1、天道崇美人性好美 一、黃金分割研究史“科學中的美和美的科學”，早期屬于自然哲學，自古希臘人開始研究，至今約有2500年。古希臘人喜歡抽象研究。抽象研究又分為邏輯推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圓規。代數和平面幾何為兩者的典型代表。古希臘人曾提出這樣一個問題：“一根棍從哪里分割最為美妙？”答案是：“前半段與后半段之比應等于后半段與全長之比”。設全長為1，后半段為x，此式即成為(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解為：。棍內分割只能取正值，此值就是著名的黃金分割比值G,G=0.6180339880.618。而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互為倒數。螺旋在大自然中到

2、處存在，從銀河系外的螺旋星云，到地球上的臺風、龍卷風、貝殼、動物的角，植物的攀緣，小至生物遺傳基因等等。它們中有些令人恐懼，有些令人愉悅，有些令人迷惑不解，但都引起人們的研究興趣。最早研究螺旋的乃是古希臘人阿基米德（公元前287-212年）。他的主要貢獻是發觀扛桿原理、浮力原理和阿基米德螺旋線。（可參閱貝殼的自然史、對稱、生命的曲線等中文書籍）自然界的形成、運行、演化、生長、繁衍、消亡等都是有規律的，有些物體可以直接感到自然美，但更多的物體令人迷惑不解。我們深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其規律，使人感受到深層次的自然美和科學美。這就是“因人而彰”。本文介紹和探討黃金分割律，就是想梳理和

3、探討這種自然美和科學美。人有愛美的天性，而且人本身也是很精美的。“天道崇美，人性好美”有普遍性，無論是天然物品還是人工制品，形態的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴隨著美的外形。探討黃金分割律可能對西方的思維方式和對美的認識有所幫助。二、葵花子模特兒五角星這里，舉三個例子說明存在黃金分割律和分割值。1、葵花子葵花子在花盤上的排列呈螺旋線，有順時針方向和逆時針方向，葵花子就生長在兩列螺旋線的交叉點上，見圖1。花盤上有21列逆時針，34列順時針；或34列逆時針，55列順時針。其它如菠蘿表皮上的疙瘩（見圖2），斜向左下方的有8列，向右下方的有13列。松樹果球的鱗片也有螺旋狀排列，向左

4、下或右下有5列，反向為8列；也有各為8列和13列的。這些奇怪的數字之間又有什么關系？原來它們都屬于費波納契(Fibonacci)數列。它的規則很簡單，前面鄰近兩項之和就是下一項(a,n=a,n-1+a,n-2)。如令a,1=1,a,2=2，就可以寫出費波納契數列為：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,這些數列有一個特點，就是前項被后項除(a,n-1/a,n)，其值從第八項以后均接近0.618。可以嚴格證明，當n很大時，a,n=1/a,n等于黃金分割值G。原來這些天然生長的螺旋列均與黃金分割有關聯，怪不得這樣有序、和諧。直到上世紀末才有人證明

5、，這樣有序排列可以使同樣面積上排列最多的種子和疙瘩數。但這些植物怎樣知道和控制這些有序生長呢？附圖2、模特兒要討論這個問題，還得從黃金分割值G談起。令=(1+G)，則1=0+=1.618,2=1+=2.618,3=1+2=4.236,4=2+3=6.854,5=3+5=11.090,6=5+8=17.944,7=8+13=29.034,8=13+21=46.979,;0=1.000,-1=-1+=0.618,-2=2-=0.382,-3=-3+2=0.236,-4=5-3=0.146,-5=-8+5=0.090，這里又反復出現費波納契數。附圖3、五角星新中國成立以后，人們都鐘愛五角星，因為國旗

6、上有五顆五角星。2300多年前古希臘人就已知道用直尺和圓規求解黃金分割值G和制作五角星。此法被歐幾里德編入幾何原理。這里，簡單介紹求G值和畫五角星的方法。先畫一個正方形ABCD（見圖4a），找出AB的中點E，畫直線EC，并在AB的延長線上找出F，使EF=EC，即可找到BF/AB=G和AF/AB=1+G。（用勾股弦定律即可證明）。設正方形的每邊長為1，則BF=G0.618。再以B為圓心，畫通過A、B的圓（見圖4b），三角形BCF的每邊CF、BC和BF就是這個圓的內接正五邊形、正六邊形和正十邊形的邊長。如以C為起點，在圓周上找出五等分點，就可畫出五角星，如圖4b所示。這就是2300多年前古希臘人畫

