1、精選優質文檔-傾情為你奉上線性代數（經管類）重點總結行列式1、 1.1.1 二階行列式： 二階行列式的值 = x1、x2的分分母都是，x1的分子是由的第一列換成原方程組的常數列；x2的分子是由的第二列換成原方程組的常數列。2、 三階行列式：M11為a11的余子式 A11為a11的代數余子式Aij = （-1）i+j Mij3、 定理1.2.1：n 階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積的和，即： 的余子式為Mij，代數余子式 （i代表元素a所在的行，j表示其所在的列）4、 三角形行列式：主對角線：上三角行列式： ，下三角行列式：只要是三角形行列式，不管是上三角還是，下

2、三角，它的值都等于主對角線元素的乘積。如果是副對角線的，要將各列進行互換后變成主對角線的三角，換幾次就乘以（-1）的幾次方。 5、 行列式的性質： 性質1：轉置的行列式與原行列式相等。 即 將第1行改為第1第，第2行改為第2列所得的新行列式稱為D的轉置行列式或 性質2：用數k乘行列式D的某一行（列）的每個元素所得的新行列式等于kD。 推論1 ：若行列式中某一行（列）的元素有公因數，則可將公因數提到行列式之外。 推論2 ：若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為0。推論3 任意一個奇數階反對行列式必為零（偶數階的沒有任何性質！）。（反對稱行列式指的是：其中主對角線上的元素全為0，而主對

3、角線為軸，兩邊處于對稱位置上的元素異號） 性質3：行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號。性質4： 若行列式某兩行（列）的對應元素成比例，則行列式的值為零。 推論4 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。性質5： 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個元素的和，則行列式可分解為兩個行列式的和性質6 ：把行列式的某一行（列）的每個元素都乘以k 加到另一行（列），所得的行列式的值不變。 （行的變化寫在 = 上面，列的變化寫在 = 下面。）行列式的任意一行（列）與另一行（列）元素的代數余子式的乘積之和為零.（但是如果該兩行、兩列的元素相等，則等于行列式的值）方陣行列式的性質（每年必考

4、）6、 范德蒙二階行列式 7、 范德蒙三階行列式 三階范德蒙行列式的值都等于所有xi xj的乘積，但是i的腳標號大于j范德蒙行列式就是第一行都是1，第二行是x1，x2，x3，.，xn，第三行是第二行的平方，第四行是第二行的立方，.第n行是第二行的n-1次方。8、 行列式解法總結（1）有公因式一定要先提公因式，這樣就簡單多了。（2）低階的數字行列式和簡單的文字行列式，想辦法造0；（3）各行元素之和為相同的值的情況，把各列加到第一列；各列元素之和為相同的值的情況，把各行加到第一行（4）有一行（列）只有一個或兩個非零元的情況，按這一行這一列進行展開。 （5）展開時：列的變化寫在 = 下面，行的變化寫

5、在 = 上面。9、 定理1.4.1 ：對于n階行列式以下關系：即：如果行列式的某一行乘以這行元素所對應的代數余子式的和，就等于行列式的值。如果行列式的某一行乘以其它行元素所對應的代數余子式的和，那么就等于0.列是同理的。10、 定理1.4.2（克拉默Cramer法則）（前提條件：未知數個數和方程個數相等）：如果n個未知數，n個方程的線性方程組的系數行列式D0，則方程組有惟一的解，這個唯一的解的公式為：其中 Dj就是將系數行列式D中第j列元素對應地換為方程組的常數項b1,b2,.bn得到的行列式。運用克拉默法則的條件是該方程組的系數行列式D=0，如果D=0，那么就有非零解；如果D0，那么就只有零

6、解。同時，運用克拉默法則求解線性方程組時，要求方程的個數與未知量的個數相等。11、 定理1.4.3：如果n個未知數n個方程的齊次方程組的系數行列式D0，則該方程組只有零解，沒有非零解。推論：如果齊次方程組有非零解，則必有系數行列式D=0。 即：系數行列式等于0，是n個未知數n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件。零解就是表示x1=0，x2=0，x3=0，.，xn=0 ，非零解就是上式n個解至少有一個不為0 。矩陣（矩陣不能做分母，只有方陣才可以取行列式）1、 各種類型的矩陣1) 系數矩陣（將方程組的系數排列成矩陣）2) 增廣矩陣（將方程組的系數、常數項排列成矩陣），給定了線性方程組，就惟一

7、地確定了它的增廣矩陣；反過來，亦同。3) m×n階矩陣記為，為mn個數排成的m行n列的數表4) 零矩陣：所有元素都為零的矩陣，5) 行矩陣（n維行向量）：A的行數m=1，則稱 6) 列矩陣（m維列向量）：A的列數n=1，則稱7) n階對角矩陣：，對角矩陣必須是方陣8) 數量矩陣：以上n階對角矩陣中的對角元都相同時，即，記為aEn9) n階單位陣：以上數量矩陣中=1， ，稱為n階單位陣。一般情況下單位矩陣就是指主對角線的元素都為1，其他的都為0。單位矩陣是對稱陣，所以單位矩陣的轉置還是單位矩陣。單位矩陣的行列式等于1（在做題時，要充分利用這條性質）；n個單位矩陣相乘，結果仍等待單位矩陣

