1、專題十二 函數模型及其應用【高頻考點解讀】 1了解指數函數、對數函數以及冪函數的增長特征，知道直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義2了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用【熱點題型】題型一 幾類常見函數模型例1據調查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元，若普通車存車數為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數關系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000

2、)Dy0.1x1 200(0x4 000) 解析：y0.2x(4 000x)×0.30.1x1 200. 答案：D【提分秘籍】應用函數模型解應用題要注意 (1)正確理解題意，選擇適當的函數模型(2)要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域(3)在解決函數模型后，必須驗證這個數學解對實際問題的合理性【舉一反三】在某種新型材料和研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()A.y2xBylog2xCy(x21) Dy2.61cos x解析：通過檢驗可知，ylog2x較為接近 答案：B【熱點題型】題型二

3、三種增長型函數模型的圖象與性質例2、f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是() Af(x)>g(x)>h(x)Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x) Df(x)>h(x)>g(x) 【提分秘籍】三種模型的增長差異 在區間(0，)上，盡管函數yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上隨著x的增大，yax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n

4、>0)的增長速度，而ylogax(a>1)的增長速度則會越來越慢因此，總會存在一個x0，使得當x>x0時，有logax<xn<ax.【舉一反三】物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現穩定菜價，提出四種綠色運輸方案據預測，這四種方案均能在規定的時間T內完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是() 解析：由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得曲線上的點的切線斜率應逐漸增大，故選B. 答案：B 【熱點題型】題型三 二次函數模型例3、(2013年高考陜西卷)在如圖

5、所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A15,20 B12,25C10,30 0,30 【提分秘籍】 解決二次函數型實際應用問題時，除利用條件建立目標函數外，還要注意自變量的取值范圍，如果涉及最值問題，要注意對稱軸與定義區間的關系【舉一反三】某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A45.606萬元 B45.6萬元C45.56萬元 D45.51萬元【熱點題型】題型四 分段函數模

6、型例4、某旅游景點預計2014年1月份起前x個月的旅游人數的和p(x)(單位；萬人)與x的關系近似地滿足p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)(1)寫出2014年第x個月的旅游人數f(x)(單位：人)與x的函數關系式：(2)試問2014年第幾個月旅游消費總額最大，最大月旅游消費總額為多少元？ 【提分秘籍】 分段函數模型的應用技巧(1)很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數模型，如出租車的票價與路程的函數就是分段函數(2)構建分段函數時，要做到分段合理，不重不漏，并要注意實際問題中各

7、段自變量的取值范圍，特別是端點值(3)在求分段函數的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值【舉一反三】如圖，在平面直角坐標系中，AC平行于x軸，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，記四邊形位于直線xt(t>0)左側圖形的面積為f(t)，則f(t)的大致圖象是()【熱點題型】題型五 指數函數模型例5、將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水量符合指數衰減曲線yaen t假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有升，則m_.【提分秘籍】指數函數型多涉及增長率、減少率、銀行利率細胞分裂等一系列問題，通常可以表示為ya·(1p)x的形式

8、，利用指數運算與對數函數圖象性質去求解【舉一反三】某電腦公司2012年的各項經營收入中經營電腦配件的收入為400萬元，占全年經營總收入的40%，該公司預計2014年經營總收入要達到1 690萬元，且計劃從2012年到2014年每年經營總收入的年增長率相同，則2013年預計經營總收入為_萬元【熱點題型】題型六 函數的實際應用問題例6、小王大學畢業后，決定利用所學專業進行自主創業經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元在年產量不足8萬件時，W(x)x2x(萬元)；在年產量不小于8萬件時，W(x)6x38(萬元)每件產品售價為5元通過市場

9、分析，小王生產的商品能當年全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ 【提分秘籍】函數模型的應用有兩個方面：一方面是利用已知函數模型解決問題；另一方面是建立恰當的函數模型，并利用所得函數模型解決實際問題建立函數模型解應用問題的步驟如下：(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；(2)建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將利用數學知識和方法得出

10、的結論，還原到實際問題中 【高考風向標】1（2014·湖南卷）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為()A. B.C. D.1【答案】D【解析】設年平均增長率為x，則有(1p)(1q)(1x)2，解得x1.2（2014·陜西卷）如圖1­2，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數圖像的一部分，則該函數的解析式為 ()圖1­2Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x3（2013·陜西卷） 設x表示不大于x的最大整數，

11、則對任意實數x，y，有 ()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy4（2013·重慶卷）若abc，則函數f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區間()A(a，b)和(b，c)內 B(，a)和(a，b)內C(b，c)和(c，)內 D(，a)和(c，)內【隨堂鞏固】1.汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是()2國家規定某行業收入稅如下：年收入在280萬元及其以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p0.25)%，則該公司的年收入是()

12、A560萬元B420萬元C350萬元 D320萬元3某單位為鼓勵職工節約用水，作出了以下規定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米m元的水費收費；用水超過10立方米的，超過部分加倍收費某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A13立方米B14立方米C18立方米D26立方米4某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A4,8 B6,10C4%,8%D6%,100%5某商店計劃投入資金20萬元經銷甲、乙兩種商品，已知經銷甲商品與乙商品所獲得的利潤分別為P(萬元)和

13、Q(萬元)，且它們與投入資金x(萬元)的關系是：P，Q(a0)若不管資金如何投放，經銷這兩種商品或其中一種商品所獲得的純利潤總和不少于5萬元，則a的最小值應為()A. B5C±D6為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷，某超市對顧客實行購物優惠活動，規定一次購物付款總額：如果不超過200元，則不予優惠；如果超過200元，但不超過500元，則按標價給予9折優惠；如果超過500元，其中500元按第條給予優惠，超過500元的部分給予7折優惠辛云和她母親兩次去購物，分別付款168元和423元，假設她們一次性購買上述同樣的商品，則應付款額為_7.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為yta(a為常數)，如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t (小時)之間的函數關系為_；(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至