1、第7講 點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用2 2I與橢圓相交于 M N兩點，點P(x0,y0)是定理 在橢圓篤爲=i ( a > b >o)中，若直線a b弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，則kMNyoXob22 -a證明：設(shè) M N兩點的坐標分別為(,%)、化小)，則有X2722 2y1& ",(1)bXi2"TTa2(1) -，得2 2X1x2y2 一力x2 -x1又.kMN -b2-0.y2yiX2y2Xi-yiX2 _Xjb22 ay2X1x2yi2y2x丄kMNxx2同理可證，在橢圓2b2(a > b >0)中,若直線

2、I與橢圓相交于 MN兩點，點P(x0, y0)2 是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，則kMN 西二-卑Xob典題妙解2例i設(shè)橢圓方程為X2 + =i，過點M (0,i)的4直線I交橢圓于點 A、B, O為坐標原點，點 P滿足=-(OA OB)，點N的坐標為丄當I繞點M 2 12 2 丿旋轉(zhuǎn)時，求：(i) 動點P的軌跡方程；(2) |NP|的最大值和最小值解：(i)設(shè)動點P的坐標為(x,y).由平行四邊形法則可知：點 P是弦AB的中點焦點在y上，a =4,b = 1.假設(shè)直線l的斜率存在.2 d由kAB工與得: 丄4x bx x整理，得：4x2 y2 - y = 0.當直線I的斜

3、率不存在時，弦 AB的中點P為坐標原點0（0,0），也滿足方程。2 2.所求的軌跡方程為 4x y - y = 0./ 1 22 (y)(2)配方，得：x21.11164INPEX(y2=(x)2 丄x22 41 27=-3(x)6 121 1當 X蔦時，|NP馬蔦；當時，| NP | max ' 212例2在直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（0, 2）且斜率為k的直線I與橢圓 y2 = 1有兩個不同2的交點P和Q.（1）求k的取值范圍；（2） 設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為 A、B,是否存在常數(shù)k，使得向量OP OQ與AB共線？如果存在，求 k的取值范圍；如果不存在，請說明理由

4、解：（1）直線I的方程為y二kx 2.y = kx + (2,J(2k21)x24.2kx 22w:直線l與橢圓y2 =1有兩個不同的交點,f廳oO u+oC2丿3丿設(shè)弦PQ的中點為M (x0,y°)，則 OM =(x°, yio).由平行四邊形法則可知:OP OQ =2OM.2 2. ：=32k -8(2k 1) >0.解之得：k2 或 k >22 2.k的取值范圍是22 =1中，焦點在x軸上，a-</2,b =1，A(.2,0),B(0,1),AB = (2,1).(2)在橢圓乞 y2OP OQ與AB共線，.OM與AB共線.xoyo2 - 1，從而匹-

5、Xob2T得: k -Xoai由(1)可知k二-時，直線I與橢圓沒有兩個公共點,2.不存在符合題意的常數(shù)k.22f2例3已知橢圓-y- =1 ( a > b > 0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e -，右準a b2線方程為x = 2.(I)求橢圓的標準方程; 2 26(n)過點F1的直線l與該橢圓相交于MN兩點，且|F2M "F二-，求直線l的方程.c 2e ,a 2 二 aa2x2.、 c(n)橢圓的焦點為解：(I)根據(jù)題意，得2= 2, b = 1,c = 1. 所求的橢圓方程為 y2 = 1.2R(-1,0)、F2(1,0).設(shè)直線I被橢圓所截的弦MN的中點

6、為P(x, y).由平行四邊形法則知：F2M F2N =2F2P.由 I F2M F2N |=2 26 得：IF2PF. (x-1)2 y2-263 39若直線I的斜率不存在，則I _x軸，這時點P與Fd-1,0)重合，|F2M F2N 1=1 2可£ 1=4,與題設(shè)相矛盾，故直線I的斜率存在由 kMN 一 (x2x).2代入,得(x -1)22-二(x x)整理，得:由可知,269x2 - 45x-17 = 0 .解之得：x1721X盲不合題意x§，從而S.所求的直線I方程為y = x 1，或y = -x -1.2 2 x 2 a例4 已知橢圓c：Z+Yy=1 ( a &

7、gt; b > 0)的離心率為b2，過右焦點F的直線I與C相交于3A、B兩點當I的斜率為21時，坐標原點 0到I的距離為上.2(1 )求a,b的值;(2) C上是否存在點P,使得當I繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有 OP =OA OB成立？若存在，求 出所有點P的坐標與I的方程；若不存在，說明理由.解：(1 )橢圓的右焦點為F(c,0)，直線I的斜率為1時，則其方程為y = x-c,即卩x-y-c = 0.原點 O到 I 的距離：|0一0922、22 2， c"Q(x, y).由 OP = OA OB 可知，點 Q(2)橢圓的方程為1 .設(shè)弦AB的中點為3 2是線段OP的中點，點P的坐標