8、。10) 上(下)三角矩陣：三角矩陣必須是方陣2、 矩陣的同型如果矩陣A、的階數相同，即行數、列數都相同，則稱矩陣與B同型； 若A與B同型，且對應元素都相等，則稱矩陣A與B相等，記為A=B。注意：兩個矩陣相等和兩個行列式相等是不一樣的3、 矩陣的加減法前提條件：矩陣同型。即只有一階方陣才是一個數，階數大于1的方陣與數不能相加，但是n階方陣與數量矩陣aEn可相加。計算方法：A元素和對應的B元素相加/相減加法運算的性質：（和數的運算的性質一樣）1、交換律 A+B=B+A。2、結合律 (A+B)+C=A+(B+C)。3、A + 0 = 0 + A = A4、消去律 A + C = B + C 

9、43; A = B5.負矩陣-A： A+(-A)= (-A) +A =O；A-B=A+(-B) 4、 矩陣的數乘運算數與矩陣A的乘積記作A或A與行列式的區別：矩陣要用數乘以行列式里的每一個元素；行列式則只要乘以某一行或某一列的元素。數乘運算的性質：1、1·A=A2、設k,l是任意實數，A是矩陣，則k(lA)=(kl)A=klA3、分配律 k(A+B)=KA+kB；(k+l)A=kA+lA5、 矩陣的乘法充分必要條件：A的列數B的行數乘積矩陣C的行數=A的行數；其列數=B的列數。乘積矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應元素的乘積之和：C11，等于A的第一

10、行的每一個元素乘以B的第一列的對應的元素的和， C12，等于A的第一行的每一個元素乘以B的第二列的對應的元素的和， C13，等于A的第一行的每一個元素乘以B的第三列的對應的元素的和， C21，等于A的第二行的每一個元素乘以B的第一列的對應的元素的和。C22，等于A的第二行的每一個元素乘以B的第二列的對應的元素的和，C31，等于A的第三行的每一個元素乘以B的第一列的對應的元素的和矩陣乘法的性質：（1）矩陣乘法沒有交換律，AB不一定等于BA。（要特別注意，這是矩陣乘法和數的乘法最大的區別）但對于某些特殊的矩陣（方陣）是乘法可交換的： EnA = AEn（單位矩陣與任意一個同階方陣的乘積可交換） （

11、aEn）A = A（aEn）（數量矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換）（2）結合律 (AB)C=A(BC) （3）分配律 (A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC （4）數乘與乘法的結合律k(AB)=(kA)B=A(kB)（5）單位矩陣的作用兩個單位矩陣相乘，還是等于單位矩陣， N個單位矩陣相乘，仍然等于單位矩陣。（6）兩個非零矩陣的乘積可能為零矩陣（與數的區別：兩個非零數的乘積不可能為零）。 當AB = 0時，不能推出A=0或B=0（7）對于方陣，可能可能，重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產生了矩陣運算公式與數的運算的公式的不同點）.6、 方陣的冪A0 = E 方陣的冪有下列性質：

12、（1）（2）（3）因為矩陣的乘法沒有交換律，因此：不一定等于一般不等于。 一般不等于。當AB = BA時，必有等于當A = B時，在滿足可乘條件下，必可推出AC = BC，CA = CB，但未必有AC = BC，CA = BC（4）n階方陣A與n階單位陣就可交換，即AE=EA，所以 因為矩陣乘法不滿足消去律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結論：（1） 由A = 0，A0，不能推出B=0（2） 由A2=0，不能推出A=0（3） 由AB = AC，A0，不能推出 B = C（4） 由A2 = B2不能推出（A+B）（A-B）=0和A=±B。7、 矩陣的轉置1.；（先轉置，再轉置會等于

13、原來的矩陣）2.；（和的轉置，等于轉置的和，即：先相加減再轉置，等于先轉置再相加減）3.；（先數乘后轉置，等于先轉置后數乘）4.反序律：。5. 單位矩陣是對稱陣，所以單位矩陣的轉置還是單位矩陣。8、 對稱陣和反對稱陣如果，則稱A為實對稱(反對稱)陣。任意n階方陣A都可以惟一地分解為一個對稱陣和一個反對稱陣的和。任何一個n階方陣A加上A的轉置的和，一定是對稱陣；A減去A的轉置，一定是一個反對稱陣。9、 方陣的行列式（只有方陣才可以取行列式）1.； 不是滿秩的方陣的行列式就等于0，因為如果不是滿秩，則經過幾次化簡后肯定會有一行為02.；（每年必考）3.。（先乘積后起行列式，等于先起行列式后乘積）

14、雖然AB不一定等于BA，但。4.aEn= an En=1 （上、下三角矩陣的行列式等于它的所有對角線元素的乘積）5. AB= A*B= 0，則必有A= 0或B= 0，但未必有A = 0或B = 010、 方陣多項式任意給定多項式和一個n階方陣A。定義，稱f(A)為A的方陣多項式。注意：末項必須是數量矩陣a0En，而不是常數a011、 方陣的逆矩陣（充分必要條件是只有方陣才有可逆矩陣，可逆矩陣是惟一的，是數的倒數的推廣）1） 可逆矩陣（也稱非異，非奇異，滿秩）是惟一的，而且只有方陣才有可逆矩陣。2） 方陣A可逆的充分必要條件是.當A可逆時，.3） 方陣A的伴隨陣的定義（第一行為原來矩陣第一列的代

