1、一、換面法的根本概念一、換面法的根本概念變換投影面即變換投影面即“換面法。根據正投影的換面法。根據正投影的“真實性真實性 ，當空間的直線或平面與投影面平行時，其投影可以反映當空間的直線或平面與投影面平行時，其投影可以反映直線的實長和平面的真實的外形。根據正投影的直線的實長和平面的真實的外形。根據正投影的“積聚性積聚性 ，當空間的直線或平面與投影面垂直時，其投影積聚，當空間的直線或平面與投影面垂直時，其投影積聚成點或直線。成點或直線。變換投影面的根本原理是：設置新的投影面來替代原變換投影面的根本原理是：設置新的投影面來替代原來的某一投影面，并使新投影面與空間幾何元素處于平來的某一投影面，并使新投

2、影面與空間幾何元素處于平行或垂直的特殊位置。且使新投影面與原未被交換的投行或垂直的特殊位置。且使新投影面與原未被交換的投影面垂直。影面垂直。2 - 7 變換投影面變換投影面1、為求、為求AB實長可設一實長可設一V1投影面，投影面，V1面與面與AB平平行并垂直于行并垂直于H投影面。將投影面。將AB線向線向V1面作正投影，面作正投影，那么那么AB線在線在V1面上的投面上的投影便可反映實長。影便可反映實長。2、直線的新投影還可、直線的新投影還可反映反映角的實踐大小。角的實踐大小。2 - 7 變換投影面變換投影面換面法運用一：換面法運用一： 在在V、H兩投影面體系中，兩投影面體系中，AB為普通位置直線

3、，其兩面為普通位置直線，其兩面投影均不能反映實長。投影均不能反映實長。圖中圖中ABCABC平面為一平面為一鉛垂面，其程度投影積鉛垂面，其程度投影積聚為不斷線，正面投影聚為不斷線，正面投影為減少的類似形。為減少的類似形。為求得為求得ABCABC平面的平面的真實外形，可設一新投真實外形，可設一新投影面影面V1V1，V1V1面與面與ABCABC平平面平行并垂直于面平行并垂直于H H投影投影面。面。2 - 7 變換投影面變換投影面換面法運用二：換面法運用二：1、舊投影面：指圖中的、舊投影面：指圖中的V、H面；面；2、舊投影：指幾何元素在、舊投影：指幾何元素在V、H面上的投影；面上的投影；3、被交換的投

4、影面：圖中、被交換的投影面：圖中的新面的新面V1與與H面垂直，交換了面垂直，交換了舊投影面舊投影面V，因此，因此V面為被交換面為被交換的投影面的投影面,V面上的投影稱為被面上的投影稱為被交換的投影；交換的投影；2 - 7 變換投影面變換投影面二、換面法的術語：二、換面法的術語： 4、不變的投影面及不變投影：指圖中的H面以及幾何要 素在H面上的投影。 換面法的投影面轉換過程如下圖。換面法的投影面轉換過程如下圖。點擊演示動畫點擊演示動畫 二、換面法的術語：二、換面法的術語： 5、新投影面：指圖中的、新投影面：指圖中的V1面，假設需求也可設面，假設需求也可設H1面面 6、新投影軸：新投影面與不變投影

5、面的交線，如圖中的、新投影軸：新投影面與不變投影面的交線，如圖中的O1X1 7、新投影：指幾何要素在新投影面上的投影、新投影：指幾何要素在新投影面上的投影,如如a1b1換面法的投影規律：換面法的投影規律：在對幾何要素進展投影變換在對幾何要素進展投影變換時，仍舊遵照著正投影的根本時，仍舊遵照著正投影的根本規律以及投影面的展開方法。規律以及投影面的展開方法。2 - 7 變換投影面變換投影面V、H面上的投影；面上的投影；三、點的投影變換三、點的投影變換1、點的一次變換、點的一次變換V、H兩投影面體系中有一兩投影面體系中有一A點，如今適當位置設一點，如今適當位置設一V1面，面， V1和和H面構成新的兩

6、投影面體系。面構成新的兩投影面體系。A點在點在V1面上的正投影記面上的正投影記做做a1。a1與與a的連線和的連線和O1X1軸的交點記做軸的交點記做ax1。 將將V1與與H面展開。面展開。 點擊演示動畫點擊演示動畫2 - 7 變換投影面變換投影面1、點的一次變換、點的一次變換問題問題1：點的新投影：點的新投影a1與不變投影與不變投影a的連線的連線？ 垂直于新軸垂直于新軸O1X1。點的變換規律。點的變換規律1問題問題2：點的新投影：點的新投影a1到新軸到新軸O1X1ax1)的間隔的間隔？ 等于被交換的投影等于被交換的投影a到舊軸到舊軸ax的間隔。點的變的間隔。點的變換規律換規律2根據上述分析，便可

