1、章末檢測試卷（三）（時間：120分鐘滿分：160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1 .已知 a= （ 3,2,5）, b= （1 , x, 1）,且 a b= 2,則 x 的值是答案 5解析 a b= 3+2x 5=2,x= 5.2 .如圖，在空間四邊形 OABC中，OA=a, OB= b, OC=c，點M在OA上，且OM=2MA, 點N為BC的中點，則MN =.（用a, b, c表示）答案-|a+1b+ 1c 322解析 如圖，連結 ON,由向量的加法法則，可知 imn = mo +（5n=-2oA + 1(oB+ OC)=- 2a+1(b+c) 3232=-2a +

2、 1b+1c. 3223 .設 i, j, k 為單位正交基底，已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,則5a3b=.答案 15解析 .a= (3,2, 1), b= (1, - 1,2),5a 3b=15ab= 15.4 .設平面 % 3的法向量分別為u=(1,2, 2), v=(-3, 6, 6),則 "3的位置關系為考點向量法求解平面與平面的位置關系題點向量法解決面面平行答案平行或重合解析 平面/ 3或重合.5.若空間向量3 的法向量分別為u=(1,2, 2), v=(3, 6,6),滿足 v=3u, . & a, b滿足|a|= |b|= 1,且a與b的夾角為 6

3、0°,則aa+ab=.答案2解析 由空間向量數(shù)量積的性質(zhì)，知a a= |a|2= 1.由空間向量數(shù)量積的定義，得1a b= |a|b|cos <a, b> = 1 x 1 x cos60 =5,1 3從而 a a+ a b= 1 + 二=二2 2.6. A, B, C, D是空間不共面的四點，且滿足 ABAC=0, AC AD = 0, ABAD = 0, M為BC中點，則 AMD為 三角形.答案直角解析 .“為BC中點，二>. 1 >-A M = 2(A B + A C).f 1 f rii AM AD = 2(AB+AC) AD1 一一 . 1 一一 一=

4、 2AB AD + 2AC AD= 0.-.AM ±AD, AMD為直角三角形.7 .在三麴隹P ABC中，CP, CA, CB兩兩垂直，AC=CB=1, PC =2,如圖，建立空間直角坐標系，則下列向量中是平面PAB的法向量的是.(填序號)ixy卜，1, 1 ；(1, <2，1)；(1,1,1)；(2, -2,1).答案解析 由題意知，C(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), P(0,0,2),則PA=(1,0, 2), AB=(-1,1,0),設平面PAB的一個法向量為 n=(x, y,1),lx- 2=0,(x= 2,則解得t ，n= (2,2,1).1

5、x+y=0,|y= 2,又1, 2廣；n,.正確.8 .已知 RtABC中，/ C = 90°, / B=30°, AB= 4, D為AB的中點，沿中線將 ACD折 起使得AB=13,則二面角A- CD B的大小為 .答案 120°解析 如圖，取CD中點E,在平面BCD內(nèi)過點B作BFXCD,交CD延長線于點F.高中數(shù)學據(jù)題意知AEXCD,AE=BF = #, EF=2, AB= 713.且EA, fb為二面角的平面角，由 AB2= (AE+ Ef + FB)2 得13= 3+3 + 4+2X 3X cosAl,國,.cos <EA, FB>-,'

6、;2'又: < Ea, FB> 0 °, 180 ,. < EA, FB> = 120。.即所求的二面角為120°.9.如圖，在空間四邊形 ABCD中，AC和BD為對角線，G為 ABC的重心，E是BD上一點, - f.、 .一 fBE=3ED,若以AB, AC, AD為基底，則 GE=答案-112AB - ->AC + 4ad 1234一 工 f - 2 一1 一 1 一一 1 一 1 一 1 一 1解析 GE=AE-AG = AD+DE-3AM=AD+4DB-3(AB+AC) = AD+-AB-AD-AB-AC = - 112AB-1

7、AC + 3AD. 123410.如圖，在平彳T六面體 ABCDA' B' C' D'中，AB=8, AD = 6, AA' =8, /BAD = /BAA' =Z DAA' =60°,則 AC'的長為 Dr C答案 18解析A C =A C+C C =A B+A D + A A ,|W 2 =(AB + A&+k)2=|Ab|2+|Ad|2+|/Aa_7> |2+2(AB aD + AB k +ADaa子) = 82+62+ 82+2X (24+32+24) = 324, |AC |= 324 = 18.