15、數余子式）4） 重要公式；與A -1的關系：當方陣A可逆時， （重中之重，每年必考） 5） 重要結論：A、B互為可逆矩陣，則，要求一個矩陣的逆矩陣，只要找出一個矩陣與它相乘等于En；證明兩個矩陣是否互為逆矩陣，只要看是否。如：證明 A-1=B，只要證明A-1 * B = E就好。6） 可逆矩陣的基本性質：1.可逆，且 A = En 2.AB可逆， （反序性）。 3.A可逆，則 也可逆，且。 4.kA也可逆，且。 5.消去律 設P是與A，B同階的可逆矩陣，若PA=PB，則A=B。（但PA=BP不能推出A=B）(矩陣消去律的條件是：P為可逆矩陣；數的消去律的條件是：P不等于0)6. ，7. ，.

16、8. 因為 AB=E，故，所以。故A，B都可逆。9.記住以下二階矩陣逆矩陣的結論，可當公式用： （除這個式子外，其余同以下15的結論一樣） 10.記住以下分塊矩陣的逆矩陣的結論（以下的E均指單位矩陣） 以下結論和以上14的結論一樣： 11.初等方陣的逆矩陣： 12、 分塊矩陣（表示法：（Aij）r×s）分塊矩陣的定義：，這時可記為分塊矩陣的加減：同型矩陣A，B采用相同分塊法，則分塊矩陣的數乘：設，則。分塊矩陣的轉置：設，則（不但各元素的子塊要轉置，而且每個子塊是一個子矩陣，它內部也要轉置）分塊矩陣的乘法（與矩陣的乘法一樣）：設矩陣A的列數=B的行數，如果對A，B適當分塊，使 。則 其

17、中。方陣的特殊分塊矩陣：（共有三類）準對角矩陣定義：，其中，均為方陣，階數可以是不一樣的，除這個以外，其它的都是0矩陣。兩個準對角（分塊對角）矩陣的乘積：（前提條件：A和B為同階方陣）跟普通的兩個對角矩陣乘法一樣 設，則準對角矩陣的逆矩陣：若A1、A2可逆，則分塊對角矩陣可逆，則。 準上（下）三角矩陣的行列式：若。 則（等于主對角線上的每一個主對角塊的乘積）分塊矩陣求逆矩陣的方法：設則例15設3階矩陣，則 （A T）-1=_.解：13、 矩陣的初等變換（包括行、列的變換）（求解線性方程組，只能行變換，不能列變換）定義2.5.2 分別稱下列三種變換為矩陣的第一、第二、第三種行（列）初等變（1）對

18、調矩陣中任意兩行（列）的位置；（2）用一非零常數乘矩陣的某一行（列）；（3）將矩陣的某一行（列）乘以數k后加到另一行（列）上去。定義2.5.3如果一個矩陣A經過有限次的初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記為AB。（只是等價，不是相等）等價具有：反身性： 即對任意矩陣A，有A與A等價； 對稱性： 若A與B等價，則B與A等價 傳遞性： 若A與B等價，B與C等價，則A與C等價。等價矩陣有相等的秩；反之同形的兩個矩陣只要其秩相等，必等價。兩個矩陣等價是不是必須要同時具備以下兩個條件：1、兩個矩陣的階數一樣（即：是同型矩陣）2、兩個矩陣的秩一樣。定理2.5.1 設線性方程組的增廣矩陣經有限次的初等行變

19、換化為，則以與為增廣矩陣的方程組同解。（只能是行變換，不能是列變換）（解線性方程組：只要對該方程組的增廣矩陣做相應的行變換。）矩陣的階梯形： 行最簡形： 等價標準形：定理2.5.2任何矩陣都可以經有限次初等行變換化成行最簡形式，經有限次初等變換（包括行及列）化成等價標準形。且其標準形由原矩陣惟一確定，而與所做的初等變換無關。初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣A化為標準形，其中r為矩陣A的秩.14、 初等方陣（初等方陣都是可逆陣）定義2.5.4 對n階單位陣施行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等方陣。以三階方陣為例第一種：（包括

20、行變換、列變換）第二種：（包括行變換、列變換）第三種: （包括行變換、列變換）定理2.5. 3 （1）Pij左（右）乘A就是互換A的第i行（列）和第j行（列），即：（A） 對A做一次初等行變換，相當于用一個與這個初等變換相應的m階初等矩陣左乘A； （B） 對A做一次初等列變換，相當于用一個與這個初等變換相應的n階初等矩陣右乘A；（一個與這個初等變換相應的n階初等矩陣是指：這個初等矩陣和A做一樣的變換） （2）Di(k)左（右）乘A就是用非零數k乘A的第i行（列） （3）Tij(k)左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上 （4）Tij(k)右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上以上定理演示如

