1、上冊第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.關于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程,則a的取值范圍是(B)A.a0B.a0C.a=1D.a02.將一元二次方程2(x+1)(x-2)=x(x+3)-5化為一般形式為(A)A.x2-5x+1=0B.x2+x-9=0C.x2-4x+3=0D.x2-x+1=03.一個一元二次方程,它的二次項系數為2,一次項系數為3,常數項為-5,這個一元二次方程是2x2+3x-5=0.4.若x=1是關于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解,則6m+2n=-2.5.要剪一塊面積為150 cm2的長方形鐵片,使它的長比寬多5 cm,這塊鐵片應該怎樣剪?(

2、如果設長方形的長為x cm,只列方程不求解)解: x(x-5)=150.6.下列關于x的方程中是一元二次方程的個數有(C)2x-3=x2+2x-3;ax2+bx+c=0;(x+2)(x-2)=(x+1)2;x+1x=1;(x+1)(x+2)=2x2-3;(a2+1)x2+bx+c=0.A.1個B.2個C.3個D.4個7.方程3x2-2x=1的二次項系數、一次項系數、常數項分別是(C)A.3,2,1B.3,-2,1C.3,-2,-1D.-3,2,-1 8.關于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一個根是0,則a的值為(B)A.1B.-1C.1或-1D.129.用長8米的鋁材制成一個

3、矩形窗框,使它的面積為5平方米.若設它的一邊長為x米,則x滿足的方程是(C)A.x2-8x+5=0B.x2+4x-5=0C.x2-4x+5=0D.2x2-8x+5=010.將下列一元二次方程化為一般形式,并寫出二次項系數、一次項系數及常數項.(1)2x2+3x=x2-3x-2;(2)(2x-1)(3x+2)=(x-2)2-1;(3)4x2=3x-2+1.解:(1)x2+6x+2=0,二次項系數:1,一次項系數:6,常數項:2;(2)x2+x-1=0,二次項系數:1,一次項系數:1,常數項:-1;(3)4x2-3x+2-1=0,二次項系數:4,一次項系數:-3,常數項:2-1.11.下面是一道作

4、業題,請仔細閱讀甲、乙兩個同學的答案,判斷一下誰的答案正確,若都不正確,請給出正確解答過程.題目:若x2a+b-2xa-b+3=0是關于x的一元二次方程,則a,b的值各是多少?學生甲:根據題意可得2a+b=2,a-b=1,解得a=1,b=0.學生乙:根據題意可得2a+b=2,a-b=1或2a+b=1,a-b=2,所以a=1,b=0或a=1,b=-1.解:他們的答案都不正確.正確過程如下:依題意得2a+b=2,a-b=1或2a+b=1,a-b=2或2a+b=2,a-b=2,所以a=1,b=0或a=1,b=-1或a=43,b=-23.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1課時1.方程x2=1

5、6的解是(A)A.x=4B.x=4C.x=-4D.x=162.解方程3x2+27=0,得(C)A.x=3B.x=-3 C.無實數解D.有無數個解3.完成下面的解題過程.(1)解方程:2x2-8=0.解:原方程化成x2=4 ,開平方,得x=2 ,則x1=2,x2=-2.(2)解方程:3(x-1)2-6=0.解:原方程化成(x-1)2=2,開平方,得 x-1=2,則x1=1+2,x2=1-2.4.解下列一元二次方程.(1)x2-8=0;(2)(x-5)2=36.解:(1)x=22;(2)(x-5)2=36,x-5=6.x1=11,x2=-1.5.方程(x-1)2-9=0的解是(A)A.x1=4,x

6、2=-2B.x1=-4,x2=2C.x1=4,x2=2D.x1=-4,x2=-26.寫出一個沒有一次項且有一個根為3的一元二次方程(只需寫一個)答案不唯一,如x2-9=0.7.一元二次方程x2-2x+1=0的解是x1=x2=1.8.在實數范圍內定義運算“”,其規則為:ab=a2-b2,則方程(43)x=13的解為x1=-6,x2=6.9.當a0時,方程(x-b)2=-a有實數解,實數解為x=b-a.10.用直接開平方法解下列方程.(1)(2x-2)2=6;(2)(x+5)(x-5)=20;(3)2(3x+7)2=252;(4)4(1-x)2-9=0.解:(1)2x-2=6,2x-2=-6.x1