8、11.如圖，S是正三角形 ABC所在平面外一點，M, N分別是AB和SC的中點，SA= SB=SC, 且/ ASB= / BSC= / CSA= 90°,則異面直線 SM與BN所成角的余弦值為 .C解析 不妨設SA= SB= SC= 1,以點S為坐標原點，SA, SB, SC所在直線分別為 x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系S-xyz,則相關各點坐標為 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), S(0,0,0),M 2，2，0 , N 0, 0, 1 .因為 Sm= g 2, 0 1,所以BN =1sMii=H，1求尸寸，f f 1SM BN = 2,一扇 sM

9、bNJ10cos <SM, BN> = ,>>5|SM| |BN|因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為 中0512 .如圖所示，已知二面角al的平面角為 長0, 21，AB±BC, BC±CD, AB在平面3內(nèi)，BC在l上，CD在平面 a內(nèi)，若 AB=BC=CD = 1,則AD的長為.答案 3-2cos0解析 因為AD = AB+BC+CD,所以 Ad2 = AB2 + BC2+ CD2+ 2AB CD + 2AB BC+ 2BC CD = 1 + 1 + 1 + 2cos( l = 3 2cos a所以|病|=4

10、32cos 0,即AD的長為3-2cosQ13 .已知 OA= (1,2,3), OB= (2,1,2), OP=(1,1,2),點 Q 在直線 OP 上運動，則當 QA QB取得最小值時，點Q的坐標為.較安 4 4 8百木 3，3，3解析 設Q(x, v, z),因為Q在OP上，故有OQ/ OP,設oQ=逢(入e R),可得x= Z, v=N z= 2入則 Q(% 入 2 九 QA= (1入 2 A 32九QB = (2 N 1 % 2-2?),所以QA 布=6天16計10=6入-4，Y，故當 上1時，QA QB取最小值，此時Q& 3, 8 ；"14 .給出下列命題: 若A

11、B= CD,則必有 A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段;若a b<0，則a, b>是鈍角;若a為直線l的方向向量，則 風 足R)也是l的方向向量；非零向量a, b, c滿足a與b, b與c, c與a都是共面向量，則 a, b, c必共面. 其中不正確的命題為 .(填序號) 答案解析錯誤，如在正方體 ABCD AiBiCiDi中，AB = A1B1,但線段AB與A1B1不重合；錯反，a b<0,即cosa,b><0?萬<a,bw又而鈍角的取值范圍是,兀;錯誤，當 壯0時，啟=0不能作為直線l的方向向量；錯 誤，在平行六面體 ABCD AiBiCiDi

12、中，令AB=a, AD = b,入國=c,則它們兩兩共面，但 顯然AB, Ad, AAl是不共面的.二、解答題(本大題共6小題，共90分)15 . (14 分)已知空間三點 A(2,0,2), B( 1,1,2), C(-3,0,4),設 a= Ab, b=AC. (1)求a和b的夾角0的余弦值；(2)若向量ka+b與ka2b互相垂直，求 k的值.解 a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)= (1,1,0),b= Ac= ( 3,0,4)-(-2,0,2)= ( 1,0,2).a b 1 + 0+0VT0cos0=麗=內(nèi)乖=10 '，a與b的夾角0的余弦值為一¥00.(

13、2)ka+b= (k, k,0)+ (-1,0,2) = (k-1, k,2), ka- 2b=(k, k,0)-(-2,0,4)= (k+2, k, 4), .(k- 1, k,2) (k+ 2, k, -4)= (k- 1)(k+ 2) + k2 8=0.即 2k2+k10=0,k= - 2或 k= 2.16 . (14 分)已知空間內(nèi)三點 A(0,2,3), B( 2,1,6), C(1 , -1,5).(1)求以向量Ab, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;(2)若向量a與向量Ab, AC都垂直，且|a|=V3, 求向量a的坐標.解 (1)AB= (2, -1,3), AC=(1,