21、圖：推論1 方陣經初等變換其奇異性不變。定理2.5.4對于任意的m×n階矩陣A，總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得推論2n階可逆陣（非奇異陣）必等價于單位陣。定理2.5.5n階方陣A可逆的充分必要條件是A能表示成若干個初等陣的乘積。推論3任意可逆陣A（非奇異陣）只經過有限次的初等行（列）變換就能化成單位陣。15、 用初等變換法求逆矩陣可以利用以上公式求逆矩陣的原因是：當A是n階可逆矩陣時，一定可以僅用有限次初等行變換就能把它化成單位矩陣,即，而用同樣的實等行變換又可把單位En化為注意：用初等行變換方法求逆矩陣時，不能同時用初等列變換！而且在求出A-1以后，最好驗證式子AA-1

22、=En，以避免在計算中可能發生的錯誤。例6 求方陣的逆矩陣。-à 16、 用初等變換法求解矩陣方程矩陣方程的三種標準形：矩陣方程與普通一元一次方程的差別是：左乘還是右乘，因為矩陣沒有交換律。（1）第一類矩陣方程：AX=B（2）第二類矩陣方程：XA=B（3）第三類矩陣方程：AXB=C則（1）對第一類矩陣方程的解法：作分塊矩陣對A作初等行變換，變為E,A-1B（將A變換為單位陣，B即變成，即為X）。（2）對第二類矩陣方程的解法：先轉化為第一類 ，即由得，求出進而求出X（3）對第三類矩陣方程的解法：設 Y=XB，得方程AY=C，解出Y，進一步解方程XB=Y例7求解矩陣方程 變換成：-

23、24; 17、 矩陣的秩（用初等行、列變換將矩陣化成階梯形矩陣，其秩就等于該階梯形矩陣的非零行的行數。）A的每個元素都是它的一階子式，A的二階子式，是指隨便選兩行兩列交叉的四個元素構成的行列式；A的三階子式，是指隨便選三行三列交叉的九個元素構成的行列式。定義2.6.1 矩陣A的非零子式的最高階階數稱為該矩陣的秩。記為r（A），有時也記為 秩（A）。關于矩陣的秩，有以下結論：（1） 設A=a(ij)m×n，則r（A）minm,n （2） R（At）=r（A）。實際上，A與A的轉置中的最高階非零子式的階數必相同。（3） n階方陣A為可逆矩陣óA0ór(A)=n，所以可

24、逆矩陣常稱為滿秩矩陣。秩為m的m×n矩陣為行滿秩矩陣。秩為n的m×n矩陣稱為列滿秩矩陣。（即n階方陣A滿秩的充分必要條件是A可逆，即。A0）（4） 矩陣的秩、矩陣行向量的秩、矩陣列向量的秩，這三者是相等的。（5） 0矩陣的秩就是0，它沒有非零的子式。非零矩陣的秩一定大于等于1。定理2.6.1 初等變換不改變矩陣的秩。推論設A為m×n階矩陣，P，Q分別為m，n階可逆矩陣，則：r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。定理2.6.1 對于任意一個非零矩陣，都可以通過初等變換把它化成階梯形矩陣。求矩陣的秩的方法：（1）對于只有2行或2列的矩陣：

25、只要看它是否有一個二階子式是不是不為0，如果有，則秩為2，因為它只有2行或2列，所以它的秩必須小于等于2. 如：的秩等于2.（2）對于階數比較高的矩陣可以用初等變換法求矩陣的秩：任意非零矩陣，只要經初等變換化成階梯形矩陣，其秩就等于該階梯形矩陣的非零行的行數。（注：在求矩陣的秩時，可以只用初等行變換，但也允許用初等列變換，只要化簡成階梯形，而不必化成行最簡形式。）例5求矩陣的秩。向量空間1、 n維向量的概念定義3.1.1 由n個有順序的數組成的數組，稱為一個n維向量，數稱為該向量的第i個分量（向量的維數指的是向量中的分量個數），我們分別稱它們為行向量，列向量。定義3.1.2 稱所有分量都為零的

26、向量0=（0,0,0）為零向量。稱為的負向量。定義3.1.3 如果n維向量的對應分量都相等，即則稱向量,相等，記為=。2、 n維向量的線性運算（即向量的加法運算及數乘運算的統稱）（與矩陣的運算性質完全一樣）定義3.1.4（向量的加法）（前提條件是：二者的維度一樣，都是n維） 定義3.1.4（向量的數乘） ka = ak向量線性運算的性質（與矩陣的運算性質完全一樣）：設,都是n維向量，k、1是數：（1）加法交換律 +=+（2）加法結合律 （+）+=+（+）（3）零向量滿足 +0 = 0+=（4）負向量滿足 +（-） =0（5）1·=（6）數乘分配律 k （+）=k+k（7）數乘分配律（