7、=3+2,x2=2-3.(2)x2-5=20,x2=25,x1=5,x2=-5.(3)(3x+7)2=254,3x+7=2.5,3x+7=-2.5,x1=-1.5,x2=-196.(4)(1-x)2=94,1-x=32,1-x=-32,x1=-0.5,x2=2.5.11.小明把一張邊長為10 cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形,再折合成一個無蓋的長方體盒子(如圖).如果這個無蓋的長方體底面積為81 cm2,求剪去的正方形邊長.解:設剪去的正方形的邊長為x cm.根據題意得(10-2x)2=81,解得x1=0.5,x2=9.5(不合題意,舍去),x=0.5(cm).答:剪去的正方

8、形邊長是0.5 cm.第2課時1.下列二次三項式是完全平方式的是(C)A.2x2-4x+1B.4y2-4y-1 C.x2-10x+25D.9x2-12xy-42.一元二次方程x2-2x-2=0用配方法化成(x+a)2=b的形式為(x-1)2=3,則此方程的根為x1=3+1,x2=-3+1.3.用配方法將下列各式化為a(x+m)2+n的形式.(1)x2-2x-3=(x-1)2+(-4);(2)x2+5x+2=(x+52)2+34;(3)2x2-5x+6=2 (x-54)2+238.4.用配方法解方程2x2+4x+1=0,配方后的方程是(D)A.(2x+2)2=-2B.(2x+2)2=-3C.(x

9、+12)2=12D.(x+1)2=125.已知x2+y2+4x-6y+13=0,x,y為實數,則x=-2,y=3.6.在實數范圍內定義一種運算“*”,其規則為a*b=a2-ab,根據這個規則2x*(x+2)=6的解為x1=3,x2=-1.7.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左邊是一個完全平方式,則m的值是6或-2.8.用配方法解下列方程:(1)2y2=5y-4;(2)x2+x-1=0;(3)(x+1)(2x-3)=1;(4)25x2-45x-1=0.解:(1)y2-52y+2=0,y2-52y+2516=-2+2516,(y-54)2=-716,-7160,k52.(2)k為正整數,0k5

10、2(且k為整數),即k為1或2,x1,2=-15-2k.方程的根為整數,5-2k為完全平方數.當k=1時,5-2k=3;當k=2時,5-2k=1.k=2.21.2.3因式分解法1.方程x(x+2)=0的解為x1=0,x2=-2;(x+1)(x-2)=0的解為x1=-1,x2=2;(x+1)2=x+1的解為x1=0,x2=-1.2.若n是關于x的方程x2+mx+n=0的根(n0),則m+n的值為-1 .3.用兩種方法解方程(x+5)(x-5)=1.解:直接開平方法:原方程可化為x2=6,x1=-6,x2=6.因式分解法:原方程可化為x2-6=0,(x+6)(x-6)=0,x1=-6,x2=6.4

11、.用因式分解法解下列方程.(1)(x-3)2-(x-2)2=0;解:(x-3)+(x-2)(x-3)-(x-2)=0,x=52.(2)2(t-1)2+t=1.解:原方程可化為2(t-1)2+t-1=0, (t-1)(2t-1)=0,t1=1,t2=12.5.下列方程中,不適合用因式分解法求解的是(D)A.x2=2xB.(x-2)2=2x-4C.4x2+4x+1=0D.(x+2)(3x-1)=56.若方程(x-8)(5x+9)=0,則5x+9的值是(D)A.49B.0C.-95D.49或07.如果0是一元二次方程2x2-5mx+(m-2)=0的一根,則另一根為(D)A.2B.3C.4D.58.等

12、腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的兩根,則這個三角形的周長為(B)A.8B.10C.8或10D.不能確定9.方程(x-2)(x+1)=10的解是x1=4,x2=-3.10.用適當的方法解下列方程.(1)x24+52x-6=0; (2)49(x-3)2=16(x+6)2;(3)(x+1)2=3x+2.解:(1)方程兩邊同時乘以4,得x2+10x-24=0,解得x1=-12,x2=2.(2)原方程可化為7(x-3)2=4(x+6)2,即7(x-3)=4(x+6)或7(x-3)=-4(x+6),所以x1=15,x2=-311.(3)原方程可化為:x2-x-1=0,b2-4ac=5,解得x1=

13、1+52,x2=1-52.11.如果方程ax2-bx-6=0與方程ax2+2bx-15=0有一個公共根是3,求a、b的值,并分別求兩個方程的另外一個根.解:把x=3分別代入兩個方程,得9a-3b-6=0,9a+6b-15=0.解得a=1,b=1.把a=1,b=1代入ax2-bx-6=0,得x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2.方程ax2-bx-6=0的另一個根為-2.把a=1,b=1代入ax2+2bx-15=0,得x2+2x-15=0,解得x1=3,x2=-5.方程ax+2bx-15=0的另一個根為-5.*21.2.4一元二次方程的根與系數的關系1.已知一元二次方程x2+2x-7=0的兩