7、五角星的方法。附圖中國人重視對稱美，北京的故宮建筑就具有莊嚴的對稱美。通過五角星的頂點和圓心畫一條直線，此直線就是鏡像左右對稱線。此種鏡像對稱線可畫五條。另一種對稱稱為旋轉對稱。以五角星的中心為軸，每旋轉72(360/5)即可與原圖重合，可重復五次，稱為五重對稱。五角星由直線和尖角組成，具有莊嚴陽剛之美。如將尖角換成花瓣，則成為五瓣花朵，如梅花、桃花等，就具有嫵媚溫柔之美。圖5、給出兩朵五瓣花（引自對稱圖39），其中是天竺葵，它具有五重旋轉對稱和鏡像對稱；是草本長春花，它只具五重旋轉對稱。附圖三、螺旋天道崇美，螺旋在大自然中到處存在，通常體現自然美。在工業產品中更是常見，如螺絲釘、螺旋槳、鐘表

8、發條等等。這里，對動植物中常見的螺旋和科學實驗中出現的螺旋作簡略介紹。1、數學螺旋這里介紹一種由長方形形成的特殊螺旋。在圖4a中介紹了BFC三角形的畫法，如補上同樣的倒三角形，即可得一個奇妙的長方形AFHD，如圖6所示。這就是黃金分割長方形。如果有人將這個長方形的一端剪去正方形ABCD，遺下的仍是相似的長方形；如此，原則上可無窮盡地重復剪下去，形象地體現了無窮級數的概念。如當初令正方形的邊長為1，則長方形的面積為1(1+G)，其值為。所有剪下的正方形，其面積各為1,2,4,6,8,其總和即為當初長方形面積。可以看出這些小方塊以逆時針方向作螺旋排列，見圖6。這些螺旋不是光滑曲線，而是跳躍式前進的

9、。如將第一塊小方塊取在右上方，則可得順時針方向的螺旋。一般稱前者為右（手性）螺旋，后者是左（手性）螺旋。兩者呈鏡面對稱。所有螺旋都有手性，這是普遍的。附圖2、生物螺旋螺旋普遍地存在于生物體，用途各不相同，形式各種各樣。最引人入勝的是貝殼（可參閱前面引過的書籍），這里僅引用一張，見圖8，它們具有手性，即右旋和左旋。附圖圖8圖8a活體紡錘螺（右旋），8b化石紡錘螺（左旋）（生命的曲線188頁）另一種美麗的螺旋是動物的犄角，它們往往長成左、右對稱。這里也引用一張，見圖9。在攀緣植物中常利用螺旋狀卷須，它們可以是右旋轉，也可能是左旋轉的。3、物理螺旋在材料的晶體生長中可能出現螺旋位錯，它們影響材料的性

10、能。最近，北大納米研究中心研制出硅氧化物的螺旋和雙螺旋，見圖10a和10b，這些雙螺旋的細致結構還不清楚，它與下面要討論的雙螺旋有什么關系呢？附圖4、圓周的黃金分割前面已經討論過將圓周角360做5、6、10等分，可制作（或說明）各種美麗的圖形，如五角星、雪花等等。現在，從直線的黃金分割，聯想到圓周是否也有黃金分割？英國人丘奇在說明植物生長的螺旋結構系統與黃金分割數的關系時指出：2/2（即1373027.95）是黃金分割角度。在非對稱枝條或葉子植物生長的情況下可以觀察到。四、雙螺旋生命的曲線生命的曲線的原版出版于1914年，1979年Dover出版社未加修訂，重新出版。中文本根據此版翻譯。這本書

11、有許多精美的插圖和資料，對“自然美和科學美”有吸引人的敘述。此書不足之處是在出版時沒有補上“雙螺旋”這一章。上世紀五十年代脫氧核糖核酸(DNA)雙螺旋模型的發現與相對論和量子力學理論一起成為20世紀的三大發現。它解開了生命遺傳之謎，從此掀起了遺傳基因的研究熱。這里，從“天道崇美”的角度加以介紹和討論。上世紀四十年代底，有三支隊伍在向DNA進軍，其中最年輕的一組是劍橋卡文笛許實驗室的沃森和克里克。1953年元旦剛過，他們就制造出一個新模型，在兩股糖與磷酸組成的雙螺旋鏈(L,1、L,2)之間夾著堿基對。當時已知的堿基有四種：腺嘌呤(A)、鳥嘌呤(G)、胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)。當A與A和T與T

12、相對接，可以符合已知的數據，但因堿基分子大小不同，使兩條螺旋骨架扭曲。沃森陷入了沉思，認為自然界DNA應該有簡潔、和諧及美的結構，不可能如此丑陋。他終于把模型拆開，按長短搭配，讓A和T及G和C配對。這樣裝配的模型具有舒展自如的和諧美，而且符合A和T及G和C數目各相等的要求。DNA結構之謎從此解開。沃森和克里克寫了一篇“核酸的分子結構脫氧核糖核酸的結構”發表在1953年4月英國自然雜志上。今年是這篇論文發表50周年。這篇短文只有一頁多一點，上有一張DNA結構圖（見圖11a）。該結構由雙螺旋鏈L,1L,2和兩種堿基對（橫杠）A-T、T-A和G-C、C-G從L,1到L,2連接起來，排列成特殊的旋轉梯

