1、橢圓及其標準方程教案2教學目的(1)使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程；(2)通過橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力教學過程一、橢圓概念的引入第一組問題復習提問：1什么叫做曲線的方程？2直線方程的一般形式是什么？簡述直線與二元一次方程的關系3圓的一般方程是什么？主要特征是什么？對上述問題學生的回答基本正確，如一般同學均能初步了解曲線方程的意義，理解直線與二元一次方程AxByC0是一一對應關系，掌握圓的一般方程為x2y2DxEyF0，它是關于x、y的二元二次方程，且具有以下重要特征：(1)x2與y2的系數都是1；(2)缺xy這樣的項；(3

2、)D2E24F0溫故而知新，以舊帶新，便于引導學生在已有的知識基礎上去探求新知識第二組問題引導學生聯想、歸納、分析、發現新問題：1如前所述，每一個二元一次方程都表示一條直線，那么每一個二元二次方程是否都表示圓，若不是，具備什么條件下它所表示的曲線就不是圓？對此問題學生一般能回答：“當x2與y2系數不相等時或xy項的系數不為零有的同學指出不滿足上述條件(3)時，這樣的方程所表示的曲線都不是圓”2圓的幾何特征是什么？一般學生能回答：“圓上任意一點到圓心(定點)的距離等于半徑(定長)”這時要進一步提問：“除上述特征外，你還能說出具有哪些特征的點的軌跡也是圓？”啟發學生回憶所學的例題、習題中有關的軌跡

3、命題學生翻閱課本后能回答：“到兩定點距離平方和為常量的動點軌跡是圓”“到兩定點距離之比為一常量的動點軌跡也是圓”(對此，經提示，有學生補充這一常量應不等于1，否則為線段的垂直平分線)“到兩定點連線斜率乘積等于1的動點軌跡也是圓”(當然還應除去兩定點)啟發學生對已有的知識進行歸納、提煉，以便為新概念的引入作好自然的鋪墊第三組問題深入思考與探索：1一般二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0既然不完全表示圓，那么它還可能表示什么樣的曲線呢？當系數A、B、C、D、E取各種不同數值時，相應的方程代表的曲線將有什么差別呢？能否找到一般性規律，得出這些曲線的大致形象？這些問題并不一定要求學生回答，旨在引

4、起學生積極思考，激發學生強烈的探索欲望2如上，我們已經知道“到兩定點距離平方和為常量”或“到兩定點距離之比為常量”的點的軌跡，你是否可類似地提出一些軌跡命題作更廣泛的探索？類比的能力大部分學生是具備的(盡管程度有差別)，經過教師啟發引導，學生們會提出下列軌跡命題，如：“到兩定點距離之和等于常量的動點軌跡”“到兩定點距離平方差等于常量的動點軌跡”“到兩定點距離之差等于常量的動點軌跡”“到定點與定直線距離相等的動點軌跡”以上是學生受到已做習題的啟發而提出的還有學生通過類比提出：“到兩定點距離的立方和(差)等于常量的動點軌跡”；“到定點與定直線距離的比為常量的動點軌跡”；“到定點與定直線的距離和(差

5、)等于常量的動點軌跡”；等等對同學們這種大膽設想，勇于探索的精神教師予以大力肯定，表示贊賞，并指出同學們所提出的這些問題正是我們后一段學習中要逐步解決的問題，而同學們自己也可運用坐標法探求它們的方程，根據方程描點畫圖，也可設法用實驗方法描繪具有這些特征的幾何圖形以上從方程與曲線兩方面，也就是從數與形兩條“線路”引導學生聯想、分析、探索，這樣，引出新曲線的概念已是水到渠成了譬如說，同學們提出的“若動點到兩定點距離之和等于常量，則此動點軌跡是什么？請同學們不妨嘗試一下，看看能否設計一種 繪圖方法，畫出符合這種幾何條件的軌跡(課前要求學生準備圖釘若干，細線一根)學生紛紛動手，相互磋商，觀摩，不一會大

6、部分同學已畫出；再讓一個學生在黑板上用準備好的工具演示，同學們都高興地叫起來，軌跡是橢圓！教師問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的學生說：“立體幾何中圓的直觀圖”(立體幾何中采取的也是近似畫法，但教材中已提出橢圓名稱)有的學生說：“人造衛星運行軌道”(這是學生從物理課本中了解的)有的學生說：“餅干罐頭盒，灑水車，裝油車等”教師指出：確切地說，應是它們的橫截面的輪廓線按學生認識規律與心理特征引導學生自己分析、探索、啟發學生認識新的概念，至于新概念在實際中的形象也放手讓學生自己對照、回顧，增強實踐感受，這樣更有利于學生學習能力的培養在上述基礎上，引導學生概括橢圓定義學生開始只強調主要幾何特征到兩定點