7、得出點的變換投影：變根據上述分析，便可得出點的變換投影：變換換H1面與變換面與變換V1面的規律是一樣的面的規律是一樣的 點的新投影與不變投影的連線垂直于新軸；點的新投影與不變投影的連線垂直于新軸； 點的新投影到新軸的間隔等于被交換的投影到點的新投影到新軸的間隔等于被交換的投影到 舊軸的間隔。舊軸的間隔。需求留意的是：誰是點的不變投影、被交換的投影。需求留意的是：誰是點的不變投影、被交換的投影。1、點的一次變換、點的一次變換作圖分析：作圖分析：從圖中標注可知變換的是從圖中標注可知變換的是V1V1投影投影面，面，aa為被交換的投影，為被交換的投影，a a為不變投為不變投影。按照點的變換規律即可作出

8、影。按照點的變換規律即可作出A A點點的新投影。的新投影。作圖步驟：作圖步驟：例：如以下圖，例：如以下圖，知知A點的兩面投點的兩面投影影a、a，試作出，試作出給定位置的給定位置的A點點新投影。新投影。1、點的一次變換、點的一次變換作圖分析：作圖分析：變換變換H1H1面與變換面與變換V1V1面的作圖分析和作圖步驟一樣。面的作圖分析和作圖步驟一樣。此題的投影變換作圖為此題的投影變換作圖為點點A的兩個一次變換。的兩個一次變換。例：知例：知A點的兩面投影點的兩面投影a、a，試作出給定位置的，試作出給定位置的A點新投點新投影。又：作出影。又：作出A點在點在H1面上的投影。面上的投影。在用投影變換的方法求

9、解一些實踐問題時，需求變換兩在用投影變換的方法求解一些實踐問題時，需求變換兩次投影面，這樣的變換方法稱為二次變換。次投影面，這樣的變換方法稱為二次變換。二次變換實踐上就是延續作出的兩個一次變換。其變換二次變換實踐上就是延續作出的兩個一次變換。其變換的原那么和變換的規律與一次變換方法完全一樣。的原那么和變換的規律與一次變換方法完全一樣。不過在作二次變換時要正確判別出不變投影、被交換的不過在作二次變換時要正確判別出不變投影、被交換的投影、新軸和舊軸，準確定出點的新投影的位置。投影、新軸和舊軸，準確定出點的新投影的位置。圖中先變換的是圖中先變換的是V1面，接著作第面，接著作第二次變換。此時的二次變換

10、。此時的H1面與面與V1面垂直，面垂直，被交換是被交換是H面，而面，而V1面為不變投影面為不變投影面。面。O2X2為新的投影軸，為新的投影軸，O1X1那那么成了舊投影軸。么成了舊投影軸。點擊演示動畫點擊演示動畫2、點的二次變換、點的二次變換例：如右圖，作出例：如右圖，作出A點的二點的二次變換投影圖。次變換投影圖。 作圖分析：兩次變換的規律是作圖分析：兩次變換的規律是一樣的，要留意的是在作第二次一樣的，要留意的是在作第二次變換時，定準點的新投影的位置。變換時，定準點的新投影的位置。作圖過程如下圖。作圖過程如下圖。四、直線的投影變換四、直線的投影變換直線的變換主要處理以下兩個方面問題：直線的變換主

11、要處理以下兩個方面問題： 求直線的實踐長度或傾角求直線的實踐長度或傾角 求直線的積聚性投影求直線的積聚性投影2 - 7 變換投影面變換投影面 變換直線可歸結于變換變換直線可歸結于變換直線上的兩端點的作圖。只直線上的兩端點的作圖。只是要根據處理的實踐問題確是要根據處理的實踐問題確定變換的新投影面的位置。定變換的新投影面的位置。 1、將普通位置直線變換為投影面平行線、將普通位置直線變換為投影面平行線經過一次變換可將普通位置直線變換為投影面平行線，經過一次變換可將普通位置直線變換為投影面平行線，求得直線的實踐長度以及直線對投影面的夾角。求得直線的實踐長度以及直線對投影面的夾角。為求得為求得ABAB線

12、的實長，所設置的新投影面線的實長，所設置的新投影面V1V1應與應與ABAB平行。平行。從直觀圖上可看出，表達新面位置的新軸就應平行于從直觀圖上可看出，表達新面位置的新軸就應平行于ABAB線的程度投影線的程度投影 abab。1、將普通位置直線變換為投影面平行線、將普通位置直線變換為投影面平行線例：求出例：求出AB直線的實長以及對直線的實長以及對H面傾角面傾角。作圖分析：在程度投影圖的適當位置作一平行于作圖分析：在程度投影圖的適當位置作一平行于ab的新軸的新軸 O1X1，然后按照點的變換規律作出，然后按照點的變換規律作出AB線的新投影。線的新投影。作圖步驟如圖示：作圖步驟如圖示：2、將投影面的平行