14、個根為x1、x2,則x1+x2的值是(A)A.-2B.2C.-7D.72.若關于x的一元二次方程的兩個根為x1=1,x2=2,則這個方程是(B)A.x2+3x-2=0B.x2-3x+2=0C.x2-2x+3=0D.x2+3x+2=03.如果關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=2,x2=1,那么p,q的值分別是(A)A.-3,2B.3,-2C.2,-3D.2,34.已知x=2是關于x的一元二次方程ax2-3bx-5=0的一個根,則4a-6b的值是(B)A.4B.5C.8D.105.設a,b是方程x2+x-2009=0的兩個實數根,則a2+2a+b的值為(C)A.2006B.2

15、007C.2008D.2009 6.若x1、x2是一元二次方程x2-7x+5=0的兩根,則1x1+1x2的值是(A)A.75B.-75C.57D.-577.已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的兩實根的平方和等于11,k的取值是(C)A.-3或1B.-3C.1D.38.設x1,x2是方程x2+px+q=0的兩實根,x1+1,x2+1是關于x的方程x2+qx+p=0的兩實根,則p=-1,q=-3.9.設關于x的一元二次方程x2-4x-2(k-1)=0有兩個實數根x1、x2,問是否存在x1+x2x1x2的情況?解:要使方程有兩個實數根,必須0,即(-4)2-4-2(k-1)0,解得k-1,x

16、1+x2=4,x1x2=-2(k-1),由x1+x2x1x2得4-2(k-1),解得k-1.不存在x1+x2x1x2的情況.10.一元二次方程8x2-(m-1)x+m-7=0,(1)m為何實數時,方程的兩個根互為相反數?(2)m為何實數時,方程的一個根為零?(3)是否存在實數m,使方程的兩個根互為倒數?解:設方程的兩根為x1,x2,(1)x1+x2=m-18=0,m=1.(2)x1x2=m-78=0,m=7.(3)假設存在兩根互為倒數,則x1x2=m-78=1,m=15.當m=15時,方程為8x2-14x+8=0,b2-4ac=142-488=196-256,=-600,k=-11.(2)x1

17、2+x22+8=(x1+x2)2-2x1x2+8=36-2k+8=66.21.3實際問題與一元二次方程第1課時1.一個兩位數,個位數字比十位數字大3,個位數字的平方剛好等于這個兩位數,則這個兩位數是25或36.2.慶“五一”,市工會組織籃球比賽,賽制為單循環形式(每兩隊之間都賽一場),共進行了45場比賽,這次有幾隊參加比賽(D)A.12B.11C.9D.103.兩個數的和為2,且積為-15,設其中的一個數為x,可列方程為(A)A.x2-2x-15=0B.x2+2x+15=0C.x2-2x+15=0D.x2+2x-15=04.生物興趣小組的學生,將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一本,全組共互

18、贈了182本.如果全組有x名同學,則根據題意列出的方程是(B)A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182C.2x(x+1)=182D.x(x-1)=18225.一次會議上,每兩個參加會議的人都相互握了一次手,有人統計一共握了66次手.這次參加會議的人數是多少?解:設有x人參加會議.依題意得:x(x-1)2=66,x1=12,x2=-11(舍去).答:這次參加會議的人數為12人.6.已知一個兩位數的個位數比十位數大2,而且這個兩位數乘以它的各數位上的數字之和所得的積為144,則這個兩位數是24.7.一次籃球錦標賽,每個隊都進行了3場比賽后,有6個隊被淘汰,剩下的隊進行單循環賽,共進行了33

19、場比賽,請你算一算共有幾個隊.解:設一共有x個隊,3x2+(x-6)(x-7)2=33,解得:x1=12,x2=-2(舍去).答:一共有12個隊.8.某種植物的根特別發達,它的主根長出若干數目的支根,支根中有13又生長同樣多的小支根,而其余生長出一半數目的小支根,主根、支根、小支根的總數是109個.則這種植物主根長出多少支根?解:設這種植物主根長出x個支根,1+x+13x2+(23x)(12x)=109,解得x1=12,x2=-272(舍去).答:這種植物主根長出12支根.9.有一種傳染性疾病,蔓延速度極快,據統計,在人群密集的某城市里,通常情況下,每天一人能傳染給若干人,通過計算回答下列問題