14、3,2),cos/ BAC =AB AC = |AB|AC|71 c ,714x714 2又 / BAC / 0 °, 180 , ./ BAC=60°, . . S= |AB|AC|sin60 = 773.(2)設 a=(x, y, z),由 aAB,得一2x- y+3z= 0,由 aAC,得 x-3y+2z= 0,由 |a|=W，得 x2+y2+z2=3,-x= y= z= 1 或 x= y= z= 1.a = (1,1,1)或 a= (1, 1, 1).17 . (14分)如圖所示，已知幾何體 ABCD A1B1C1D1是平行六面體.并在圖上標出結果;,一 1>

15、2f(1)化簡 £AAi +BC+3AB,、一一、.、 r r I 小、.rsj rt/1、(2)設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC上的點，且C1N=4CiB,設MN =oAB+ AD + yAA1 ,試求 a, 3, 丫的值.解 (1)取AAi的中點E,在D1C1上取一點F,使得DiF = 2FCi,連結EF ,G丁 44f L 二(2) MN = MB + BN1 -3>= 2DB + 4BC 1= 2(da+Ab)+ 4(bc+ cc1)= 2>aB + 4>aD + |a;a1,10 13所以 a= 2，3= 4，尸 4.18. (16

16、分)如圖所不，已知直三棱柱(側棱垂直于底面的三棱柱 )ABC AiBiCi中，AC± BC,D 是 AB 的中點，AC=BC=BBi.(1)求證：BCABi；(2)求證：BC"/平面 CAiD.證明 如圖所示，以Ci為坐標原點,C1A1, C1B1, CiC所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立空間直角坐標系，設 AC= BC= BBi=2,則 A(2,0,2), B(0,2,2), C(0,0,2) , Ai(2,0,0), Bi(0,2,0), Ci(0,0,0),D(1,1,2).> >由于 BCi = (0, 2, 2), ABi =(-2,2, 2),&

17、gt;> , . 一 . BCi ABi =0 4+4=0,一 一f ,> _ .即 BCi ± ABi ,故 BCi± ABi.(2)取AiC的中點E,連結DE.由于 E(1,0,1),一 _ _ > .ED = (0,1,1),又 BCi =(0, 2, 2), .ED = - 2BC1，且 ED 與 BCi 不共線， .ED / BCi,又 ED?平面 CAiD, BCi?平面 CAiD, .BCi/平面 CAiD.19. (16分)如圖，已知四棱錐 P ABCD中，PA，底面ABCD,且ABCD為正方形，PA = AB =a，點M是PC的中點.(1

18、)求BP與DM所成的角的大小;(2)求二面角 MDAC的大小.解(1)以A為坐標原點,AB, AD, AP為 x 軸，y 軸,z軸正方向，建立空間直角坐標系.由已知得 A(0, 0,0), B(a,0,0), C(a, a,0), D(0, a,0),a a P(0,0, a), M'2,設直線BP與DM所成的角為 ,. BP = (-a,0, a), DM = |,BP DM"BP與DM所成的角 0= 90°.f ，一一 、，一，一 一、(2) AP= (0,0 , a) , AB = (a,0,0) , aD = (0 , a,0) ,BP=(-a,0, a),

19、BP AD = 0,AP AB=0,AP AD = 0.B P A P 也 一一 一2 . |BP|AP|又由(1)知BP DM = 0, .BP是平面 MDA的法向量，AP是平面 ABCD的法向量，則 cosBP, AP所求的二面角 M DA C的大小為45°.20. (16分)如圖所示，四邊形 ABCD為直角梯形，AB/CD, ABXBC, ABE為等邊三角 形，且平面 ABCDL平面 ABE, AB = 2CD = 2BC=2, P為CE的中點.(1)求證：ABLDE;(2)求平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值；PQ的長；如果不存在,(3)在 ABE內(nèi)是否存在一點 Q,使PQL平面CDE?如果存在，求 請說明理由.證明取AB的中點O,連結OD, OE, 因為 ABE是正三角形，所以 ABXOE.1因為四邊形ABCD是直角梯形，DC=2AB, AB/CD ,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以 OD / BC.又 AB