1、2019學年第二學期溫州十五校聯(lián)合體期中考試聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題一選擇題1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解法求得集合，由交集定義得到結(jié)果.【詳解】，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，涉及到一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.2.若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則a的值為（ ）a. b. 3c. d. 6【答案】c【解析】【分析】去絕對值符號可知單調(diào)遞減區(qū)間為，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.3.點從（1,0）出發(fā)，沿單位圓按逆時針

2、方向運動弧長到達點，則的坐標為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用弧長公式出角的大小，然后利用三角函數(shù)的定義求出點的坐標.【詳解】點從出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達點， ，故選a.【點睛】本題主要考查弧長公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的定義，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.4.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由可知；由可知，進而得到結(jié)果.【詳解】，且，又，即，.故選：.【點睛】本題考查比較指數(shù)冪、對數(shù)值的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】將多項式展開，根據(jù)冪函數(shù)

3、求導(dǎo)法則，計算出導(dǎo)數(shù)即可【詳解】展開函數(shù)解析式,得 求導(dǎo)得所以選c【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運算，注意像這種多項式，可展開后依次求導(dǎo)即可，屬于基礎(chǔ)題6.函數(shù)的圖象（ ）a. 關(guān)于原點對稱b. 關(guān)于點對稱c. 關(guān)于y軸對稱d. 關(guān)于直線對稱【答案】b【解析】【分析】利用代入驗證的方式，對比正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】對于，當時，原點不是函數(shù)的對稱中心，錯誤；對于，當時，是函數(shù)的對稱中心，正確；對于，當時，軸不是函數(shù)的對稱軸，錯誤；對于，當時，不是函數(shù)對稱中心，錯誤.故選：.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的對稱中心和對稱軸的辨析，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用代入檢驗的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)來判斷

4、.7.對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算律依次判斷恒成立；通過反例反向可知不恒成立.【詳解】對于，恒成立；對于，若反向，則，不恒成立；對于，由向量數(shù)量積的運算律知：，恒成立；對于，由向量數(shù)量積的運算律知：，恒成立.故選：.【點睛】本題考查平面向量相關(guān)命題的辨析，涉及到平面向量數(shù)量積的定義和運算律、向量模長運算等知識，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的圖像不可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】當時，分別在、和三種情況下確定函數(shù)圖象，可知正確，從而確定結(jié)果.【詳解】當時，若，則在上單調(diào)遞增，且時，

5、正確；若，則，符合對號函數(shù)特點，正確；若，則，正確；由上述可知，在上不可能單調(diào)遞減，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的辨析，關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式確定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定結(jié)果.9.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】令，分別在、和五種情況下得到的范圍，通過數(shù)形結(jié)合的方式確定的解的個數(shù)，找到三個解得情況，進而得到的范圍.【詳解】由解析式可得函數(shù)圖象如下圖所示：令，則，當時，則只有一個解，不合題意；當時，有一個解；至多有一個解，不合題意；當時，有一個解；有兩個解，符合題意；當時，則只有一個解，不合題意

6、；當時，無解，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，涉及到分段函數(shù)圖象的應(yīng)用；解決此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合的方式，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點個數(shù)的問題，通過分類討論的方式確定參數(shù)在不同范圍的情況下的交點的個數(shù).10.已知函數(shù)()，若對于區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，都有成立，則實數(shù)m的最大值為（ ）a. b. c. d. 1【答案】a【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，設(shè)，可將不等式化為，令，則只需在上單調(diào)遞減即可，即在上恒成立，利用分離變量的方式可求得的取值范圍，進而確定最大值.【詳解】且定義域為，當時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，不

7、妨設(shè)，則，等價于，即，設(shè)，則只需在上單調(diào)遞減即可，在上恒成立，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即的最大值為.故選：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)解不等式、根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、恒成立問題的求解等；根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的符號恒成立的問題，通過分離變量的方法求解恒成立問題即可.二填空題11.已知復(fù)數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，則z的虛部是_，_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算計算得到，由虛部定義和模長的運算可求得結(jié)果.【詳解】，的虛部為，.故答案為：；.【

8、點睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部和模長的求解，關(guān)鍵是用復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知角的終邊經(jīng)過點p(4，m)，且sin ，則m_.【答案】3【解析】【分析】解方程，再檢驗即得解.【詳解】由題得.當m=-3時，點p在第四象限，不滿足題意.所以m=3.故答案為3【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標表示，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.13.在中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若，則角_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由已知等式配湊出余弦定理的形式求得，進而得到；利用正弦定理求得.【詳解】由得：，；由正弦定理得：.故答案為：；.【點睛】本題考查利用

9、正弦定理、余弦定理解三角形的問題，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)在上的最大值與最小值之和為_.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此可求得最大值和最小值，從而求得結(jié)果.【詳解】，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值的問題，解題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而得到最值點.15.函數(shù)的值域為_；若函數(shù)的兩個不同零點，滿足，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用分類討論分別在、和三種情況下求得函數(shù)值域，取并集得到結(jié)果；將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合的方式，建立方程求得，進而解不