27、k+1） =k+1（8）數乘結合律k（1）=（k1）=1（k）3、 向量的線性組合定義3.1.6 設是一個n維向量，若存在一組數使得則稱是的線性組合，也稱能由線性表出（或線性表示）。稱為組合系數或表出系數。是任意n維向量。則（記住這個公式）即任意n維向量組都能由基本單位向量組線性表示。4、 線性相關與線性無關（實質上是其對應的齊次線性方程組是否有非零解，有非零解即線性相關）定義3.2.1設是一組n維向量。如果存在一組不全為零的數（其中至少有一人不等于0）使得（這個0指n維0向量）則稱向量組線性相關（其實是指這個等式所對應的齊次方程組有非零解）。否則，稱向量組線性無關。相關定理：定理3.2.1向

28、量組線性相關的充分必要條件是存在一個（是指存在一個，并不是每一個），使得它能由該向量組的其它向量線性表示。線性無關的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.定理3.2.2設向量組線性無關，向量組線性相關，則能由向量組線性表出，且表示法惟一。定理3.2.3 線性相關的向量組再任意擴充向量后所得的新向量組必線性相關.（部分相關，則整體相關）；設向量組線性無關，則它的任何一個部分組必線性無關。（整體無關，則部分無關）（向量組的個數不一樣）定理3.2.4設向量組線性無關，則由它生成的接長向量組必線性無關（向量組的個數一樣，只是維數不一樣）（即無關組的接長向量組必為無關組）；設向量

29、組線性相關，則由它生成的截短向量組必線性相關（即相關組的截短向量組必為相關組）。（接長和截短：可以往下接，也可以往上接）。推論4 若接長向量組線性相關，必有原向量組線性相關。判斷向量組的線性相關性的方法（1）一個向量線性相關；（2）兩個向量線性相關的充分必要條件是分量成比例，即存在數k，使得=k或=k。（2）含有零向量的向量組必線性相關；（雖然含有零向量的向量組必線性相關，但是線性相關的向量組不一定要含0向量）（3）向量個數向量維數時，n維向量組線性相關；（重中之重，每年必考）（只有向量的個數等于向量的維數時，才可以直接將向量列出行列式，求出行列式的值，只要行列式的值不等于0，就線性相關）（4

30、）向量個數 > 向量維數時, 向量組必線性相關；（這是由于當mn時，齊次線性方程組Ax=0中的變量個數m大于方程個數n，它必有可以任意取值的自由變量，因此，它必有非零解。）（5）向量個數向量維數時，可將向量列成矩陣，然后求這個矩陣的秩，只要秩<所含向量的個數則線性相關。（5）若向量組的一個部分組線性相關，則向量組必線性相關；（6）若向量組線性無關，則其接長向量組必線性無關；（7）向量組線性無關向量組的秩所含向量的個數， 向量組線性相關向量組的秩<所含向量的個數；（8）向量組線性相關（無關）的充分必要條件是齊次方程組 有（沒有）非零解。 向量組線性相關：即齊次方程組有非零解（系

31、數行列式=0）；向量組線性無關：即齊次方程組只有零解，沒有非零解。（系數行列式0）（9）n維基本向量組必線性無關（因為它們組成了一個單位矩陣的行列式，單位矩陣的行列式等于主對角線的乘積，等于1）5、 極大無關組定義3.3.3設A是一組n維向量。如果A中存在一組向量滿足：（1）線性無關；（2）在A中，任取一個向量，則，必線性相關。則稱為A的一個極大線性無關組，簡稱極大無關組。（極大無關組不惟一）（也就是說這個極大無關組任意加一個向量，都能成為線性相關，因此它稱為極大）定理3.3.1 是向量組T的一個極大無關組，則R與T等價,從而它的任意兩個極大無關組也等價。（要證明二者是否等價，只要證明是否可以

32、相互線性表出）等價關系具有：反身性；對稱性；傳遞性。即：（） 反身性：與自身等價；（） 對稱性：若與等價，則與等價（即：若可以由表出，那么也可以由表出）（） 傳遞性：若與等價，與等價，則與等價（即：若可以由線性表出，可由線性表出，那么必可由線性表出）。6、 向量組的秩定義 向量組的極大無關組所含向量的個數為該向量組的秩，記為r(A)（只含零向量的向量組的秩為0）定理3.3.3 如果向量組S可以由向量組T線性表出，則r(S)r()。推論5 等價的向量組必有相等的秩。定理3.3.4矩陣A的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（今后統稱為矩陣A的秩。）通過求矩陣的秩來求向量組的秩的方法：

33、把向量組構成行或列的矩陣，然后通過初等變換求出矩陣的秩。例5 求向量組的秩。 求向量組的極大無關組的方法（非常重要，每次考試都有）對于列向量組（注意：都是列向量）構成的矩陣（只進行行變換）（變換成行最簡形式）（1）用列向量做成矩陣A；（注意是：列）（2）對A做初等行變換（注意是：行），變換成行最簡形式B，使（3）求出B的秩等于多少，進一步知道其極大無關組所含的向量的個數，一般盡量用前面的作為它的極大無關組。（4）A的秩、極大無關組、并將其余向量由該極大無關組線性表示完全與B相同。因為初等變換不改變矩陣的秩若線性無關,線性相關,則可以由線性表示。則以為增廣矩陣的線性方程組與為增廣矩陣的線性方程組