8、為空2y2=1.若直線I的斜率不存在，則I-x軸，這時點Q與F(1,0)重合，OP=(2,O)，點P不在橢圓上,故直線I的斜率存在.由kABSyx -1 x 33由和解得：x , y4當 xfy44時,kAB土一2，點P的坐標為(|，¥)，直線1的方程為xfy亠時,44J =、2，點 P的坐x -1標為(-2)，直線I的方程為金指點睛1.已知橢圓x22y2=4則以(1,1)為中點的弦的長度為(A. 3.2B.C.D.2. ( 06江西)橢圓Q：2y2 =1 ( a > b > 0)的右焦點為F(C,0)，過點F的一動直線m繞點FA、B兩點,轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于(1) 求點P

9、的軌跡H的方程;(2) 略.P為線段AB的中點.3. ( 05上海)(1 )求右焦點坐標是(2,0)且過點(-2,-、. 2)的橢圓的標準方程;2 2(2) 已知橢圓C的方程為 篤y- =1 ( a > b > 0).設(shè)斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩a2 b2點，AB的中點為M.證明：當直線I平行移動時，動點 M在一條過原點的定直線上；(3) 略.4. (05湖北)設(shè)A、B是橢圓3x2 y2 V 上的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段 AB的垂直平分線與橢圓相交于 C、D兩點.(1) 確定的取值范圍，并求直線 AB的方程；(2) 略.2 25. 橢圓C的中心在原點，并

10、以雙曲線 止=1的焦點為焦點，以拋物線 x2 = -6、. 6y的準線為其中一條準線(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)直線丨：y rkx 2(k =0)與橢圓C相交于A、B兩點，使A B兩點關(guān)于直線l :y=mx+1(m0)對稱，求 k 的值.參考答案2 21.a2解：由 x2 2y2 =4 得-y 1，.4 2yb弦MN的中點(1,1)，由kMN2得kMNxa1即 x = -2 y 3 k 21，直線MN的方程為y -1 = -丄(x-1).2 2I2 憐2 =4x = 一2y +3得: 6y212y +5 = 0.設(shè) M(X" yj, N(X2 ,y2)，則屮 y 二 2, y&

11、#176;2I MN | = . (1!) (yy2)2 -4y2 1Y k、30_ 3故答案選C.2.解:(1)設(shè)點P的坐標為(x, y)，由kAB =xb2得:2y y _ _b_，x - c x a整理，得：b2x2 a2y2 -b2cx = 0.-點P的軌跡H的方程為b2x2 a2y2b2cx = 0.3.解：(1 )；右焦點坐標是(2,0),.左焦點坐標是(-2,0). c = 2.由橢圓的第一定義知，2a 二 1(-2-2)2 (- 2)2(-2 2)2 (- 2)2 =4、2， a = 2、. 2 .二 b2 =a2 _c2 =42 2.所求橢圓的標準方程為=1.yb2yb2(2

12、)設(shè)點M的坐標為(x,y)，由kAB -= -飛得：k - =，整理得：b2x a2ky二0.xaxa- a、b、k為定值,.當直線I平行移動時，動點 M在一條過原點的定直線b2x a2ky = 0上.4.解：(1 )點 N(1,3)在橢圓 3x2y 內(nèi)， 3 12 32 < ,即 > 12.-的取值范圍是(12, ：).2 2由 3x2 y2 = ' 得=1 , a2 = ,b2 ，焦點在 y 軸上.3若直線AB的斜率不存在，則直線 AB_ X軸，根據(jù)橢圓的對稱性，線段 AB的中點N在x軸上，不 合題意，故直線 AB的斜率存在.23由 kAB x氏 得: kAB 1所求直線AB的方程為y - 3-1 (x -1)，即 x y - 4 = 0 .從而線段AB的垂直平分線 CD的方程為y 一3 =1 (x -1)，即x - y 2 =0.2 25.解：(1)在雙曲線- - 1 中，a=2,b=2, = . a b4 2焦點為 Fj(0, - 6), F2(, , 6).在拋物線x? = -2 、6 y中，. 6 , 準線為y = 62a 2 掐.在橢圓中，二.從而a=3,b = 3.c 22 2所求橢圓C的方程為(2)設(shè)弦AB的中點為U1.93' ' 1P(x。，yo)，則點P是直線I與直線丨的交點，且直線丨丨. m =一 k2-2 得：k 匹