1、u行列式行列式u矩陣矩陣u線性方程組線性方程組u矩陣相似對角化矩陣相似對角化知識要點：知識要點：u行列式定義行列式定義u行列式性質行列式性質u行列式展開行列式展開u“Crammer”法則法則行列式定義：行列式定義：一、一、n級排列（逆序數、奇偶性）級排列（逆序數、奇偶性）二、二、n階行列式的定義階行列式的定義 nnnpppnnppppppaaaD2121)2121()1(級級排排列列 nnnnjijijijjjiiiaaa22112121)()() 1( 特別注意行列式各項的特征特別注意行列式各項的特征項的一項的一般形式般形式行列式的性質行列式的性質u換行（換列）反號換行（換列）反號u倍乘增倍

2、性倍乘增倍性u倍加不變性倍加不變性u轉置不變性轉置不變性u分拆原則，相加原則分拆原則，相加原則行列式的展開行列式的展開按行展開按行展開且且按列展開按列展開 ;0,;0,11jijiDAajijiDAajknkikkjnkki掌握：掌握：1、選取零元素較多的行（列）展開；、選取零元素較多的行（列）展開；2、將消元和展開結合起來，迅速降階、將消元和展開結合起來，迅速降階.行列式的計算（重點）行列式的計算（重點）常用方法常用方法：u三角化法三角化法u加邊法加邊法u歸納法歸納法u化為已知行列式（一些有固定形式的行列化為已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：各行元素之和相等、三角形、爪型、式，如：各行

3、元素之和相等、三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式等）行列式等）Crammer法則法則 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111方程的個數未知數個數方程的個數未知數個數)., 2 , 1(njDDxjj若系數行列式不等于零，則方程組有唯一解若系數行列式不等于零，則方程組有唯一解特別注意方程組為齊次特別注意方程組為齊次的情況的情況u行列式計算行列式計算（重點）（重點）1、具體階數行列式計算、具體階數行列式計算2、較簡單的、較簡單的n階行列式計算階行列式計算u與行列式定義、性質有關的問題與行列式定義、性質有關的問題u需利用行列式進行判定

4、的問題需利用行列式進行判定的問題如：如：1、“Crammer”法則判定方程組的解法則判定方程組的解2、矩陣可逆性、矩陣可逆性3、向量組相關性（向量個數向量維數）、向量組相關性（向量個數向量維數）4、兩個矩陣相似的必要條件、兩個矩陣相似的必要條件知識要點：知識要點：u矩陣的基本定義和相關概念矩陣的基本定義和相關概念u矩陣的關系、運算和變換矩陣的關系、運算和變換u分塊矩陣分塊矩陣u可逆矩陣（分塊矩陣求逆的方法）可逆矩陣（分塊矩陣求逆的方法）u初等矩陣初等矩陣和初等變換，逆矩陣的求法和初等變換，逆矩陣的求法矩陣的基本定義和相關概念矩陣的基本定義和相關概念u矩陣的形狀，行數，列數，方陣；矩陣的形狀，行

5、數，列數，方陣；u常見的特殊矩陣：常見的特殊矩陣：行、列矩陣，零矩陣（非零矩陣），三行、列矩陣，零矩陣（非零矩陣），三角陣，對角陣，單位陣，數量陣，對稱陣，角陣，對角陣，單位陣，數量陣，對稱陣，反對稱陣、正交陣等；反對稱陣、正交陣等；u方陣的行列式方陣的行列式矩陣的關系、運算和變換矩陣的關系、運算和變換u矩陣的運算：矩陣的運算：1. 加法、減法、乘法、除法（乘于逆矩加法、減法、乘法、除法（乘于逆矩陣），乘方（只適用于方陣）特別注意矩陣運陣），乘方（只適用于方陣）特別注意矩陣運算中的反常情況算中的反常情況（交換律、消去律、和數運算（交換律、消去律、和數運算的區別與聯系）的區別與聯系）.2. 矩陣

6、的求逆運算矩陣的求逆運算.u矩陣的關系矩陣的關系 同型、相等、互逆；同型、相等、互逆；u矩陣的分塊處理矩陣的分塊處理1. 分塊的合理性要求，保證運算可行；分塊的合理性要求，保證運算可行；2. 分塊運算原則：分塊運算原則：“子塊視如元素子塊視如元素”、“大轉小轉大轉小轉”3. 一些特殊的分塊矩陣一些特殊的分塊矩陣（行（列）向量（行（列）向量組、準對角陣（其逆矩陣）、階梯型矩陣）組、準對角陣（其逆矩陣）、階梯型矩陣） 4. 特殊的分塊矩陣特殊的分塊矩陣求其逆矩陣求其逆矩陣可逆矩陣可逆矩陣u伴隨矩陣的定義及特性伴隨矩陣的定義及特性EAAAAA *)()()()(TTnAAAAAAAA 1111u逆矩

