1、第二章第二章 時間序列的預處理時間序列的預處理本章結構本章結構平穩性檢驗平穩性檢驗1.純隨機性檢驗純隨機性檢驗2.2.1平穩性檢驗平穩性檢驗 平穩時間序列分析的基礎知識一、 隨機過程1、定義： 在數學上，隨機過程被定義為一組隨機變量，即，其中，T表示時間t的變動范圍，對每個固定的時刻 t而言，Zt是一隨機變量，這些隨機變量的全體就構成一個隨機過程。2、特征（1）隨機過程是隨機變量的集合（2）構成隨機過程的隨機變量是隨時間產生的，在任意時刻，總有隨機變量與之相對應.二、隨機序列（時間序列） 1、當時，即時刻t 只 取整數時，隨機過程 可寫成 .此類隨機過程 稱為隨機序列，也成時間 序列。可見（1

2、）隨機序列是隨機過程的一種，是將連續時間的隨機過程等間隔采樣后得到的序列；（2）隨機序列也是隨機變量的集合，只是與這些隨機變量聯系的時間不是連續的、而是離散的。三、時間序列的分布、均值、協方差函數1、分布函數(1)一維分布函數:隨機序列中每個隨機變量的分布函數.F1(z) ,F2(z) , Ft-1(z) , Ft(z) (2)二維分布函數:隨機序列中任意兩個隨機變量的聯合分布函數Fi,j(zi,zj).i,j=,-2,-1,0,1,2,(3)m維分布函數1 2, , ,1212( ,) ,(1,2, ), ,mt ttmmFx xxmmt ttT 2、均值函數對隨機序列中的任一隨機變量取期望

3、。當t取遍所有可能整數時，就形成了離散時間的函數ut . 稱ut 為時間序列的均值函數。3.方差4.自協方差 )(xxdFEXttt)()()(22xdFxXEDXttttt)(),(ssttXXEst5.自相關系數當t,s取遍所有可能的整數時，就形成了時間序列的自相關函數，它描述了序列的自相關結構。它的本質等同于相關系數。 ( , )( , )tst st sDXDX平穩時間序列的定義平穩時間序列的定義平穩時間序列的定義v 嚴平穩 嚴平穩是一種條件比較苛刻的平穩性定義，它認為只有當序列所有的統計性質都不會隨著時間的推移而發生變化時，該序列才能被認為平穩。v 寬平穩 寬平穩是使用序列的特征統計

4、量來定義的一種平穩性。它認為序列的統計性質主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩（二階），就能保證序列的主要性質近似穩定。 平穩時間序列的統計定義平穩時間序列的統計定義 v滿足如下條件的序列稱為嚴平穩序列v滿足如下條件的序列稱為寬平穩序列),(),(21,21,2121mtttmtttxxxFxxxFmm有，正整數，正整數Ttttmm,21TtskksttskkstTtEXTtEXtt且，為常數，,),(),()3,)2,) 12嚴平穩與寬平穩的關系嚴平穩與寬平穩的關系v 一般關系 嚴平穩條件比寬平穩條件苛刻，通常情況下，嚴平穩（低階矩存在）能推出寬平穩成立，而寬平穩序列不能反推嚴平

5、穩成立v 特例 不存在低階矩的嚴平穩序列不滿足寬平穩條件，例如服從柯西分布的嚴平穩序列就不是寬平穩序列 當序列服從多元正態分布時，寬平穩可以推出嚴平穩平穩時間序列的統計性質平穩時間序列的統計性質 v 常數均值 平穩時間序列均值為常數，為分析方便，假定E zt=0，當均值不為零時，給每個值減去均值后再求均值，即等于0。v 自協方差函數和自相關函數只依賴于時間的平移長度而與時間的起止點無關 延遲 自協方差函數 由此看出平穩序列方差為常量 延遲 自相關系數k( )(0)kk為整數kkttk),()(k自相關系數的性質自相關系數的性質v 規范性v 對稱性 v 非負定性 v 非唯一性 01 ,1,kk且

6、kk011102120mmmmmmm為非負定陣，正整數一個平穩時間序列一定唯一決定了它的自相關函一個平穩時間序列一定唯一決定了它的自相關函數，但一個自相關函數未必唯一對應著一個平穩數，但一個自相關函數未必唯一對應著一個平穩時間序列。時間序列。平穩性的重大意義平穩性的重大意義v 傳統統計分析的數據結構 有限個變量，每個變量有多個觀察值v 時間序列數據結構 可列多個隨機變量，而每個變量只有一個樣本觀察值v時間序列并不是一個隨機變量的反復抽樣，而是隨機過程的一個實現，每個數據都是特定時間隨機變量的唯一實現值，時間序列樣本均值和方差的含義與截面數據也不同，這樣以隨機變量總體均值和方差的推斷為基礎的計量