7、距離之和等于常量這時教師通過演示(將穿有粉筆的細線拉到黑板平面外)啟發學生思考學生認識到需加上限制條件：“在平面內”教師則追問：“否則會形成什么幾何圖形？”學生想象到是橢球形教師邊演示邊提示學生注意：這里的常量有什么限制嗎？若這個常量等于兩定點距離？小于呢？學生認識到，這時都不可能形成橢圓，前者變成了線段，后者軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常量大于兩定點之間的距離”這樣，學生得出了完整的橢圓定義：平面內到兩定點的距離之和等于常數(大于兩定點距離)的點的軌跡叫做橢圓教師順便指出：我們規定其中兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距二、推導橢圓的標準方程給出橢圓的定義后

8、，教師即可提出：由橢圓定義，可以知道它的基本幾何特征，但對于這種新曲線還具有哪些性質，我們幾乎一無所知，因此需要利用坐標法先建立橢圓的方程讓學生明確思維的目的，才能調動學生思維的積極性如何建立曲線方程？首先應建立適當的坐標系建立坐標系時，一般應符合簡單和諧化的原則如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性讓學生在思考議論中加強對這種優化原則的認識這樣，大多數學生認識到下列選取方法是適宜的：以兩定點F1F2的連線為x軸；以線段F1F2的垂直平分線為y軸，設|F1F2|2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任一點，則有F1(c，0)，F2(c，0)下面讓學

9、生利用兩點間距離公式，根據橢圓定義即可寫出橢圓的方程正確選取坐標系是解析幾何解題的基本技巧之一，教學中應著重培養學生這方面的能力教師指出：上面所得方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓本質屬性，但為了更進一步利用方程探討橢圓其他性質，需要盡量簡化方程形式，使數量關系更加明朗化(化簡方程可讓學生完成)多數學生利用初中簡化無理方程的一般方法進行，移項后兩邊平方逐步化去根號，與教材中化簡過程類似，教師在巡回觀察指導中，啟發幾個反映較快的學生仔細觀察兩個根號下代數式的特征，設法先化去其中一個根號即將等式(xc)2y2(xc)2y24cx，兩邊分別除以方程兩邊，即得與原方程聯立易得注意ac，則可得為使方程更

10、為對稱和諧起見，由a2c20，令a2c2b2，則得方程坐標法即用代數方法研究幾何問題，因此熟練運用代數變形技巧是十分重要的，學生常因運算能力不強而功虧一簣缺乏一定的運算能力在解析幾何中幾乎是寸步難行，因此教學中必須注意不失時機加強運算技能的訓練！關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，教師可簡要作些提示：若點(x，y)適合方程則此點應在橢圓上，事實上由由上述變形逆推即可得注意到ac，且|x|a，則可知即點(x，y)到兩定點F1和F2距離之和為2a故點(x，y)必在橢圓上教師指出：由于我們恰當地選取了坐標系，充分運用了圖形的對稱特征，因此得到的方程簡單、對稱，具有和諧美，特別便于根據

11、方程分析研究橢圓許多有趣的性質這一簡化的方程稱為橢圓的標準方程(焦點在x軸上)三、供課后思考的參考題1推導橢圓方程時，若使焦點在y軸上即為F1(0，c)，F2(0，c)，你能知道此時方程形式嗎？它與焦點在x軸上的方程有何聯系？(1)橢圓的對稱性；(2)橢圓的范圍及常數a、b具有什么幾何特征；(3)這一方程與圓x2y2a2作一比較，兩者有何聯系？由兩方程分別得出回顧三角函數圖像yAsinx與ysinx的關系你能提出什么設想？等式中發現橢圓的又一重要特征嗎？教案說明(1)這份教案是針對重點中學班級設計的，也在筆者所在學校不止一次實施過教案設計的基本指導思想是著眼于提高學生學習數學的自覺性與基本學習

12、能力，增強課堂教學的啟發性與培養性，因此教學安排與一般設想不同目前教學中常受考試干擾，比較注重實用性與所謂“硬指標”如本節課常常直接給出定義，盡快得出兩種標準方程，舉例示范，使學生課外能學會使用方程解答課本習題而這份教案卻花一定氣力引導學生回顧、探索、分析，然后引出橢圓的概念，隨后只建立了焦點在x軸上的標準方程，并沒有要求學生會使用；另外關于由方程研究橢圓性質常常安排在后面的課內，這里卻又提前讓學生思考，似乎都是“軟指標”，在考試中也不一定用得上不同的設想反映出不同的著眼點與數學教學目的的認識差別，把知識與方法作為結果給予學生，還是著重引導學生領悟獲得這些結果的思想與方法，是把學生作為接受教師

13、傳授知識的客體，還是增強學生的內在活力，使學生成為自覺主動學習的主體本教案如前所述，重點放在概念引入與方程建立的思維過程上，從圓錐曲線整體結構考慮，讓學生獲得比較完整的認識過程，初步建立起總體思維框架，至于結果的熟練與運用在以后的逐步強化訓練中是不難達到的教學的實踐也證明，這樣是有利于學生基本數學素質的提高，在以后的雙曲線、拋物線的教學中可見其成效(2)這份教案設計的另一思想是探索在基礎知識教學過程中如何加強學生能力的培養數學上每一個重要概念的引入與定義，每一個重要定理(法則、公式)的發現與推證，幾乎都歷經前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創造的漫長過程這樣長期的探索過程中往往蘊含著數學中一