7、陣的求法：逆矩陣的求法：1. 二階矩陣用伴隨矩陣法；二階矩陣用伴隨矩陣法；2. 三階以上一般用初等變換法三階以上一般用初等變換法.u證明矩陣可逆的常用思路：證明矩陣可逆的常用思路：1. 利用定義構造矩陣利用定義構造矩陣B，使得，使得ABE；2. 證明矩陣的行列式不等于零；證明矩陣的行列式不等于零；3. 證明方陣滿秩；證明方陣滿秩；u矩陣的基本運算及運算性質矩陣的基本運算及運算性質u較為簡單的分快矩陣運算和求逆較為簡單的分快矩陣運算和求逆u伴隨矩陣、可逆矩陣伴隨矩陣、可逆矩陣1、與伴隨矩陣性質相關的問題、與伴隨矩陣性質相關的問題2、矩陣可逆性的證明、矩陣可逆性的證明3、逆矩陣的求法（初等變換法）

8、，求簡單的、逆矩陣的求法（初等變換法），求簡單的矩陣方程矩陣方程4、初等矩陣的運算性質、初等矩陣的逆矩陣、初等矩陣的運算性質、初等矩陣的逆矩陣知識要點：知識要點：u向量的基本定義和相關概念向量的基本定義和相關概念u向量的線性關系向量的線性關系（1 1）一個向量和向量組的關系；）一個向量和向量組的關系；（2 2）向量組內部的關系；）向量組內部的關系；（3 3）向量組與向量組的關系）向量組與向量組的關系. .u向量組的秩、矩陣的秩向量組的秩、矩陣的秩重點要求的幾項技能：重點要求的幾項技能：u判定或證明向量組的線性相關性（行列式，秩，判定或證明向量組的線性相關性（行列式，秩，利用性質）利用性質）u求

9、向量組的秩、矩陣秩、極大線性無關組及線求向量組的秩、矩陣秩、極大線性無關組及線性表示性表示線性表示線性表示可被向量組可被向量組向量向量m ,21(*)22112222212111212111 nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa線性方程組線性方程組有解有解特別當表出向量組的特別當表出向量組的“向量個數向量維數向量個數向量維數”時，則有：時，則有：;0,21”向向量量組組唯唯一一表表出出可可被被“時時 n對增廣矩陣進行初等行變換化階梯對增廣矩陣進行初等行變換化階梯1、利用定義，特別注重線性無關判定的邏輯過程；、利用定義，特別注重線性無關判定的邏輯過程；2、利用判定方程組

10、（齊次線性方程組）、利用判定方程組（齊次線性方程組）,特別注特別注重一些特殊情形下的判定；重一些特殊情形下的判定；3、利用一些相關性質、利用一些相關性質.1、線性相關和線性表示的關系；、線性相關和線性表示的關系；2、線性相關、線性表示、極大線性無關組和向量、線性相關、線性表示、極大線性無關組和向量組秩的關系組秩的關系.3、線性表出（或等價）和向量組、線性表出（或等價）和向量組“大小大小”或或“秩秩”的關系的關系.4、向量組秩和矩陣秩的關系、向量組秩和矩陣秩的關系.5、方陣秩、行列式、可逆性、行（列）向量組相、方陣秩、行列式、可逆性、行（列）向量組相關性、線性方程組（齊次、非齊次）的解況關性、線

11、性方程組（齊次、非齊次）的解況.(*)000221122221211212111 mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解有非零解判定方程判定方程線線性性相相關關m ,21特別當向量組的特別當向量組的“向量個數向量維數向量個數向量維數”時，則有：時，則有：.0,;0,2121”向向量量組組線線性性相相關關“”向向量量組組線線性性無無關關“ nn當當向量維數向量維數向量個數向量個數”時，則有向量組必時，則有向量組必線性相關線性相關.,212121表表示示形形式式唯唯一一線線性性表表示示，且且必必可可由由線線性性相相關關，則則有有，線線性性無無關關

12、，而而若若向向量量組組定定理理：mmm 定理：定理： 向量組線性相關的充要條件是至少有一個向量向量組線性相關的充要條件是至少有一個向量可以被其余向量線性表出可以被其余向量線性表出.定理：定理： 向量組線性無關的充要條件是任何一個向量均向量組線性無關的充要條件是任何一個向量均不能被其余向量線性表出不能被其余向量線性表出.u“短短”向量組無關必有向量組無關必有“長長”向量組無關向量組無關u“長長”向量組相關必有向量組相關必有“短短”向量組相關向量組相關u “多多”向量組無關必有向量組無關必有“少少”向量組無關向量組無關u “少少”向量組相關必有向量組相關必有“多多”向量組相關向量組相關u“等價無關