13、線變換為投影面垂直線、將投影面的平行線變換為投影面垂直線經過一次變換使得直線在新投影面經過一次變換使得直線在新投影面上的投影積聚為一點。因此所設置的上的投影積聚為一點。因此所設置的新投影面應與直線成垂直。新投影面應與直線成垂直。例：將例：將AB直線變換為一投影面垂直線。直線變換為一投影面垂直線。留意：應在反映直線實長的投影圖中進展變換。留意：應在反映直線實長的投影圖中進展變換。作圖分析：作圖分析： 所設的新投影面應所設的新投影面應垂直于垂直于ABAB線的正面線的正面投影。表達新面位投影。表達新面位置的新軸置的新軸O1X1O1X1應垂應垂直于直于abab。3、將普通位置直線變換為投影面垂直線、將

14、普通位置直線變換為投影面垂直線 要將普通位置直線變換為投影面垂直線那么需求作兩要將普通位置直線變換為投影面垂直線那么需求作兩次換面。從以下圖可看出，第一次換面將直線變換為投次換面。從以下圖可看出，第一次換面將直線變換為投影面平行線。再將投影面平行線變換成投影面垂直線，影面平行線。再將投影面平行線變換成投影面垂直線，使變換后直線的新投影積聚為一點。使變換后直線的新投影積聚為一點。 例：試將例：試將AB直線變換為一投影面垂直線。直線變換為一投影面垂直線。作圖分析：作圖分析： 第一次設置一與第一次設置一與 ABAB平行的平行的V1V1面，將面，將ABAB直線變換為投影面直線變換為投影面平行線。再設置

15、垂直于平行線。再設置垂直于ABAB線的線的H1H1面，那么面，那么ABAB的新投影積聚為的新投影積聚為一點。一點。3、將普通位置直線變換為投影面垂直線、將普通位置直線變換為投影面垂直線作圖過程如圖示：作圖過程如圖示：1作新軸作新軸O1平行于平行于ab(ab也也 可可)，作出第一次變換的新投影，作出第一次變換的新投影 a1b1；2作新軸作新軸O2垂直于垂直于a1b1，按，按 投影規律作出第二次變換的新投影規律作出第二次變換的新 投影投影a2b2。五、平面的投影變換五、平面的投影變換經過平面的變換主要處理兩方面的問題：經過平面的變換主要處理兩方面的問題： 將平面變換為投影面平行面，求得平面的實踐外

16、形將平面變換為投影面平行面，求得平面的實踐外形 將平面變換為投影面垂直面，求得平面與投影面的夾角將平面變換為投影面垂直面，求得平面與投影面的夾角點擊演示動畫點擊演示動畫2 - 7 變換投影面變換投影面 變換平面的方法同變換點、直變換平面的方法同變換點、直線一樣，只是由于要找的點比較線一樣，只是由于要找的點比較多，在作圖時更要細心。多，在作圖時更要細心。五、平面的投影變換五、平面的投影變換1、將投影面垂直面變換為投影面平行面、將投影面垂直面變換為投影面平行面作圖分析：作圖分析： 新投影面應平行于空新投影面應平行于空間平面，所以新投影軸就間平面，所以新投影軸就應平行于空間平面的積聚應平行于空間平面

17、的積聚性投影。即性投影。即O1X1abcO1X1abc。 投影面的空間轉換關投影面的空間轉換關系如下圖。系如下圖。2 - 7 變換投影面變換投影面例：用換面法求出例：用換面法求出ABC平面的實踐外形。平面的實踐外形。 作圖分析：由于作圖分析：由于ABCABC平面為一鉛平面為一鉛垂面垂面 ，那么，那么O1X1O1X1軸應平行于平面的軸應平行于平面的積聚性投影。積聚性投影。作作圖圖過過程程如如下下圖：圖：2 2、將普通位置平面變換為投影面垂直面、將普通位置平面變換為投影面垂直面將普通位置平面變換為投影面垂直面的作圖步驟如下：將普通位置平面變換為投影面垂直面的作圖步驟如下： 在空間平面內作一投影面平

18、行線以下圖中作了一條水在空間平面內作一投影面平行線以下圖中作了一條水 平線平線 設置與投影面平行線成垂直的新設置與投影面平行線成垂直的新 投影面如以下圖中設置的投影面如以下圖中設置的V1面面作圖分析：作圖分析： 在作圖時首先要思索的是如何確定新投影面的位置。在作圖時首先要思索的是如何確定新投影面的位置。要留意：要留意：新投影面垂直于空間平面內的一新投影面垂直于空間平面內的一條線，也就垂直于空間平面。條線，也就垂直于空間平面。作圖步驟如圖示：作圖步驟如圖示：例：將例：將ABCABC平面變換為投影面垂直面。平面變換為投影面垂直面。3 3、將普通位置平面變換為投影面平行面、將普通位置平面變換為投影面平行面上述的分析步驟實踐上就是將前面所引見的兩種變上述的分析步驟實踐上就是將前面所引見的兩種變換平面的方法綜合加以運用。換平面的方法綜合加以運用。 作圖分析：作圖分析： 將普通位置平面變換成投影面平行面要作將普通位置平面變換成投影面平行面要作兩次變換。即先變換