7、經濟分析的基礎就會出現問題。v并不是以時間序列數據為基礎的計量分析都會存在問題 只要所使用的時間序列數據是平穩的，以時間序列數據為基礎的計量經濟分析就是有效的。u避免避免“偽回歸偽回歸“平穩性的重大意義平穩性的重大意義v 在平穩序列場合，序列的均值等于常數，這意味著原本含有可列多個隨機變量的均值序列變成了只含有一個變量的常數序列。v 原本每個隨機變量的均值（方差，自相關系數）只能依靠唯一的一個樣本觀察值去估計，現在由于平穩性，每一個統計量都將擁有大量的樣本觀察值。v 這極大地減少了隨機變量的個數，并增加了待估變量的樣本容量。極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對特征統計量的估計精度, ,t

8、tTtT平穩性的檢驗平穩性的檢驗平穩性的檢驗：圖檢法、假設檢驗（單位根檢驗）1.圖檢驗方法v時序圖檢驗 根據平穩時間序列均值、方差為常數的性質，平穩序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。 案例例例2.1:中國紗年產量中國紗年產量時序圖時序圖例例2.2:奶牛月產奶量奶牛月產奶量時序圖時序圖例例2.3：北京市每年最高氣溫北京市每年最高氣溫時序圖時序圖v自相關圖檢驗 平穩時間序列過程的自協方差，或由協方差計算的自相關函數，應該很小、很快趨向于0，具有截尾或拖尾特征 。這些特征正是判斷時間序列平穩性的重要依據。v 首要問題是計算自相關函數。

9、自相關函數是以協方差函數為基礎定義的 ，因為只有時間序列的一個實現，因此不可能根據隨機變量協方差、方差的定義計算，只能用樣本，也就是時間序列觀測值的時間平均代替總體平均，時間矩代替總體矩，得到自相關函數的估計。 21v自相關函數最好的估計方法是樣本自相關函數： 其中： 0kknYYYYntkttk1)(210()nttYYn例例2.1自相關圖自相關圖例例2.2 自相關圖自相關圖例例2.3自相關圖自相關圖本章結構本章結構平穩性檢驗平穩性檢驗1.純隨機性檢驗純隨機性檢驗2.2.2 純隨機性檢驗純隨機性檢驗 v本節結構 純隨機序列的定義 純隨機性的性質 純隨機性檢驗純隨機序列的定義純隨機序列的定義v

10、純隨機序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質 TststststTtEXt, 0,),()2(,) 1 (2標準正態白噪聲序列時序圖標準正態白噪聲序列時序圖 白噪聲序列的性質白噪聲序列的性質 v 純隨機性 各序列值之間沒有任何相關關系，即為 “沒有記憶”的序列 v 方差齊性 根據馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小二乘法得到的未知參數估計值才是準確的、有效的00k(k)， )0(2tDX 在統計學中，高斯馬爾可夫定理陳述的是：在誤差零在統計學中，高斯馬爾可夫定理陳述的是：在誤差零均值，同方差，且互不相關的線性回歸模型中，回歸系數均值，同方差，且互不相關的線性回歸模型中，回歸系數的最佳

11、無偏線性估計（的最佳無偏線性估計（BLUEBLUE）就是最小方差估計。一般而）就是最小方差估計。一般而言，任何回歸系數的線性組合的最佳無偏線性估計就是它言，任何回歸系數的線性組合的最佳無偏線性估計就是它的最小方差估計。在這個線性回歸模型中，誤差既不需要的最小方差估計。在這個線性回歸模型中，誤差既不需要假定正態分布，也不需要假定獨立（但是需要不相關這個假定正態分布，也不需要假定獨立（但是需要不相關這個更弱的條件），還不需要假定同分布。更弱的條件），還不需要假定同分布。純隨機性檢驗純隨機性檢驗 v檢驗原理v假設條件v檢驗統計量 v判別原則Barlett定理定理 v如果一個時間序列是純隨機的，得到一

12、個觀察期數為 的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關系數將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數倒數的正態分布0, )1, 0(knNkn假設條件假設條件v原假設：延遲期數小于或等于 期的序列值之間相互獨立v備擇假設：延遲期數小于或等于 期的序列值之間有相關性 1, 0210mHm：mkmHk，：至少存在某個1, 01mm檢驗統計量檢驗統計量vQ統計量 vLB統計量（小樣本） )(212mnQmkk)()()2(212mknnnLBmkk判別原則判別原則v拒絕原假設 當檢驗統計量大于 分位點，或該統計量的P值小于 時，則可以以 的置信水平拒絕原假設，認為該序列為非白噪聲序列v接受原假設 當檢驗統計量小于 分位點，或該統計量的P值大于 時，則認為在 的置信水平下無法拒絕原假設，即不能顯著拒絕序列為純隨機序列的假定 21( )m121( )m1例例2.4：標準正態白噪聲序列純隨機性檢驗標準正態白噪聲序列純隨機性檢驗樣本自相關圖樣本自相關圖檢驗結果檢驗結果LBQLBQ延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平 ，所以該序列不能拒絕純隨機的原假設