1、指數函數、對數函數、冪函數的圖像與性質（一）指數與指數函數1根式（ 1）根式的概念根式的概念符號表示備注如果 xna ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N當 n 為奇數時 ,正數的 n 次方根是一個正數 ,負數的 n 次n a零的 n 次方根是零方根是一個負數當 n 為偶數時 ,正數的 n 次方根有兩個 ,它們互為相反數na ( a0)負數沒有偶次方根（ 2）兩個重要公式an 為奇數 n a na( a0)；| a |0)n 為偶數a(a (n a ) na （注意 a 必須使 na 有意義）。2有理數指數冪（ 1）冪的有關概念m正數的正分數指數冪: a n n am (a0,

2、 m、 nN ,且n1) 。m11正數的負分數指數冪:a n0, m、 nN , 且 n 1)m(aa nn am0 的正分數指數冪等于0,0 的負分數指數冪沒有意義 .注： 分數指數冪與根式可以互化，通常利用分數指數冪進行根式的運算。（ 2）有理數指數冪的性質 aras=ar+s(a>0,r 、 s Q)。(ar)s=ars(a>0,r 、s Q)。(ab)r=arbs(a>0,b>0,r Q)。 . 3指數函數的圖象與性質1 / 9y=axa>10<a<1圖象定義域R值域（0，+ ）性質（ 1）過定點（ 0， 1）（ 2）當 x>0 時， y

3、>1。(2) 當 x>0 時， 0<y<1 。x<0 時 ,0<y<1x<0 時, y>1(3) 在（ - ，+）上是增函數（ 3）在（ -， +）上是減函數注： 如圖所示，是指數函數（1） y=ax,（2） y=b x, （ 3）,y=c x（ 4） ,y=d x 的圖象，如何確定底數 a,b,c,d 與 1 之間的大小關系？提示：在圖中作直線x=1 ，與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數的值，即c1>d1>1>a1>b1, c>d>1>a>b 。即無論在軸的左側還是右側，底數按逆時針方向

4、變大。（二）對數與對數函數1、對數的概念（1）對數的定義如果 axN ( a0且 a1) ，那么數 x 叫做以 a 為底， N 的對數，記作x log aN ，其中 a叫做對數的底數，N 叫做真數。（2）幾種常見對數對數形式特點記法一般對數底數為 a a0,且a 1log a N常用對數底數為 10lg N自然對數底數為 eln N2、對數的性質與運算法則（1）對數的性質（ a0,且a 1）： log a10， log aa1， alog aNN ， log aa NN 。2 / 9（2）對數的重要公式：換底公式： logb NlogaN(a,b均為大于零且不等于 1,N0) ；loga b

5、log ab1a。logb（3）對數的運算法則：如果 a0,且a1 ， M0, N0 那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog aN ；log a MN log aM nn log aM ( nR) ； logm bnn log a b 。am3、對數函數的圖象與性質a 10 a 1圖象性（ 1）定義域：（0,+）質（ 2）值域： R（ 3）當 x=1 時， y=0 即過定點（ 1，0）（4）當 0x1時， y (,0) ；（ 4）當 x1 時， y(,0) ；當x1時，y(0,)當0 x時，y(0,)1（ 5）在（ 0,+）上為增函數（ 5）在（0,+）

6、上為減函數注：確定圖中各函數的底數a，b， c， d 與 1 的大小關系提示：作一直線y=1，該直線與四個函數圖象交點的橫坐標即為它們相應的底數。 0<c<d<1<a<b.3 / 94、反函數指數函數 y=ax 與對數函數 y=log ax 互為反函數，它們的圖象關于直線y=x 對稱。（三）冪函數1、冪函數的定義形如 y=x （ aR）的函數稱為冪函數，其中x 是自變量，為常數注：冪函數與指數函數有本質區別在于自變量的位置不同，冪函數的自變量在底數位置，而指數函數的自變量在指數位置。2、冪函數的圖象1注：在上圖第一象限中如何確定y=x 3， y=x2，y=x ，

