1、三角形全等之倍長中線（講義）? 課前預習1. 填空（1）三角形全等的判定有：三邊分別 _的兩個三角形全等，即（ _）；兩邊和它們的 _分別相等的兩個三角形全等， 即（_）；兩角和它們的 _分別相等的兩個三角形全等， 即（_）；兩角和其中一個角的 _分別相等的兩個三角形全等，即（_）；斜邊和 _邊分別相等的兩個直角三角形全等， 即（ _）（2）要證明兩條邊相等或者兩個角相等， 可以考慮放在兩個三角形中證 _；要證明兩個三角形全等需要準備_組條件，這三組條件里面必須有 _；然后依據判定進行證明其中 AAA ，SSA 不能證明兩個三角形全等，請舉出對應的反例2. 想一想，證一證已知：如圖， AB 與

2、 CD 相交于點 O，且 O 是 AB 的中點（1）當 OC=OD 時，求證： AOC BOD；（2）當 AC BD 時，求證： AOC BODCBAOD1? 知識點睛1. “三角形全等”輔助線：見中線，要 _，_之后 _2. 中點的思考方向：（類）倍長中線AAMBDCBDC延長 AD 到 E，使 DE=AD，延長 MD 到 E，使 DE=MD ，連接 BE連接 CE平行夾中點ABFDEC延長 FE交BC的延長線于點 G2? 精講精練1. 如圖， AD 為 ABC 的中線（1）求證： AB+AC >2AD（2）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范圍ABDCA2. 如圖，在 ABC

3、中， AD 平分 BAC，且 BD=CD求證： AB=ACBDC33. 如圖，CB 是 AEC 的中線，CD 是 ABC 的中線，且 AB=AC求證： CE=2CD； CB 平分 DCECEBDA4. 如圖，在 ABC 中，D 是 BC 的中點，E 是 AD 上一點，BE=AC， BE 的延長線交 AC 于點 F求證： AEF=EAFAFEBDC45. 如圖，在 ABC 中，AD 交 BC 于點 D，點 E 是 BC 的中點，EF AD 交 CA 的延長線于點F ，交 AB 于點 G，BG=CF 求證： AD 為 ABC 的角平分線FAGBEDC6. 如圖，在四邊形 ABCD 中， ADBC，

4、點 E 在 BC 上，點 F是 CD 的中點，且 AFAB，已知 AD=2.7，AE=BE=5，求 CE的長FAGBEDCADFBEC57.如圖，在正方形 ABCD 中， CD=BC， DCB=90°，點 E 在 CB 的延長線上，過點 E 作 EFBE，且 EF=BE 連接 BF，FD，取 FD 的中點 G，連接 EG，CG求證： EG=CG 且 EGCGADGFEBC6【參考答案】? 課前預習1. （1）相等， SSS；夾角， SAS；夾邊， ASA ；對邊， AAS ；直角， HL（2）全等，三，邊2. （1）證明：如圖 O 是 AB 的中點 AO=BO在 AOC 和 BOD

5、中AOBOAOCBODOCOD AOC BOD（ SAS）（2）證明：如圖O 是 AB 的中點AO=BOACBDA=B在 AOC 和 BOD 中A B AO BOAOCBOD AOC BOD（ ASA ）? 精講精練1. （1）證明：如圖，A2B1 DCE7延長 AD 至 E，使 DE=AD，連接 BEAE=2ADAD 是 ABC 的中線BD=CD在 BDE 和 CDA 中BDCD1 2 ED AD BDE CDA（SAS）BE=AC在 ABE 中， AB+BE>AEAB+AC>2AD（2）解：由（ 1）可知AE=2AD， BE=AC在 ABE 中，AB BE<AE<A

6、B+BEAC=3，AB=55 3<AE<5+32<2AD<81<AD<42. 證明：如圖，延長 AD 到 E，使 DE=AD，連接 BE在 ADC 和 EDB 中ACD BD1 2ADCEDBAD ED ADC EDB（SAS）DCBAC=EB， 2=EAD 平分 BAC1=21=EEAB=BEAB=AC83. 證明：如圖，延長 CD 到 F，使 DF=CD，連接 BFCF=2CDCCD 是 ABC 的中線3 2 1BD=AD45在 BDF 和 ADC 中EB6DABD ADADCBDFFDF DC BDF ADC（SAS）BF=AC， 1=FCB 是 AE

7、C 的中線BE=ABAC=ABBE=BF1=FBFAC 1+2+ 5+6=180°又 AC=AB1+2=5又 4+5=180°4=5+6即 CBE= CBF在 CBE 和 CBF 中CBCBCBECBFBEBF CBE CBF（SAS）CE=CF， 2=3CE=2CDCB 平分 DCE94. 證明：如圖，延長 AD 到 M，使 DM=AD，連接 BMD 是 BC 邊的中點ABD=CD1F在 ADC 和 MDB 中23 ECD BDBDCADCMDBADMD ADC MDB（ SAS）1=M，AC=MBBE=ACBE=MBM=31=33=21=2即 AEF= EAF5. 證明

8、：如圖，延長 FE 到 M，使點 E是BC的中點BE=CE在 CFE 和 BME 中FEMECEFBEMBCEBEMEM=EF，連接 BMFAG 2 31EDC CFE BME（SAS）CF=BM， F=MBG=CFBG=BMM1=M1=FADEF3=F，1=22=3即 AD 為 ABC 的角平分線106. 解：如圖，延長 AF 交 BC 的延長線于點 GADBCAD3=G1 2 3點F是CD 的中點FDF=CF在 ADF 和 GCF 中3GBECGAFDGFCDFCF ADFGCF（AAS ）AD=CGAD=2.7CG=2.7AE=BE1=BABAF 1+2=90°B+G=90°2=GEG=AE=5CE=EG CG=5 2.7=2.37. 證明：如圖，延長 EG 交 CD 的延長線于點 MMADGF1423EBC由題意， FEB=90°， DCB=90° DCB+FEB=180°EFCD11FEG=M點 G為FD 的中點FG=DG在 FGE 和 DGM 中1MFGEDGMFGDG FGE DGM