34、同解,所以,若。例7 （1）求下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示 （2）這個向量組有幾個極大無關組？ 例12設向量組（1）求向量組的秩和一個極大線性無關組；（2）將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合。所以原向量組的秩為3， 為所求的極大無關組。.例8 用矩陣的秩與向量組的秩的關系證明： 即A、B兩個矩陣的乘積矩陣的秩小于等于r（A），同時小于等于r（B）（有技巧）證 設A為m×n階矩陣，為n×k階矩陣。（A按列做分塊矩陣，變成一行n列）其中這表明向量組C能由向量組A線性表出。所以R（AB）R（A）。因為。命題得證。7、 向量空間定義3.4

35、.1 n維實向量的全體構成的集合稱為實n維向量空間，記作。定義3.4.2 設V是的一個非空子集，且滿足（1）若則；（2）若，則 則稱V是的子空間（簡稱為向量空間）。（即對加法、乘法運算封閉。對某運算封閉是指在所給空間R中，對R中的任何量之間做該種運算后得到的量還在這個空間上。只要有一個量在這個空間上就說明他是封閉的，要判斷一個量是否屬于V，只需判別它的一個分量是否等于V的任意一個分量，如果等于，就是滿足封閉運算，即屬于V。）的一個子空間，稱為零子空間。任意一個子空間V中一定包含零向量。任意一個向量空間都是由它的任意一個基（即極大無關組）生成的。總結，在做證明題取基時，可用單位向量。定義3.4.

36、3對任意的一組n維向量，由它們的全體線性組合組成的集合生成的子空間，記為（這里的理解為其中）定義3.4.4設V是的一個向量空間（子空間）。若V中的向量組，滿足：（1）線性無關；（2）V中的任意一個向量，都能由線性表出（,線性相關，且表示法惟一），即存在惟一一組數，使得。則稱向量組為V的一個基（實際上就是V的極大無關組，這個向量空間的任何一個向量都可以由它表示），稱r為向量空間V的維數（實際上就是這個向量的秩，即它的極大無關組所包含的向量的個數），稱為向量在這個基下的坐標（實際上就是組合系數）。 沒有基，定義為0維。（如果向量空間的基確定了，那么這個向量空間的任何一個向量都可以由這個基線性表出，

37、而且表示法是惟一的。）例6 求中由向量組生成的子空間的基和維數。（其實就是求這個向量組的極大無關組和秩） 例11已知向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標是_.解 考慮，該線性方程組的增廣矩陣為得所以在這組基下的坐標是(3,2,1) （即）線性方程組（齊次方程組必有0解，而非齊次方程組未必有解）齊次線性方程組有非零解的充分必要條件：1、A為m×n階矩陣時： 注：以下r為系數矩陣A的秩，n是未知數的個數（也是矩陣A的列數）（） Ax=0只有零解的充分必要條件是 r(A)=n；此時，Ax=0沒有基礎解系；（） Ax=0有非零解的充分必要條件是r (A)<n；此時，Ax=0有無窮多

38、個基礎解系。另一種等價的說法：齊次方程組有非零解的充分必要條件就是A的列向量組線性相關（1） 向量組線性無關向量組的秩所含向量的個數，（向量的個數即矩陣A的列數、未知數的個數）（2）向量組線性相關向量組的秩<所含向量的個數；2、A為n階方陣時：（） Ax=0只有零解的充分必要條件是（或r(A)=n）（） Ax=0有非零解的充分必要條件是(或r(A)<n)3、設A是m×n階矩陣.若mn，則齊次方程組AX0必有非零解.（這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要）齊次線性方程組解的性質：性質1：若都是齊次方程組AX=0的解，則也是齊次方程組AX=0的解。（即加法運算封閉）性質2

39、：若是齊次方程組AX=0的解，k是一個數，則也是齊次方程組AX=0的解。（即數乘運算封閉）以上性質綜合的表示法是：設,都是Ax0的解，則C1C2也是Ax0的解（C1，C2為任意常數）（即齊次線性方程組的任意有限個解的任意線性組合必是它的解。）以上兩條性質說明是的一個子空間，所以我們稱它為齊次方程組AX=0的解空間，它是齊次方程組所有的解組成的集合。解空間的維數即這個解空間所包含的解向量的個數，對于齊次線性方程線來說，就是它的基礎解系所包含的解向量的個數。齊次線性方程組AX=0的基礎解系：（非常重要）定義4.1.1設是齊次線性方程組AX=0的一組解向量。如果它滿足：（1）線性無關；（2）齊次線性

40、方程組AX=0的的任意一個解，都能由它線性表示。則稱該向量組為齊次線性方程組AX=0的基礎解系。（實際上是這個解空間的極大無關組，也是這個解空間的基）定理4.1.2 （1）AX=0的基礎解系中解向量的個數為：n-r（A），即dimV = n-r（2）AX=0的任意n-r（A）個線性無關的解向量都是它的基礎解系。（3）如果 是AX=0的一個基礎解系，則為任意實數）為AX=0的通解。基礎解系必須同時滿足以下三個條件： 做證明題要從這三個方面去證明。（） 向量個數必須是n-r；（n指未知數的個數，r指A的秩，n-r也是Ax=0的自由未知量的個數）（） 它們必須都是Ax=0的解；（） 它們必須是線性無