7、y x2， y=x-1方法：可畫出 x=x 0；1當 x0>1 時，按交點的高低，從高到低依次為y=x 3， y=x 2， y=x ， yx2， y=x -1 ；1當 0<x 0<1 時，按交點的高低，從高到低依次為y=x -1， yx 2 ， y=x， y=x 2， y=x 3。3、冪函數的性質y=xy=x 2y=x 31y=x -1yx2定義域RRR0，）R且 x0x | x值域R0，）R0，）R且 y0y | y奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增x 0，）時，增； 增增x (0,+)時，減；x (,0時，減x (-,0) 時，減定點（1，1）三：例題詮釋，舉一反三知識點 1

8、：指數冪的化簡與求值例 1.(2007育才 A)(33)22113 (5 4)0.5(0.008) 3(0.02) 2(0.32) 2 0.06250.25（1）計算：89；4 / 9412a 38a 3 b23 ba3 a 2(a223a)5a3a（2）化簡： 4b323aba3變式：（ 2007 執信 A）化簡下列各式（其中各字母均為正數）:2111(a3 b 1 ) 2a2b3;（1）6a b551211231（2） 6a3b( 3a 2b)(4a3b)2.17)021.5 3(80.2542 (323) 6( 2)3(3)63知識點 2：指數函數的圖象及應用例 2.(2009廣附 A)

9、 已知實數 a、 b 滿足等式 (1)a(1)b，下列五個關系式： 0 ba。 a23b 0。 0 a b。 b a 0。 a=b.其中不可能成立的關系式有（）A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個變式：（ 2010 華附 A ）若直線 y2a 與函數 y| ax1 | ( a0 且 a1) 的圖象有兩個公共點，則 a 的取值范圍是 _.知識點 3：指數函數的性質例 3. （ 2010 省實 B）已知定義域為R 的函數 f (x)2xb2x1是奇函數。2（）求 b 的值；（）判斷函數fx的單調性。（）若對任意的 tR ，不等式 f ( t22t)f (2t 2k )0 恒成立，求 k 的取值

10、范圍變式：（ 2010 東莞 B）設 a0,f(x)=exa是 R 上的偶函數 .aex（ 1）求 a 的值；（ 2）求證： f(x) 在（ 0， +）上是增函數 .知識點 4：對數式的化簡與求值例 4. （ 2010 云浮 A）計算：（ 1）log 23 (23)（2） 2(lg 2 ) 2+lg 2 · lg5+ (lg2 ) 2lg 21 。5 / 9（3） 1 lg32 -4 lg 8 +lg 245 .2493變式：（ 2010 惠州 A）化簡求值 .（1） log 27+log 212- 1 log 242-1 。482（2） (lg2)2+lg2 · lg50

11、+lg25 。（ 3） (log 32+log 92) · (log 43+log 83).知識點5：對數函數的性質例 5. （ 2011 深圳 A）對于0a1，給出下列四個不等式： log a (1a)log a (a1log a (1a)log a (11);) ；aa a1a1111aa ; a1 aaa ; 其中成立的是（）（A ）與（ B）與（ C）與（ D）與變式：（ 2011韶關 A）已知0 a 1,b 1,ab 1，則 log a1 ,log a b,log b1 的大小關系是bb（）A.log1log a b log b1B. log a b log a11ablo

12、g bbbbC. log ab log b11D.logb11log a blog abblog abb例 6.（ 2010廣州 B）已知函數 f(x)=log ax(a 0,a 1) ，如果對于任意x 3，+）都有 |f(x)| 1 成立，試求 a 的取值范圍 .22在區間（ - ,1-3上是單調遞減變式：（ 2010 廣雅 B）已知函數 f （ x）=log (x -ax-a)函數 . 求實數 a 的取值范圍 .知識點6：冪函數的圖象及應用例 7.(2009佛山 B) 已知點 (2，2) 在冪函數f (x) 的圖象上，點1， ，在冪函數 g (x) 的圖24象上問當 x 為何值時有：（）

13、f (x)g ( x) ；（） f (x) g (x) ；（） f (x)g ( x) 變式：（ 2009 揭陽 B）已知冪函數 f(x)=xm22 m 3 （ m Z）為偶函數，且在區間（0，+）上b是單調減函數 . （ 1）求函數 f(x)。（ 2）討論 F（ x） =af（x）的奇偶性 .xf（x）四：方向預測、勝利在望1（ A ）函數 f ( x) lg 1x的定義域為（）x4A (1， 4)B 1，4)C (， 1) (4， )D (， 1 (4， )2.（ A ）以下四個數中的最大者是（）(A) (ln2)2(C) ln 2(D) ln2(B) ln(ln2)3（ B ）設 a&g

