1、 Theorem 3.19. 設 f (z 在區域 G 內解析. R 為區域 G 內一個矩形, C 為其邊界, 則 f (z dz = 0 C Proof 對于任意 G 內的矩形 P , CP 為其邊界(方向約定為逆時鐘, 記圍道積分為 I (P = CP f (z dz 如圖, 我們將矩形 R 對分成四個小矩形 R1 , R2 , R3 , 和 R4 . R3 R2 R4 R 顯然 I (R = i=1 4 R1 I (Ri 由復平面的矢量相加三角不等式可得 |I (R| 4 |I (Ri | i=1 所以, 至少有一個 Ri , 使得 |I (Ri | 1 |I (R| 4 我們將其記為

2、R(1 . 同樣我們可以重復上述過程, 將 R(1 對分為四個更小的矩形. 并得到其中一個矩形 R(2 滿足 1 1 |I (R(2 | |I (R(1 | 2 |I (R| 4 4 重復下去, R(2 R(1 R 得 R R(1 R(2 . R(k . 使得 |I (R(k | 1 |I (R| 4k 由區間套定理可證, 存在唯一的一點 z0 屬于所有的矩形 R(k . 21 因為 f (z 在 z0 點解析, 所以 > 0, > 0. 若 |z z0 | < , 則 f (z f (z0 f (z0 < z z0 即 |f (z f (z0 f (z0 (z z0

3、| < |z z0 | 由 dz = 0 得 I (R ( k = C (k z dz = 0 f (z f (z0 f (z0 (z z0 dz C (k 為 R(k 的邊界. 設 R 的對角線長 D, 則 R(k 的對角線長 D/2k . 對于 R(k 內的任意兩點有 |z1 z2 | D/2k . 所以對 于 z R(k |z z0 | < D/2k 當 k 足夠大時, R(k 在 z0 的 -鄰域 |z z0 | < 內. 這時, 由積分不等式 (4 I (R(k < 其中 Lk = C (k D Lk 2k |dz | 為矩形 R(k 的周長. 設 R 的周長

4、為 L, 則 于是 Lk = L/2k I (R ( k < DL 4k 即 1 DL |I (R| I (R(k < k 4 4k 0, 得 |I (R| = 0, 即I (R = 0. 所以|I (R| < DL. 令 Theorem 3.20. 若 f (z 在圓內 |z z0 | < R 內解析, 則對于圓內任意的閉合圍道 C f (z dz = 0 C Proof 我們來證明 f (z 在圓內有原函數. 定義函數 F (z = f dz 其中積分路線 由水平線段 (x0 , y0 到 (x, y0 和豎直線段 (x, y0 到 (x, y 構成(圖中藍線. (

5、x, y ( x0 , y (x0 , y0 (x, y0 22 容易證明 F = if (z y 由上面的定理, 可得 F (z = 1 f dz 其中積分路線 1 由豎直線段 (x0 , y0 到 (x0 , y 和水平線段 (x0 , y 到 (x, y 構成(圖中紅線. 又可得到 F = f (z x 即 F F =i y x 函數 F 的實部和虛部滿足 Cauchy Riemann 方程, 且偏導數連續. 所以 F 為圓內的解析函數, 且 F (z = f (z f (z 的原函數存在, 所以圍道積分恒為零. Cauchy 定理的證明 我們來證明 f (z 的導數 f (z 連續.

6、任取解析區域內一點 z0 , 則在區域內存在 z0 的一個鄰域 |z z0 | < . 在此鄰域內 Cauchy 定理成立, 可 知在此鄰域內 f (z 的各階導數都存在并且連續(解析. 于是, 在解析區域內f (z 連續, 故可用 Green 公式證 明 Cauchy 定理. Problems 1. 試按給定的路徑計算下列積分： 2+i (1 0 Re z dz ，積分路徑為： i. 線段0, 2和2, 2 + i組成的折線， ii. 線段z = (2 + it, 0 t 1. dz ，規定 z z=1 = 1，積分路徑為由z = 1出發的： z C i. 單位圓的上半周， ii. 單

7、位圓的下半周 (2 2. 計算下列積分： (1 |z |=1 dz ; z |dz | ; z dz ; |z | dz . z (2 |z |=1 (3 |z |=1 (4 |z |=1 3. 計算下列積分： 23 z 1 sin dz ，C 分別為： 1 4 C 1 i. |z | = , 2 ii. |z 1| = 1, iii. |z | = 3, iv. |z | = R, R . 1 (2 eiz dz ，C 分別為： 2+1 z C i. |z i| = 1, ii. |z | = 2, iii. |z + i| + |z i| = 2 2, iv. 閉合曲線r = 3 sin2 . 4 (1 z2 4. 計算下列積分： (1 |z |=2 cos z dz ; z z2 1 dz ; z2 + 1 sin (ez dz ; z ez dz. cosh z (2 |z |=2 (3 |z |=2 (4 |z |=2 5. 計算下列積分： (1 |z |=2 sin z dz ; z2 |z |ez dz ; z2 sin z dz ; z4 z 2 (z