13、狀。所有DNA雙螺旋都是右手螺旋，但由于與堿基橫杠匹配的關系，L,1和L,2原子排布的序列方向正好相反。所有橫杠都落在垂直于螺旋軸的平面內，兩鄰近平面之間的距離為0.34納米。相鄰橫杠的相對夾角為36，因此由十根依次排列的橫杠構成一周期，即螺距為3.4納米。雙螺旋模型螺旋鏈至其軸的距離為1納米，其外徑為2納米，實際原子排列的外徑略大于2納米。附圖人的DNA分子全長約有1.8米，所含堿基橫杠就有54億條之多。這么長的DNA分子只能折疊起來放在一個細胞內。一個人的基因，是其中的一段，約有2000條橫杠。實際上，橫杠A-T是由二個氫鍵連接起來，C-G由三個氫鍵連接起來，見圖12ab。由于氫鍵較弱，D

14、NA雙螺旋有可能像拉鏈一樣從中間斷開。在細胞繁殖的時候，這根雙螺旋從一端開始拆分成兩條，各成為尋找配對的模子，在浮游于細胞核內的分子中找到新伴侶，例如A與新的T結合，G與新的C結合。這樣，就形成兩條與原來DNA一模一樣的復制品。這就是生命遺傳的方式。如果DNA在復制過程中出一點意外，就會造成物種的突變或病變。附圖與DNA雙螺旋鏈L1或L2相連的有四種分子單元A、T、C、G，著名學者薛定諤認為每次取出其中三個構成一組，這樣排列組合，便成為攜帶大量遺傳信息的遺傳基因。目前進行的基因測序，就是要解開由此四種單元寫成的無字天書。各種物種都有各自的基因排列，造成物種的多樣性；也造成個體之間的區別，即可識

15、別。在解開DNA的謎之后，人們陸續發現核糖核酸分子(RNA)、多肽、蛋白質等分子也有螺旋結構。在得出DNA結構之前，沃森就提出“中心法則預測”：“DNARNA蛋白質”。“”表示信息流方向，即遺傳基因控制了生物的生長。后來發現了反向轉錄酶，有可能改造基因排布，但在常規情況下中心法則還是正確的。本文作者用畫法幾何的方法把雙螺旋鏈和橫杠與五角星聯系起來，彰顯DNA與黃金分割的關系，說明生物生生不息與美有多么奇妙的關系。作者將沃森和克里克在英國自然（171卷(1953)737-738頁）上的插圖看成是該模型在平行于螺旋主軸的側面投影，見圖11a，再畫其與螺旋軸垂直平面上的投影，即頂視圖，如圖11b所示

16、。大圓是雙螺旋鏈的投影，中心是螺旋軸的位置。圖11a上的0、1，到10是作者標定橫杠的序號。0號位于L1和L2側視交疊處，此橫杠在投影圖上僅是一點。此點離螺旋軸的垂直距離為0.69納米。在頂視投影圖上，以旋轉軸為圓心，以0.69納米為半經畫圓（見圖11b），此圓的最右邊的點就是0號橫杠應通過的點。從此點開始將此圓周分成十等分，并將這些等分點以逆時針方向標上序號1到10。依次在每個等分點畫該圓的切線，線的兩端終止于雙螺旋的投影圓。這些直線就是所有橫杠在頂視圖上的投影。其兩端標志的L,1、L,2表示從螺旋鏈L,1出發到螺旋鏈L,2為止，使兩螺旋鏈固定。從投影圖可以看出橫杠長度都是一樣的，即1.42納米；相鄰橫杠之間的角度均為36。如在小圓等分點2、4、6、8、10各點之間連接直線，即得正五角星，如圖11b所示。所有橫杠都可以找到與它平行的五角星的邊。在頂視投影圖11b中，橫杠排列為十重旋轉對稱，而五角星為五重旋轉對稱。當從橫杠1開始以逆時針方向依次讀數前進時，與它們對應的五角星平行邊以隔數跳躍方式順時針方向前進。在對橫杠讀數一周期時，在相應的五角星上要轉兩圈。當讀數到下一段螺旋的橫杠時，五角星的平行邊將繼續以跳躍式方式前進。只要雙螺旋繞其軸前進，就可以對任何一根橫杠找到其對應的五角星的邊。前面曾經討論過用幾何作圖方法畫五角星，而五角星又與黃金分割有密切聯系。老天爺（指大自然）怎么會