值范圍是 a1變式 3：設 f (x)aexx1，其中aR，若對于任意x R， f (x) 0恒成立，則參數a 的取值范圍是 a1點評：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦 探究 2：不等式 ex 1 x *有哪些等價變形并在坐標系中畫圖？變形 1：ex1x變形 2：x e1xx11變形 3：ln(1x) x(x1)變形 4：ln xx 1(x0) *變形 5：ln 1xx 1(x0)變形 6：ln x1 1(xx0)歸一：我們只要通過畫圖并記住 ex 1 x*, ln x x 1(x 0) *即可，考試出現了其它變形換元 轉化為這 2 個不等式即可。探究 3

3、：觀察：“插中”不等式（當然是我編的名字）變形 4：ln xx 1( x 0) *變形 6：ln x11 1( x 0) *x兩式相加除以2， 試比較：左邊 ln x還是右邊 1 （ x1）的大小并證明：x結論：“插中”不等式 *: 若 0 x 1，則 ln x 1 x 1 . ；若 x 1,則 ln x 1 x 1 ;2 x 2 x 請在坐標系中畫出圖像：這個圖像很漂亮，容易記住。點評：數學很美，插中不等式很明顯是加強，更加精準了，在高考中經常考到，往后看 . 總結：?ex 1 x*,? ln x x 1（x 0） *?“插中”不等式 * ，以上三式都是將自然指數和對數放 縮為我們更加熟悉的

4、一次函數或者反比例函數進行放縮處理。題型一：化歸為指數型 ex 1 x 放縮例 1（ 2010 年全國）設函數 f x ex 1 x ax2 。（ 1）若 a 0 ，求 f x 的單調區間； （ 2）若 x 0 時 f x 0，求 a 的取值范圍。 （提示： ex x 1 ）解：（1）時，. 當時，；當時， . 故在單調減少，在單調增加（2） 由（ I ）知，當且僅當時等號成立 . 故從而當，即時， ，而，于是當時，由可得 . 從而當時，故當時，而，于是當時， 綜合得的取值范圍為 .練習1：（ 2012 年全國）已知函數 f x f ' 1 ex 1f 0 x 1 x2 ，（ 1）2求

5、 f x 的解析式及單調區間；2）若 f x 12x2ax b, 求 a 1 b的最大值。很簡單，省略）練習2：（ 2013 年全國）已知函數 f x exlnm .當 m 2時，證明x 0. （很簡單，省略）練習3：（ 2016 年廣一模）已知函數x3,g x ln x 12 。 1 ）若曲線 y f x 在點0, f 0 處的切線斜率為 1，求實數 m的值。2）m 1 時，證明：3g x x3 。（ 2016 年廣二模也有用到）練習 4：已知函數 .求函數的最小值；若 0對任意的恒成立，求實數 a的值； 在的條件下，證明： .解：（ 1）由題意，由得 . 當時 , ；當時， . 在單調遞減

6、，在單調遞增 . 即在處取得極小值，且為最小值，其最小值為( 2)對任意的恒成立，即在上， .由( 1)，設，所以 .由得 .在區間上單調遞增，在區間上單調遞減， 在處取得極大值 .因此的解為， .(3)由( 2)知，因為，所以對任意實數均有，即 令 ，則 . .練習 5：已知函數 f(x)= eax x，其中 a0.(1) 若對一切 xR， f (x) 1恒成立，求 a的取值集合 .(2)在函數 f (x)的圖像上取定兩點 A(x1, f(x1) ， B(x2, f (x2) (x1 x2) ，記直線 AB的斜率為 K，問：是否存在 x0x1，x2)，使 f (x0) k 成立？若存在，求x

7、0 的取值范圍；若不存在，請說明理由答案】( 1)若 a 0 ，則對一切 x 0， f (x)axeax x 1，這與題設矛盾，又 a 0 ，故 a 0.ax 1 1 而 f (x) ae 1,令 f (x) 0,得x 1ln 1.aa111111當 x ln 時， f (x) 0, f ( x )單調遞減；當 x ln 時， f (x) 0, f(x) 單調遞增，故當 x lnaaaaaa1 11 1 1時， f (x) 取最小值 f( ln ) ln .a aa a a于是對一切 x R, f (x) 1恒成立，當且僅當1 1ln 1 1. a a a令 g(t) t tlnt,則 g(t

8、) ln t.當0 t 1時， g(t) 0,g(t)單調遞增；當 t 1時， g (t) 0,g(t)單調遞減 .(x0 ) 0, (x) a2eax 0,(x) 單調遞增，故這樣的c是唯一的，且 c 1ln eax2aa(x2ax1e1e . 故當且僅當x1)1 eax2 eax1x ( ln,x2)時，f (x0 ) k .a a(x2 x1)因 為函 數 y(x) 在區間 x1,x2 上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在 x0 (x1,x2)使故當 t 1時， g(t) 取最大值 g(1) 1.因此，當且僅當1即 a 1時，式成立a 綜上所述， a 的取值集合為 1 .x2 x1x2