20、.(1)現有一人患了這種疾病,開始兩天共有225人患上此病,求每天一人傳染了幾人.(2)兩天后,人們有所覺察,這樣平均一個人一天以少五人的速度在遞減,求再過兩天共有多少人患有此病.解:(1)設每天一人傳染了x人.1+x+x(1+x)=225,解得:x1=14,x2=-16(舍去).答:每天一人傳染了14人.(2)第三天共有225(1+14-5)=2250(人),第四天共有2250(1+14-5-5)=11250(人),答:再過兩天共有11250人.第2課時1.某種服裝原價為200元,連續兩次漲價a%后,售價為242元,則a的值為(B)A.5B.10C.15D.212.某直角三角形兩條直角邊的和

21、為7,面積為6,則斜邊為(B)A.37B.5C.38D.73.某超市一月份的營業額為200萬元,一月、二月、三月的營業額共1000萬元,如果平均每月的增長率為x,則根據題意列出的方程是(D)A.200(1+x)2=1000B.200+2002x=1000C.200+2003x=1000D.2001+(1+x)+(1+x)2=10004.從正方形的鐵皮上,截去2 cm寬的一條長方形,余下的面積是48 cm2,則原來的正方形鐵皮的面積是(D)A.9 cm2B.68 cm2C.8 cm2D.64 cm25.汶川地震牽動著全國人民的心,某單位開展了以“一方有難,八方支援”為口號的賑災捐款活動.第一天收

22、到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元,如果前四天捐款的平均增長率相同,則第四天收到的捐款為(B)A.13150元B.13310元C.13400元D.14200元6.已知長方形ABCD,AB=20 m,BC=15 m,四周外圍環繞著寬度相等的小路,小路的面積為246 m2,求小路的寬度.在解決這個問題中,如果設小路的寬度為x m,那么列出的方程是(2x+20)(2x+15)-2015=246.7.如圖,要建一個面積為45 m2的長方形養雞場(分為兩個區域),養雞場的一邊靠著一面長為14 m的墻,另幾條邊用總長為22 m的竹籬笆圍成,每塊區域的前面各開一個寬1 m的門.求這個養雞場的

23、長與寬.解:設與墻垂直的邊為x m.根據題意得x(22-3x+2 ) = 45.解這個方程得x1=3,x2=5.當x=3時,22-3x+2=1514,x=3不合題意,舍去.當x=5時,22-3x+2=914.答:養雞場的長為9 m,寬為5 m.8.要對一塊長60米、寬40米的矩形荒地ABCD進行綠化和硬化.設計方案如圖所示,矩形P、Q為兩塊綠地,其余為硬化路面,P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等,并使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的14,求P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬.解:設P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬都為x米,根據題意,得:(60-3x)(40-2x)=604014,解之,得:

24、x1=10,x2=30,經檢驗,x2=30不符合題意,舍去.答:兩塊綠地周圍的硬化路面寬都為10米.第二十一章復 習 課1.下列方程中是一元二次方程的是(C)A.2x+1=0B.y2+x=1C.x2+1=0D.1x+x2=12.方程(x+2)(x-1)=x+2的解是(D)A.x=1B.x=-2C.x=-2或x=1D.x=-2或x=23.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的過程中,配方正確的是(D)A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.(x-2)2=94.若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是(B)A.m-1B.m-1D.m1

25、5.關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數根分別為1和2,則b=-3,c=2.6.某商品經過連續兩次降價,銷售單價由原來的125元降到80元,則平均每次降價的百分率為20%.7.解方程:(1)x2-3x-1=0;(2)x2+4x-2=0.解:(1)x1=3+132,x2=3-132.(2)x1=-2+6,x2=-2-6.8.下列方程中,沒有實數根的方程是(B)A.x2-12x+27=0B.2x2-3x+2=0C.2x2+34x-1=0D.x2-3x-k2=09.若關于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a0)的解是x=1,則2013-a-b的值是(A)A.2018B.2008C.

26、2014D.201210.關于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有實數根,則整數a的最大值是(C)A.2B.1C.0D.-111.若關于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的兩個實數根x1,x2,且x1x2x1+x2-4,則實數m的取值范圍是(D)A.m-53B.m12C.m-53D.-53m1212.某機械廠七月份生產零件50萬個,第三季度生產零件196萬個.設該廠八、九月份生產零件的平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是(C)A.50(1+x2)=196B.50+50(1+x2)=196 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196 13.將方程x2-4x-1=0化為(x-m)2=n的形式,其中m,n是常數,則m+n=7.14.方程(2x+1)2+4(2x+1)-5=0的解為x1=-3,x2=0.15.在等式“(3+)(2+)=-24”的“”“”中分別填入一個數,要求這兩個數互為相反數且使等式成立,則“”內填入的數是-6或5.16.已知整數k5,若ABC的邊長均滿足關于x的方程x2-3kx+8=0,則ABC的周長是6或12或10.17.已知關于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有兩個實數根x1,x2.(1)求實數