10、等式求得結(jié)果.【詳解】當時，；當時，；當時，；綜上所述：的值域為；有兩個不同的零點等價于與有兩個不同的交點，圖象如下圖所示：不妨設(shè)，當與及相交時，解得：，又，；當與及相交時，解得：，又，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.【點睛】本題考查利用分類討論的方法求解含絕對值函數(shù)的值域、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點個數(shù)問題，進而通過數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.16.已知函數(shù)和，若恒成立，則_，_.【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】根據(jù)不等式恒成立，分別令和即可求得結(jié)果.【詳解】當時，；當時，.故答案：；.【點睛】本題考查根據(jù)恒成立

11、的不等式求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用賦值法構(gòu)造出方程.17.已知為單位向量，平面向量滿足，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，由已知向量的模長可得到和所滿足的關(guān)系，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算，結(jié)合可惜不等式可得到，采用換元法的方式，結(jié)合的范圍可求得最大值；當反向時，取得最小值，由此可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，則，（當且僅當時取等號），令，則，當時，即；當與反向時，取得最小值，即，時，；的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到利用柯西不等式求解最值的問題；解題關(guān)鍵是能夠利用平面向量的坐標運算和柯西不等式將所求的數(shù)量積表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)關(guān)系式的

12、形式，利用函數(shù)值域的求解方法可求得所求的取值范圍，屬于較難題.三解答題18.在平面直角坐標系中，已知向量，.（1）若，求的值：（2）若與的夾角為，求的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系的坐標表示可構(gòu)造方程求得，根據(jù)二倍角的正切公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量夾角公式和輔助角公式可求得，根據(jù)的范圍和三角函數(shù)值可確定，進而求得結(jié)果.【詳解】（1），；（2）由題意得：，解得：.【點睛】本題考查平面與三角恒等變換綜合應(yīng)用問題，涉及到垂直關(guān)系的坐標表示、二倍角正切公式的應(yīng)用、平面向量夾角公式、輔助角公式的應(yīng)用等知識.19.設(shè)函數(shù)，.（1）已知，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）設(shè)的三

13、邊所對的角分別為，若，求的面積的最大值.【答案】（1）和.（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式整理，得到解析式，根據(jù)奇偶性可構(gòu)造方程求得；（2）利用可求得，進而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），是偶函數(shù)，和；（2）由（1）得：，解得：；由余弦定理可得：（當且僅當時取等號），即，即的面積的最大值為.【點睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)值、解三角形中三角形面積最值的求解問題；求解三角形面積最值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理中利用基本不等式求得的最大值，屬于常考題型.20.設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在原點處的切線方程（

14、2）令，請猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明結(jié)論.【答案】（1）.（2）猜想，證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，進而得到切線方程；（2）由可求得，由數(shù)字規(guī)律可猜想得到，利用數(shù)學歸納法首先說明時成立，假設(shè)時結(jié)論成立，通過可證得時結(jié)論成立，由此得到結(jié)論.【詳解】（1），在原點處的切線方程為；（2）由（1）知：，可猜想下面用數(shù)學歸納法證明：當時，結(jié)論成立.假設(shè)當時結(jié)論成立，即，那么當時，即結(jié)論成立.由可知，結(jié)論對恒成立.【點睛】本題考查求解函數(shù)在某一點處的切線方程、猜想與證明、數(shù)學歸納法證明結(jié)論的問題；利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論時需注意，假設(shè)時成立的結(jié)論必須在證明時結(jié)論成立

15、的過程中使用.21.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點.（2）當，求函數(shù)在上的最大值；（3）對于給定的正數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使時，都有，試求出這個正數(shù)的表達式.【答案】（1）零點為和1.（2）.（3）【解析】【分析】（1）分類討論得到解析式，分別在和兩種情況下構(gòu)造方程求得零點；（2）分類討論得到解析式，可確定最大值在中取得，分別在、和三種情況下根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最大值，從而得到結(jié)果；（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題；分別在和兩種情況下確定的值，從而得到結(jié)果.詳解】（1）當時，令，解得：或（舍）；令，解得：；函數(shù)的零點為和；（2）由題意得：，其中，最大值在中取.當，即時，在上單調(diào)遞減，；當，即時

16、，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，；當，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，；，；綜上所述：；（3）時，問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間內(nèi)恒成立.，分兩種情況討論：當時，是方程的較小根，即時，；當時，是方程的較大根，即時，；綜上所述：.【點睛】本題考查函數(shù)零點的求解、含絕對值的函數(shù)的最值的求解、函數(shù)中的恒成立問題的求解；本題的解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用分類討論的方式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定最值點；對學生對于函數(shù)單調(diào)性的掌握要求較高，屬于較難題.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）若函數(shù)有一個大于的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，且，求證：.【答案】（1）答案見解析.（2）.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）當和時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，可知不滿足題意；當時，得到函數(shù)單調(diào)性；由，利用導(dǎo)數(shù)證得，根據(jù)零點存在定理可知有一個大于的零點，滿足題意，由此得到結(jié)果；（3）由（2）可知，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可說明，由此證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：的定義域為，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知：當時，且單調(diào)遞增，不存在大于的零點.當，即時，在上單調(diào)遞減，又，在上恒成立