41、關的向量組例2設 是齊次方程組AX=0的一個基礎解系。證明： 也是AX=0的一個基礎解系。因為可以由線性表示，所以是的線性組合，因為齊次方程組的解空間對于加法運算、數乘運算都封閉性，所以掌握（因為第1第是1，它由乘第1列。）求方程組的基礎解系、通解的步驟：1、 寫出系數矩陣A；2、 對A作初等行變換（不能用列變換）化成階梯形（不需要化成行最簡形式），從而知道r(A)；3、 把各非0行首非0元所在列留在等號左邊，除這些以外的全部移到等號右邊，得出同解方程組。如：一個方程組共有n個未亂數，且r(A)為3（即3個方程），那么等號左邊有3列（即3個未知數），等號右為的為n-r列（所以有n-r個自由未知

42、數）。如：4、 以上得出的同解方程組的個數與未知數的個數相等，自由未知數可以任意取值，根據克拉默法則，只要其系數行列式不等于0，則它有唯一的解。5、 分別把某個自由未知量的值取成1，其余自由未知量的值都取成0，代入以上同解方程組求出基礎解第中的某個成員。但必須注意的是，絕對不可以取0解，也不能取線性相關的解。 從而得出基礎解系，如： （有幾個自由未知數，基礎解系就有幾個解向量）6、 通解為： 例3 求 的基礎解系和通解。 則Tx = 0 第一個解向量取x3=1 x4=0，第二個解向量取x3=0 x4=1，這兩個自由未知數構成，因此是線性無關，由它構成的接長向量也線性無關記住以下結論：（1）同解

43、的齊次線性方程組的系數矩陣必有相等的秩。（2）設A是m×n階的實矩陣，證明: （3）設A為m×n階矩陣，B為n×k階矩陣，則有：r（A）+r（B）-nr(AB) minr(A),r(B)非齊次線性方程組有解的充要條件定理4.2.1線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是 線性方程組Ax=b無解的充分必要條件是1對于n個未知數，m個方程的線性方程組AX，有：1）當且僅當（未知數的個數）時，方程組AX有惟一解；2）當且僅當（未知數的個數）時，方程組AX有無窮多解；3）當且僅當時，方程組AX無解.對于n個未知數，n個方程的線性方程組Ax=b。有：（1）如果 ，則方程組Ax

44、=b有惟一的解 ；（2）如果 ，當時，方程組有無窮多解。例6 當參數為何值時，非齊次方程組無解？有惟一解？有無窮多解？求出它的通解。非齊次線性方程組解的性質（1）如果 都是非齊次方程組Ax=b的解，則 是它的導出組Ax=0的解；（2）如果是非齊次方程組Ax=b的一個解，是它的導出組Ax=0的解，則 是Ax=b的解。（3）設1,2都是Axb的解，則當k1k21時，k11k22也是Axb的解.非齊次方程組AX的通解的結構求非齊次線性方程組通解的方法（1）寫出方程組的增廣矩陣；（2）對增廣矩陣作初等行變換，將其化為階梯形；（3）確定約束未知數和自由未知數；（4）令所有自由未知數都取零，得非齊次方程組

45、的一個特解；（5）求出對應齊次方程組（導出組）的基礎解系，進而寫出原非齊次方程組的通解。例1求的通解特征值與特征向量（只有方陣才有特征值和特征向量）定義和充分必要條件（Ap=p，其中P為非零的n維列向量，充要條件）定義5.1.1設A是一個n階方陣，是一個數。如果存在一個非零的n維列向量p，使得Ap=p。則稱為方陣A的一個特征值，稱p為A的屬于特征值的特征向量。1、 是n階矩陣A的特征值的充分必要條件是2、 齊次方程組的所有非零解都是A屬于特征值的特征向量3、 如果A的每行（列）的元素之和都等于同一個數a,那么A的一個特征值為a.例3.設3階矩陣A的每行元素之和均為2,則A必有一個特征值為 _.

46、正確答案2解：因為3階矩陣A的每行元素之和均為2, 例2當時，=是A的特征值。（正確答案：2）當時，=是A的特征值。（正確答案：）（掌握）定義5.1.2稱帶參數的方陣E-A為方陣A的特征方陣，稱為A的特征多項式，稱為A的特征方程。一元n次方程在復數范圍內有n個根，而n階方陣A的特征值是它的特征多項式的根，特征多項式是n次多項式，因此任何n階方陣都有n個特征值（重根按重數進行計算）。關于特征值和特征向量的若干結論：（） 0矩陣的所有特征值都等于0。（） 任何n維非零向量p都是O矩陣的屬于特征值0的特征向量。（） 方陣的特征值未必是實數，特征向量也未必是實向量。（） 三角形矩陣（包括上三角、下三角

47、）的特征值就是它主對角線上的所有元素。（） 一個向量P不可能是屬于同一個方陣A的不同特征值的特征向量。（） 設是矩陣A的一個特征值，是矩陣A屬于特征值的特征向量，是兩個任意數，則當時，也是矩陣A屬于特征值的特征向量。即：A的屬于同一個特征值的若干個特征向量的任意非零線性組合必是A的屬于特征值的特征向量。（） 定理5.1.1n階方陣A與必有相同的特征值，但A與未必有相同的特征向量。（） 定理5.1.2設是n階方陣的全體特征值。則即即：n階方陣A（不管是不是三角陣）全體特征值的和等于（即A的主對角線元素的和），全體特征值的積等于推論：只要有一個特征值為0，那么就等待0。（） 定理5.1.3 設A為

