1、 9.4 微分方程在經濟學中的運用一、新產品的推行模型二、價風格整模型三、人才分配問題模型, )(,txt 時刻的銷量為時刻的銷量為市場市場設有某種新產品要推向設有某種新產品要推向)449()(dd xNkxtx,N定定的的市市場場容容量量考考慮慮到到產產品品銷銷售售存存在在一一,同時同時于是有于是有一、新產品的推行模型,品品每每個個產產品品都都是是一一個個宣宣傳傳由由于于產產品品性性能能良良好好因此因此,)(dd成成正正比比與與時時刻刻產產品品銷銷售售的的增增長長率率txtxt,統(tǒng)計表明統(tǒng)計表明,)(dd也成正比也成正比客潛在的銷售量客潛在的銷售量與尚未購買該產品的顧與尚未購買該產品的顧tx

2、Ntx .0為為比比例例系系數(shù)數(shù)其其中中常常數(shù)數(shù) k分別變量，積分，可以解得分別變量，積分，可以解得）（459e1)( kNtCNtx也稱為邏輯斯蒂曲線也稱為邏輯斯蒂曲線.由由22)e1(eddkNtkNtCkCNtx 以及以及33222)e1()1e(eddkNtkNtkNtCCNCktx 方程方程 也稱為邏輯斯也稱為邏輯斯蒂模型，蒂模型，)449( 通解表達式通解表達式)459( ,*)(0時時當當Ntx ,01e* kNtC當當,2*)(時時當當Ntx ,2)(*時時當當Ntx ,的一半時的一半時量量即當銷量達到最大需求即當銷量達到最大需求N,銷售速度不斷增大銷售速度不斷增大.銷售速度逐

3、漸減少銷售速度逐漸減少,一半時一半時當銷量不足當銷量不足 N,當銷量超過一半時當銷量超過一半時,0dd tx則有則有.)(單單調調增增加加即即銷銷量量tx,2*)(時時即即Ntx ;0dd22 tx;0dd22 tx,產品最為暢銷產品最為暢銷22d0;dxt .從從市市場場供供求求關關系系商商品品的的價價格格變變化化主主要要服服,的單調遞增函數(shù)的單調遞增函數(shù)是價格是價格商品供給量商品供給量一般地一般地PS.的的單單調調遞遞減減函函數(shù)數(shù)商商品品需需求求量量是是價價格格 P求函數(shù)分別為求函數(shù)分別為設商品的供給函數(shù)和需設商品的供給函數(shù)和需,)(bPaPS )469()( PPD .0,0, bba且

4、且均為常數(shù)均為常數(shù)其中其中當供應量和需求量相等時當供應量和需求量相等時,二、價風格整模型由由 可得供求平衡時的價錢可得供求平衡時的價錢)469( baPe .為為均均衡衡價價格格并并稱稱eP,一般地說一般地說,時時當當DS ,時時當當DS .商品價格要落商品價格要落的的變變化化率率時時刻刻的的價價格格假假設設因因此此)(,tPt,成成正正比比與與超超額額需需求求量量SD 于是有于是有)()(ddPSPDktP .,數(shù)數(shù)用來反應價格的調整系用來反應價格的調整系其中其中0 k方程方程,可得可得)479()(dd PPtPe ,商品價格要漲商品價格要漲將將 代入代入)469( ,0)( kb 其中常

5、數(shù)其中常數(shù)方程方程(9-47)(9-47)的通解為的通解為teCPtP e)(,)(00PP 假假設設初初始始價價格格代入上式代入上式 , 得得,ePPC 0于是上述價風格整模型的解為于是上述價風格整模型的解為teePPPtP e )()(0,知知由由0 ).()(,ePtPt時時將將逐逐漸漸趨趨實實際際價價格格說說明明隨隨著著時時間間不不斷斷推推延延)(,tP.eP近均衡價格近均衡價格 每年大學畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在每年大學畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學校充實教師隊伍學校充實教師隊伍,其他人員將分配到國民經濟其其他人員將分配到國民經濟其他部門從事經濟和管理任務他部門從事經濟和管

6、理任務.),(txt1年年教教師師人人數(shù)數(shù)為為設設目目科學技術和管理人員數(shù)科學技術和管理人員數(shù)),(tx2為為,個個畢畢業(yè)業(yè)生生個個教教員員每每年年平平均均培培養(yǎng)養(yǎng)又又設設 1每年每年調出調出理崗位上退休、死亡或理崗位上退休、死亡或從教育、科技和經濟管從教育、科技和經濟管),(10 人人員員的的比比率率為為表示每年大學表示每年大學)(10 ,所占比率所占比率畢業(yè)生中從事教師職業(yè)畢業(yè)生中從事教師職業(yè)于是有方程于是有方程三、人才分配問題模型)489(dd111 xxtx )499()1(dd212 xxtx 方程方程(9-48)(9-48)有通解有通解)509(e)(11 tCx ,)0(101x

7、x 若若設設于是得特解于是得特解)519(e)(101 txx ,101xC 則則)529(e)1(dd)(1022 txxtx )539(e)1(e)(1022 ttxCx ,)0(202xx 若設若設,110202xxC 則則于是得特解于是得特解)549(e1e1)(1010202 ttxxxx 將將 代入代入 , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?519( )499( 求解方程求解方程 , 得通解得通解)529( , )0()549()519(1x別別為為分分別別表表示示在在初初始始人人數(shù)數(shù)分分和和 ,)0(2的情況下的情況下x,從結果看出從結果看出,的的取取值值對對應應于于 年年教教師師隊隊伍伍在在 t.理人員人數(shù)理人員人數(shù)的人數(shù)與科技和經濟管的人數(shù)與科技和經濟管,1界界即畢業(yè)生全部留在教育即畢業(yè)生全部留在教育如果取如果取 ,時時則當則當t, 由由于于,)(1 tx必必有有,0)(2加加說說明明教教師師隊隊伍伍將將迅迅速速增增而而tx,發(fā)發(fā)展展勢勢必必要要影影響響經經濟濟不不斷斷萎萎縮縮而而科科技技和和經經濟濟管管理理隊隊伍伍.發(fā)發(fā)展展反反過過來來也也會會影影響響教教育育的的,接近于零接近于零如果如果 ,0)(1tx則則,0)(2tx同時也導致同時也導致,將影響人才的培養(yǎng)將影響人才的培養(yǎng),伍伍例例的的畢畢業(yè)業(yè)生