14、t;1，函數 f(x)=log ax 在區間 a,2a上的最大值與最小值之差為1 , 則 a=( )2(A) 2（B）2（C） 22（D）46 / 94.（ A ）已知 f (x) 是周期為2 的奇函數，當0x1 時， f ( x)lg x. 設a635）f ( ), bf ( ), cf ( ), 則（522（ A ） a bc（ B） b a c（ C） cb a（ D） c a b5.（ B ）設 f(x)=2ex 1 , x2,則不等式 f(x)>2 的解集為（）log 3 (x21), x2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B) （10 ， +）(C)（ 1，2）（10

15、， +） (D) （ 1， 2）6（ A）設 Plog 2 3 ， Qlog 3 2 ， Rlog 2 (log 3 2)，則（）RQPPRQQRPRPQ7 (A) 已知 log 1blog 1 alog 1 c ，則 ()222A 2b2a2cB 2a2b2c C 2c2b2 aD 2c2a2b8（ B）下列函數中既是奇函數，又是區間1,1 上單調遞減的是（）（ A ） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C)f (x)1(a xa x )(D)f ( x)ln2x22x9. （ A）函數 ylog 1 (3 x2)的定義域是： （）2A 1,)B (32,) C 32 ,1D(

16、32 ,110.(A) 已知函數 ylog 1x與ykx 的圖象有公共點A，且點 A 的橫坐標為 2，則 k （）4A 1B1C1D1442211（ B ）若函數 f (x)a xb1( a0且 a1)的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（）A 0 a 1且 b 0B a 1且b 0C 0 a 1且b 0D a 1且b 0若函數f (x)log ax(0a1)在區間a,2a上的最大值是最小值的3 倍，則 a=12 (B)（）A.2B.21142C.D.4213.(A)已知 0x y a1，則有（）（ A ） log a ( xy)0（B） 0log a ( xy)1（C）1log a (xy

17、)2（ D） log a (xy ) 214. （ A ）已知 f ( x6 )log2 x ，那么 f (8)等于（）4（B）8（C）18（ D）1（ A ）2315（ B ）函數 y lg|x|（）A 是偶函數，在區間 (，0) 上單調遞增B 是偶函數，在區間( ，0)上單調遞減C是奇函數，在區間 (0， )上單調遞增D 是奇函數，在區間(0， )上單調遞減16.（ A ）函數 ylg( 4x )x3的定義域是 _.7 / 917（ B ）函數 y a1x (a0， a1) 的圖象恒過定點A ，若點 A 在直線mx ny 1 0(mn110) 上，則的最小值為mn18（ A ）設 g( x

18、)ex , x0.1lnx, x則 g( g ( ) _0.219（ B ）若函數 f(x) =2x22 ax a1的定義域為 R，則 a 的取值范圍為 _.20 (B) 若函數 f (x)loga ( xx 22a2 ) 是奇函數，則 a=21.(B) 已知函數f ( x)11x ，求函數 f ( x) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調xlog 2 1x性.1136b 3(a3b 2 )71248422參考答案：三：例題詮釋，舉一反三例 1.解：（ 1） 2 ，（ 2） a 29135 ab .5 a 2b 251(3)110變式：解：（ 1） 1,（32）244ab4ab例2. 解：B變式

19、：解： (0, 1 ) ；2例 3.解：（） b1 （）減函數。1（） k3變式：解：（ 1） a=1. （2）略例 4. 解：（1）-1. （2）1. （3） 1 .2133（ 2）2.（ 3）52.log 2變式：解：(1)2log 22242例5. 解：選D。變式：解： C例 6. 解： (1 ，3 1 ， 1）3變式：解： a|2-23 a 2例 7. 解：（ 1）當 x1 或 x1 時， f ( x)g (x) ；（ 2）當 x1 時， f (x)g( x) ；（3）當 1x 1且 x 0 時， f ( x) g( x) 變式：解：（ 1） f(x)=x -4 .（ 2） F（ x） =