48、n階方陣，為對應的方陣多項式。即：如果Ap=p，則f(A)p=f()p，即：如果Ap=p，則這表明，只要是方陣A的特征值，則f()一定是方陣f(A)的特征值，且如果p是方陣A屬于特征值的特征向量，則p也是方陣f(A)屬于特征值f()的特征向量。（） 稱為冪零矩陣，冪零矩陣的特征值必為0；為對合矩陣，對合矩陣的值必為±1.（） 定理5.1.4 設A是可逆方陣，是A的一個特征值，p是方陣A屬于特征值的特征向量，則0，且p是方陣屬于特征值的特征向量。 可以表示為：設A是可逆方陣，則其特征值0（），則 ，即P既是的特征向量，又是的逆矩陣的特征向量；是的特征值。（） 定理5.1.5 設是矩陣A

49、的k個兩兩不相同的特征值，且分別是關于的特征向量。則線性無關。即：屬于不同特征值的特征向量線性無關，兩兩不同特征值的特征向量組必為線性無關組。例5.設n階矩陣A有一個特征值為-2,對于n階單位矩陣E,矩陣A-2E必有一個特征值為_.解：f（A）=A-2E,則f（x）=x-2,因為A有一個特征值為-2,故A-2E必有一個特征值為f（-2）=-2-2=-4例7 設的所有特征值。（掌握） 例8 已知n階方陣求A的所有特征值。（掌握） 例12 求出k的值，使得的逆矩陣的特征向量。 練習：已知12是的一個特征值，求出a的值和另外兩個特征值（掌握）解：將=12代入=0，求出a等于-4 Tr(A)=12+x

50、+y=7+7+4 =12xy=108 得出x=y=3求特征值和特征向量的一般方法1、根據為方陣A的一個特征值，所以求這個矩陣的特征值，只要求這個方程的解就可以（特征值就是特征多項式的根）。2、線性無關的特征向量為把求出來的代入齊次方程組，求出其基礎解系，其基礎解系向量的個數為的自由未知量的個數。3、全部特征向量為把求出來的代入齊次方程組，求出其通解，但要排除0向量。如：的特征向量全體為K1P1 + K2P2 K1,K2 R且K1,K2不全為零s4、求出特征值后，應檢驗一下它們的和是否等于方陣的跡，它們的積是否等于方陣行列式的值。例10 求矩陣的特征值和特征向量。相似矩陣的定義則AB （其中P為

51、可逆陣）1、定義5.2.1設A，B都是n階方陣。如果存在一個可逆矩陣P，使得，則稱A與B相似，記為AB。 據此可以求出A的k次方。2、設A，B都是n階方陣。 A可逆，則AB與BA相似。3、設B是n階方陣，若n階單位陣與B相似，則（即：如果一個矩陣和單位矩陣相似，那么這個矩陣只能是單位矩陣）4、設n階方陣A與B相似，則方陣多項式f（A）與f（B）相似，其中例：已知1=1，2=0，3=-1；，求矩陣A解：因為，所以相似矩陣的性質：1、 （1）反身性；（2）對稱性；（3）傳遞性。2、 定理5.2.1相似矩陣必有相同的特征多項式，因而必有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式（但不一定有相同的特征向量）

52、（如AB，則和）（但有相同的特征值的兩個同階方陣卻未必相似）3、 推論若n階方陣A與三角陣或對角陣相似，則該三角陣、對角陣的主對角元素就是A的所有特征值。4、 若A與B相似，則f（A）與f（B）相似例4設且A與B相似。求參數x，y及可逆矩陣P，使得 方陣與對角陣相似（對角陣，其中P必須可逆，且P稱為變換矩陣）（n階方陣A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。）（對角陣的轉置仍是對角陣）設三階方陣A與對角陣相似存在可逆陣，使得即，即即是矩陣A的三個特征值，依次為矩陣A屬于特征值的特征向量。注意可逆的充分必要條件是線性無關。 定理5.2.2 n階方陣A與對角陣相似的充分必要條件是

53、A有n個線性無關的特征向量。如果線性無關的特征向量小于n的話，則A不能與對角陣相似。若方陣A有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則A必能與對角陣相似.（這是A能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）對稱陣A必能與對解陣相似。定理5.2.3 設P1和P2分別是n階方陣A的屬于兩個不同特征值的特征向量，則P1和P2必線性無關。判斷是否與對角陣相似、求變換矩陣P、求相似標準形的方法：1、 首先求出其特征值，如果沒有重根，則立即能判斷可以相似；如果有重根，則首先求出重根的特征向量，如果所有重根的線性無關的特征向量的個數都等于重根的個數，則相似，否則不相似。兩個重要結論：（） 任意一個無重特征值的方陣一定相似于對角陣（） 對角元兩兩互異的