9、 x1ax2ax1令 (x)f (x)ax e k aee1,則x2x1eax1(x1)eea(x2 x1) a(x2x1)1,2)由題意知， k f(x2) f(x1) eax2 eax1 1.(x2)ax2e ea(x1 x2 ) a(x1 x2) 1 . x2 x1令 F(t)ttet t 1，則 F (t) et 1.當 t 0 時， F (t)0,F(t) 單調遞減；當 t0 時， F (t)0, F (t)單調遞增 .故當 t 0， F(t)F(0) 0,即 et t 1 0.從而 ea(x2 x1)a(x2 x1) 1 0 ， ea(x1 x2) a(x1 x2) 10,又ax1

10、e1x2 x10,ax2e2x2 x10,所以 (x1)0, (x2) 0.1 eax2 eax1 綜上所述，存在 x0 (x1,x2)使 f (x0) k成立.且 x0的取值范圍為 ( ln,x2).a a(x2 x1)點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討 論思想、函數與方程思想，轉化與劃歸思想等數學思想方法 . 第一問利用導函數法求出 f (x) 取最小值1 1 1 1 1f( ln ) ln .對一切 xR，f(x)1 恒成立轉化為 f (x)min 1，從而得出 a 的取值集合；第二a a a a a問在假設存在的情況下進行推理，通

11、過構造函數，研究這個函數的單調性及最值來進行分析判斷 .練習 4：（ 2012 年山東）已知函數 f xln x k，曲線 y f x 在點 1,f 1 處的切線與 x軸平行。 1）求 k 的值； 2 ）求 fx 的單調區間； 3 ）設gxx2x f' x,其中 f'x 為f x 的導函數，證明：對任意 x 0, g (x)21 e 2 。（答案略）例 2、（2011 年湖北）已知函數 f x ln xx 1,x0,.求函數的最大值； 2）設 ak ,bk k 1,2,., n均為正數，證明：若a1b1 a2b2 . anbnb1 b2. bn ，1 （提示： ln x x 1

12、）解：（1） f （x） 的定義域為 （0,1)，令 f /(x) 1x0x1，f（x） 在 （0,1） 上遞增，在 （1,） 上遞減，故函數f(x)在 x1處取得最大值f (1) 02）由（）知當 x （0,) 時有 f (x) f(1)0即ln x ak,bk 0， bk lnakbk(ak 1),(k 1,2,Ln)nln akbkk1nbk(akk11)n n nakbkbklnk 1 k 1 k 1bkakk0即 ln( a1b1a2b2 L anbn)0 a1b1a2b2 L anbn 1練習 1: （ 2006 年全國）函數 fx x 1 ln x 1，若對所有的 x 1 都有x

13、 ax 成立，求實數 a 的取值范圍。（很簡單，省略）練習 2：已知函數 .（1）若，求的取值范圍；（2）證明： .解：（），題設等價于 .令，則當，；當時，是的最大值點，綜上，的取值范圍是（） 有（）知，即當時，；當時，x 的導函數。若練習 3：（ 2014 年陜西）設函數 f x ln 1 x ,g x xf ' x , x 0,其中 f ' x 是 f f x ag x 恒成立，求實數 a 的取值范圍。 （很簡單，省略）練習4：（ 2011浙江理22,替換構造） 已知函數 . 求的單調區間和極值；求證： .解：定義域為 ,.令，令 故的單調遞增區間為，的單調遞減區間為 的

14、極大值為證明：要證即證， 即證即證令，由可知在上遞減，故 即，令，故 累加得，故，得證法二： = ，其余相同證法 練習 5：已知函數（1）求函數的極值點。（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍。（ 3）證明： .解： （1） 的定義域為（ 1，+）， . 當時，則在（ 1， +）上是增函數。在( 1， +)上無極值點 . 當時，令，則 . 所以當時， 在上是增函數， 當時，在上是減函數。 時，取得極大值。 綜上可知，當時，無極值點； 當時，有唯一極值點 .(2) 由(1)可知，當時， ，不成立 .故只需考慮 . 由 (1) 知，若恒成立，只需即可， 化簡得： , 所以的取值范圍是 1 ，+) .

15、(3) 由(2) 知，練習 6：已知函數求函數的單調區間；若 0恒成立，試確定實數的取值范圍； 證明：當時， ； .解：函數的定義域為中， . 當 0時，則在上是增函數 . 當時，在上是增函數，在上是減函數 .由知，當 0時，在上是增函數 . 而， 0不成立 . 當時，由知，要使 0恒成立，則 0，解得 1. 由知當時，有在上恒成立，且在是減函數 . 又，當時， ，即.令則即，從而 .成立 .例3、( 2010湖北) 已知函數的圖象在點處的切線方程為.解：本題主要考察函數、導數、不等式的證明等基礎知識，同事考察綜合運用數學知識進行推理論證的能 力和分類討論的思想。，則有，解得 .由知，令， 則 ，當 ，若 ，則，是減函數，所以，故在上恒不成立。時，若，故當時， 。 綜上所述，所求的取值范圍為 由知：當時，有 . 令，有 當時， 令