13、組等價無關組”具有相同的具有相同的“多、少多、少”任何一個向量組都與其極大線性無關組任何一個向量組都與其極大線性無關組等價等價.一個向量組的極大線性無關組不唯一，一個向量組的極大線性無關組不唯一，且彼此等價，且含有相同個數的向量且彼此等價，且含有相同個數的向量（秩）（秩）.1、向量組線性無關、向量組線性無關 當且僅當當且僅當其其“秩秩”等于等于向量組所含向量組所含向量個數向量個數.2、向量組線性相關、向量組線性相關 當且僅當當且僅當其其“秩秩”小于小于向量組所含向量組所含向量個數向量個數.兩個兩個等價等價的向量組必定具有相同的的向量組必定具有相同的秩秩. （反之不正確）（反之不正確）u初等變換

14、不改變矩陣的初等變換不改變矩陣的秩秩.u等價矩陣具有相同的等價矩陣具有相同的秩秩.u矩陣轉置，矩陣轉置，秩秩不變不變.u任何矩陣與可逆矩陣相乘，任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩秩不變不變.1. 不改變列部分組的線性相關性不改變列部分組的線性相關性.2. 將列極大無關組變為列極大無關組將列極大無關組變為列極大無關組.3. 不改變矩陣列向量組的線性表出方式不改變矩陣列向量組的線性表出方式. m 21將向量組按列排放將向量組按列排放初等行變換初等行變換 rmrrrrmrrmrrAAAAAAAAAAAA121222211111211R 1i 2i ri 一個極大無關組一個極大無關組riii ,21原向量組一

15、個極大無關組原向量組一個極大無關組（滿秩）（滿秩）nAR )(）可逆（非奇異、非退化可逆（非奇異、非退化A0 A關關個個行行（列列）向向量量線線性性無無的的nA只有零解只有零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 有唯一解有唯一解非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAX （不滿秩）（不滿秩）nAR )(不可逆（奇異、退化）不可逆（奇異、退化）A0 A關關個個行行（列列）向向量量線線性性相相的的nA有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 線線性性相相關關n ,21211121221121),(,max),(,)()(),(min)()()()()()(000)()(,)()()()(,m

16、in)(RRRRRRRRRBRARABRnBRARBRARBARkifkifARkARBAifBRARARARnmARtstsT 則：則：，若：若：為等價矩陣為等價矩陣u向量組線性相關性的判定或證明向量組線性相關性的判定或證明u向量組線性表示的判定或證明向量組線性表示的判定或證明u求向量組的秩、極大線性無關組、將其余向量求向量組的秩、極大線性無關組、將其余向量用極大無關組表示用極大無關組表示u與向量組或矩陣秩有關的問題與向量組或矩陣秩有關的問題) 1 . 1 . 4(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa重點：重點：利用增廣矩陣

17、的初等變換判定方程組利用增廣矩陣的初等變換判定方程組的解況，并求出解（或通解）的解況，并求出解（或通解）AX=b有解有解 R(A)=R(A,b)Rn 無窮解無窮解無解無解 R(A) R(A,b)R=n 唯一解唯一解n-r個自由未知量個自由未知量一般（非齊次）線性方程組解況判定：一般（非齊次）線性方程組解況判定：AX=0Rn 無窮多解無窮多解（有非零解）（有非零解）R =n 唯一解唯一解（只有零解）（只有零解）n-r個自由未知量個自由未知量必有零解必有零解特別，當特別，當方程個數方程個數 變元個數變元個數時，方程必時，方程必有非零解有非零解. .齊次線性方程組解況判定：齊次線性方程組解況判定：齊

18、次方程組和非齊次線性方程組解的結構：齊次方程組和非齊次線性方程組解的結構：u齊次線性方程組的基礎解系特征（特別所含解齊次線性方程組的基礎解系特征（特別所含解向量個數）以及通解表示，求法；向量個數）以及通解表示，求法；u非齊次線性方程組解的結構，通解表示以及求非齊次線性方程組解的結構，通解表示以及求法法u含參數線性方程組解況以及求解含參數線性方程組解況以及求解u與齊次方程組的基礎解系特征，通解特征，與齊次方程組的基礎解系特征，通解特征，非齊次線性方程組通解特征有關的問題非齊次線性方程組通解特征有關的問題u需利用線性方程組的解況判定的相關問題，需利用線性方程組的解況判定的相關問題，如向量組的線性相關性，線性表示等等如向量組的線性相關性，線性表示等等u與特征值、特征向量有關的問題與特征值、特征向量有關的問題1、特征問題、特征多項式、特征矩陣，特征值、特征問題、特征多項式、特征矩陣，特征值、特征向量的求法；特征向量的求法；2、由矩陣運算或變型所演化出來的特征值、特、由矩陣運算或變型所演化出來的特征值、特征向量（逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣多項式等）征向量（逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣多項式等）3、方陣、實對稱矩陣的特征值、特征向量性質、方陣、實對稱矩陣的特征值、特征向量性質u相似矩陣相似矩陣1、相似矩陣的一些性質、相似矩陣的一些性質2、矩陣可相似對角化